导数及其应用试题

第五章导数及其应用

5.3.2极大值与极小值

一、单选题(共5小题，满分25分，每小题5分)

2

1.下列五个函数，①y=V；②丁=f+1；③y=|x|；④y=2*；©y=x3.在x=0处

取得极值的函数的个数为()

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】①丁=已了=3公2()在(—00,+00)为单调递增，不存在极值点；

②丁=必+1,在(-8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增，.•.XMO处函数取得极小值；

xx>0

③丁二八，在(-8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增，.•・九=0处函数取得极小值;

-xx<0

④y=2、在(-8,+oo)为单调递增，不存在极值点;

2

⑤/在(0,+8)单调递增，在(-8,0)单调递减，.•.元=0处函数取得极小值；故选：C.

2.若x=l是函数/(乃=!三+(口+1)必—("+4—3)x的极值点，则。的值为()

A.-2B.3C.-2或3D.-3或2

【答案】B

【解析】/(x)=1x3+(a+l)x2-+a-3)x=>f(x)—炉+2(〃+l)x-(a?+Q—3),

由题意可知f(1)=0,=>f(1)=1+(a+1)—(a?+a—3)=0=>a=3或Q=—2

当a=3时，f(x)=x2+2(Q+1)X-(〃2+^-3)=X2+8X-9=(尤+9)(九一1),

当x>Lx<—9时，/(x)>0,函数单调递增；当—9<x<l时，/(x)<0,函数单调递

减，显然x=l是函数”力的极值点；

当a=—2时，f(尤)=尤？+2(a+l)x—(才+a—3)=x?—2x+1=(x—1)~>0,所以函数

是H上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故选:B.

3.函数/(x)=°°s"在x=g处取得极值,贝I()

e2

717T

A.a=l且一为极大值点B.a=l,且一为极小值点

f22

71TT

C.〃=—1,且一为极大值点D.a=-l,且一为极小值点

22

【答案】B

、cosx-a

【解析】V/(%)=——-—

e

-sinx-cosx+a-^2sinx+—\+a

TT

又〃无)在x=《处取得极值，

2

.・J(9=下=0,得a=]

e2

-V2sinIx+—1+1

,T«=----------14J

由/'(x)<0得，—^2sin+1<0,即sin[x+7)>,

兀兀37rTC_

——F2k兀<x-\——<----F2k兀,keZ,即2k兀<x<——\-2k兀,keZ,

4442

JT_

同理，由/（%）＞。得，——卜2k兀＜x＜兀+2k兀，keZ,

2

/'（X）在x=1处附近的左侧为负，右侧为正，

77

••・函数/（X）在x=上处取得极小值，故选：B.

2

4.设函数“X）在R上可导，其导函数为了'（%）,且函数y=（l—X）/'（%）的图象如图所

示，则下列结论中一定成立的是（）

A./（X）有极大值/（一2）B./（九）有极小值/（一2）

c.“X）有极大值/⑴D.“X）有极小值/⑴

【答案】A

【解析】函数y=（l—x）/'（x）的图象如图所示，

时，/'（尤）＜0；—2＜X＜1时，/,（%）＜0；x＜—2时，/f（x）＞0.

函数/（%）在2）上单调递增，在（-2,1）上单调递减，在（L+8）上单调递减.

有极大值〃一2）,故选：A.

5.已知函数/（力=尤3+侬?+（优+6卜+1既存在极大值，又存在极小值，则实数加的取值范

围是（）

A.(-1,2)B.(-00,-3)U(6,+oo)

C.(-3,6)D.(-oo,-l)|J(2,+oo)

【答案】B

【解析】/(^)=X3+/HX2+(ZM+6)X+1,

f(x)=3x2+2mx+m+6,

:函数/(x)既存在极大值，又存在极小值,

...导函数尸(X)有两个不相等的变号零点，

A=4:"—12(〃z+6)>0,即加2—3〃z—18>0,解得机<—3或〃？>6.

实数机的取值范围是(F,-3)U(6,+»),故选:B.

二、多选题(共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分)

6.材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教

材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及

有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数/(£)=炉(>>0),我们可

lnZ

以作变形："％)=£=e=*工=/。=xinx),所以〃龙)可看作是由函数/⑺=/

和g(x)=xlnx复合而成的，即/(力=/(%>0)为初等函数.根据以上材料，对于初等函

1

数〃(尤)=6(%>0)的说法正确的是()

A.无极小值B.有极小值1C.无极大值D.有极大值嗦

【答案】AD

111.

［解析】根据材料知：&⑴=£==/，

iZ、—Inx(1-Inx(11A1-Inx/、

所以//(%)=£**—Inxex•——-lnx+-=—ex(1-lnx)，

Vxx)x

令〃'(x)=0得x=e,当0<%<e时，〃'(x)>0,此时函数单调递增;

当x〉e时，//(%)<0,此时函数/z(x)单调递减.

所以/?(%)有极大值且为〃,)=/，无极小值,故选：AD.

7.关于函数/(x)=L+lnx,下列说法正确的是()

A./⑴是/(%)的极小值；

B.函数y=/(x)-尤有且只有1个零点

C.“X)在(-8,1)上单调递减；

D.设g(x)=V(x),则g[J<g(G).

【答案】ABD

【解析】函数/(x)的定义域为(0,+8),可知C错误，

.「,/、11X—1

对A,/(x)=2+~~~丁，

XXX-

当xe(0,l)时，r(x)<0,函数/■(%)在(0,1)上单调递减；

当xe(l,+8)时，f\x)>0,函数/Xx)在(L+o。)上单调递增，

所以当x=l时，函数/(尤)取得极小值/⑴=1,故A正确；

对B,y=f(x)-x=-+\nx-x,其定义域为(0,+<»),

x

，111—x~+龙一1

尸下+「二--<0

X2%2

所以函数y=/(%)-X在(0,+s)上单调递减，又1=1时其函数值为0,

所以函数y=/(x)-X有且只有1个零点，故B正确;

对D,g(x)=4(%)=l+xln%,其定义域为(0,+00),

g(x)=lnx+l,令g(x)=0,得x=J_,

e

当xe(0一)时，g'(x)<0,函数g(九)在(0」)上单调递减；

ee

当xe(L+oo)时，g'(x)>0,函数g(x)在(L+oo)上单调递增,

ee

所以当x='时，函数g(x)取得极小值gd),也是最小值，

ee

所以g［：)<g(G),故D正确.

故选：ABD

8.关于函数〃x)=|x—1|一Inx,下列说法不正确的是()

A."X)在\,+1|单调递增B.7。)有极小值为0,无极大值

C.了(龙)的值域为(一1,y)D.丁=/(幻的图象关于直线无=1对称

【答案】ACD

,।fx-l-lnx,(x>1)

【解析】•・./(%)=%TTnx=(/、，

二当时，/fw=l-->o,则“尤)单调递增；

X

当0<%<1时，/,(x)=-l--<0,则/(尤)单调递减；

即函数〃元）在（0,1）上单调递减，在（L+8）单调递增，故A选项不正确；

当无=1时，函数Ax）有极小值/⑴=0,无极大值，故3选项正确；

因为函数AM在（0,1）上单调递减，在（L+⑹单调递增，则

函数〃尤）有最小值/⑴=0,即〃*）的值域为[0,+8）,故C选项不正确;

因为==；+

=—1—In-=—FIn—w

2223

所以y=/（x）的图象不关于直线X=1对称，故。选项不正确；故选：ACD

三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

9.已知函数次%）=尤3+62+区一°2—7。在x=l处取得极大值10,则1的值为.

【答案】-f2

_13+2Q+/?=0,

【解析】由题意知，f(x)=3x1+2ax+b,/(1)=0,11)=10,即彳|「？八

1।ci।ba7〃10,

[a=-2,[a=-6,[a=—6,〃）

解得7I或7c经检验7八满足题意，故拄号.

[b=l2=9,炒=9,0，

故答案为：得2

10.已知函数/（力=21111+依2—3%在％=2处取得极小值，则/（%）的极大值为

【答案】

2

2

【解析】由题意得，/'（x）=—+2初—3,

X

.•./'(2)=41—2=0,解得o=

/./(^)=21nx+—x2-3x,/r(x)=—+x-3=――—―,

2xx

.-./(%)在(0,1),(2,+8)上单调递增，在(1,2)上单调递减，

・・・/(X)的极大值为/(l)=；_3=_g.故答案为：―三

11.已知函数/(%)=依2—2x+lnx有两个不同的极值点再，x2,则a的取值范围

；且不等式/(%)+/(%)<%+/+/恒成立，则实数/的取值范围

【答案】(1).0,I(2).[-5,+8)

【解析】f\x)=2aX~~2x+\x>0),

X

因为函数/(X)=-2x+lnx有两个不同的极值点占，声,

所以方程2依2_2%+1=0有两个不相等的正实数根,

A=4—8。>0

于是有：〈石+%2=—>°，解得0<々<工.

a2

Xix=—>0

1922a

/(%)+/(羽)一玉-x2=竭-2x,H-lnXj+ax^-2x2+lnx2-xl

+%2)2—3(玉+%2)+1口(项工2)

2一c

=------]_In2〃，

a

设h(a)-....1—In2a,[o<〃<—,

li(a)=—；〉O,故丸(。)在0<a<—上单调递增，

a2

故丸(a)=-5,所以后一5.

因此/的取值范围是[—5,+8)

故答案为：^0,—；[―5,+co)

四、解答题：(本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

12.已知/(X)=2丁一mr?-12x+6的一个极值点为2.

(1)求函数/(%)的单调区间；

(2)求函数/(x)在区间[—2,2]上的最值.

【答案】⑴在区间(—1,2)上单调递减，在区间(口,—1),(2,抬)上单调递增；⑵最

小值为-14,最大值为13.

【解析】⑴因为/(%)=2三一7加一12%+6,所以/'(x)=6%2-2阳一12,

因为/(%)=2%3—"2%—121+6的一•个极值点为2,

所以/'(2)=6x22—2机义2—12=0,解得根=3,

此时/(x)=2/一3d-12尤+6,/=6炉-6x-12=6(x+l)(x-2),

令/'(x)=0,得尤=T或x=2,

令/'(x)<0,得—l<x<2；令/'(x)>0,得x<—1或x>2,

故函数/(九)在区间(—1,2)上单调递减，在区间(-8,-1),(2,+8)上单调递增.

(2)由⑴知，“X)在［—2,—1］上为增函数，在(—1,2］上为减函数，

所以x=—1是函数/(%)的极大值点，又/(—2)=2,/(—1)=13,/(2)=-14,

所以函数“X)在区间［-2,2］上的最小值为—14,最大值为13.

13.已知函数/(x)=x|lnx-有两个极值点，则求实数。的取值范围.

【答案】0<。<1

【解析】•♦,/(x)=x[lnx-gax,/'(%)=lrvc+1-ax.

a=I"'.1在x>0时有两个根,

x

,、lnx+1

令Ag(x)=---------

X

令g(x)=/mr+l-ar,，,、1犬-(lnx+1)jnx

g(x)=--------j-