《复变函数与积分变换》课后答案华中科技

第一章1.1计算下列各式.

(1)(1+i)-(3-2i)；

解(I+i)-(3—2i)—(1+i)—3+2i=-2+3i.

(2)(a-6i)3;

解(a-6尸=/-3/加+3a(历/一(bi)3

=-3tz>+式方3—3a2力).

⑶(i-OG-2);

邮i___________________i______________i_

解(i-l)(i-2)-i2-2i-i+2一厂3i

=i(l+3i)_-3i

10-10w

(4)Z(z=h+i_y关-1);

毓zr1_z+i_y1_(x-1+i.y)(x+1-iy)

z+1%+0+1(jr+l)2+j/2

.42+y2]+2iy

(lZ+1)2+»2

1-2证明下列关于共朝复数的运算性质：

(1)(ZL±Z2)=Z\±Z2；

证(Ni±Z2)=(Xi+Ri)±(X2+i》2)

=(11±央)+iGi±)2)=(工1±Z2)-i(Hi±y,2)

=工]一i'l±J：2+=芝1±Z2-

(2)«1•Z2=Zl*Z2；

证Z1♦Z2=(X1+i>l)(x2+i>2)

=(#1尤2-yiy2)+i(上1N2+»]12)

=工逐2-N132-i(Nl、2+?1工2).

Z1•Z2=(71+W1)(12+02)=(N1-iyi)(^2-42)

=21工2一91工2--yiyi-

即左边=右边，得证.

⑶偿）=人（"0）.

i-r（Zl\/尤I+M_/（工I+必）（力2—32）

证6尸1石不瓦）=（君+货

+p

2+72+2/

X2^2y2\fX2

=4W=£1

-i22为’

2叼-z=i,

13解方程组2

(1+(Z]+i«2=4-3i.

解所给方程组可写为

J2x(+2必-x2-必=L

1(1+i)(Z1+Wi)+i(x2+%)=4-31.

即

12Hl-X2+i⑵1-32)=*.

[11->1-J2+i(5l+犯+力)=4-3i.

利用复数相等的概念可知

2xi-■22=0，

「"火=1,

叫一-»2=4，

、21+工2+V=-3.

解得

17636

?2=-1，”=一5，工1=一了，^2=-y.

故

36.617.

21=~7_5bZ2="J"71-

14将直线方程以十"+c=0(<?十八W0)写成复数形式.

[提示:记T-V\y-z.]

解由彳=工/，？=工/代入直线方程，得

发(2+Z)+.(z-Z)+C=0,

az+az-bi(z-z)+2c=0,

(Q-ib)z+(a+ib)z+2c=0,

故Ax+Az+8=0，其中A=a+ib,Li=2c.

1.5将圆周方■程a(一+J)+bx-i-cy+d=0(arO)写成复

数形式(即用二与k未示，其中N-上►iv).

JtlJ厂―痴+W_N->2

解“1一2，)—2iJC2+yx♦W代人圆周方程.

得

az-W+与(z+分)+芸z-d=。

2az・z+(b-")之十(b+\c)z+2cL

故

Az•s+H"+BE+0=0.

其中A=2a«B=〃+ic,C=2d.

求卜,列笈数的模与轴角主值.

(1)/3+i;

解|/3+i|=J(O+产=-『A—2,

arg(73+i)=arctan=*・

(2)-1—i;

解I1i\-%/(—1)?+(CP—*/2,

arg(-1-i)=arctailIjJ一六=五一n=一彳次.

(3)2-i;

解|2-iI=M2?+(-1>2=45.

arg(2—j)—arctnn-5'=—arctan.

(4)-1+3i.

解I-1+3ij=八-I)?+3?=,

3

arg(-1+3i)=arctan1]+«=穴arctan3.

1.7证明下列各式：

(D|马-力/=|力『+|肛『—2Re(zi,z2)i

证I句一句/二(句一3)(z「z2)

-(与-与)(为一幼)

=Zf•Z[+Z2'Z2~_zi^2

=I勺『+IZ2『一(力为+Z逐2)

2

=Izi1+|z2\-2Re(z/2).

⑵|到+Z2I2+IZLZ2I2=2(国I2+|Z2I2)，并说明此式的

几何意义；

证I向+之29+|之1一町「

=(Zi+?2)(町十町)+(Z1-Z2)(Z]-Z2)

=(21+22)(幻+乏2)+(21-之2)(处--2)

=2|zi|2+2|«212=2(||2+|«212)-

此式的几何意义是:平行四边形对角线平方和等于各边平方和.

(3)i(lx|++1yl(其中z=x+iy).

421

证显然有|z|=|工+旧|=，工2+—4I]]+IyI,而

(\x\~1^1)2>0,则2|利|(/+J.又

(1^1+IyI)2=Ix12+I12+21xyI

<2(/+)2)=2|z|2,

故

Iz12I+I>1)-

V2

即

-H(|x|+|>|XI|z|+\y\.

V2

l.«将下列各复数写成二角表示式.

(1)-3+2i；

解I一3+2i|=,arg(-3+2i)=arctan+n,

—J

故

-3+2i=A/T3[cos(汽-arctang)+isinK-arctan-y

(2)sina+icosa;

解Isina+icosa!=1,

/♦、•、cosa

arg(sma+】cosa)=arctan------

sina

=arctan(cota)=会-a,

sina+icosa—cosf-a)+isin(y-G).

兀Tt

⑶—sin6icos-6,

7T,

解arg-sm=arctancot

7—18s石计

_n7t2

=2_石一n二一1又，

.7t.7t/2\/2\

-sm7一]cos不=cosl--ynI+ism(一百7rl

22

:coswn-isin百元.

1.9利用复数的三角表示计算下列各式：

(1)(l+i)(l-i);

解1+i=&(cosg+isin今)，

1-i=6(cos+isin,

(1+i)(l-i)=2(cos住-f)+isin(j-g))=2.

<2)(-2+3i)/(3+2i);

解因

___r一3-3・

-2+3i=5/13^cos(arctan+TT)risin(arctan+n),

r22

3+2i=^^13]cos(arctany)+isin(arctany),

故(-2+3i)/(3+2i)=i.

注：arg(—2+3i)/(3+2i)=arctan.+正一arctan日

-3/2-2/3兀买

二—1不3々）•网+…2+'

⑶（T）［

解由乘帮公式知

(与州=[cos3•若+isin3.*]=i.

(4)，-2+2i.

解因|-2+2i|=8,arg(-2+2i)=1■次,所以由开方公式知

f—3+8^ir..3+8-丁\

4-20+21=V8Icos—痛~"+1sin丫%一J，

k=0,1,2,3.

1.10解方程：/+i=o.

解方程/+1=0,即/=一1,它的解是

2=(-1)3,

由开方公式计算得

z=[1,(cosTV+isiiwt)]s

(2k+1)7T,..(2k+1)7TJnio

=cos---3+ism§/,k=0,1,2.

即

K,..n:1.V3.

ZQ=cosy-Fisiny=2+爹i,

zt-cosit+isimr=-1,

5K,..5n1V3.

Z2=cos]+ismg=~2~亍.

1.11指出下列不等式所确定的区域与闭区域，并指明它是有界

的还是无界的?是单连通域还是多连通域？

(1)2<|zl<3;

解圆环，有界多连通域.

⑵臼<3；

解以原点为中心为半径的圆的外部，无界多连通域.

(3)号"<argz<亨且1<|z|<3;

解圆环的一部分，有界、单连域.

(4)Imz>1且|n|<2;

解圆环的一部分，有界、单连域.

(5)Rez2<1;

解12一？2<[,无界、单连域

(6)|z-11+|z+l|44;

解椭圆的内部及椭圆的边界，有界、闭区域.

(7)[argz|<y;

解从原点出发的两条半射线所成的区域、无界、单连域.

(8)五言>a(a>0).

解分三种情况：0<«<1,区域为圆的外部；

a=1为左半平面;a>1为圆内.

1.12指出满足下列各式的点z的轨迹是什么曲线？

(1)|+i)=1；

解以(0,-i)为圆心,1为半径的圆周.

(2)\z-a\+\z+a\-6,其中为正实常数；

解以土a为焦点，立为长半轴的椭圆.

a

(3)Iz-a|=Re(z-匕),其中a,6为实常数；

解设z二H+iy,则I(1--a)+=Re(x-b+iy).即

(x-a)2+y2-(x-6产，

b-6~0.

解椭圆周的参数方程为①":烟"'。＜力＜2兀，写成复数形

y=6sint,

式为z=acest+i6sint(04£42K).

1.14试将函数--丁一-Z)写成2的函数(2=Z+iy).

解将工=z；4,y-.J代人上式，得

(z+z)2.(z-—)2.(z+z)(z-z)..Z+Z

4-4i+l-v

z2+2z•z+z2z2-2z-z+z2z2-z2..z+z

=4+r—~r"+i~

1.15试证limRe’不存在.

EZ

证lim^^=lim9令y=丘,则上述极限为,随力

zTZrH)T+ly1+々i

y-H)

变化而变化，因而极限不存在.

1.16设/(幻二]一+丁'",°'试证/(4在2=0处不连续.

[0,z=0,

证因

、•

物1,£,广⑴।"如1y工㈣1•/:下kjc？=茂k彦，

即阿f(z)不存在，故/(Z)在Z=。处不连续.

第二章(1)f(N)=.

解因

1_X

lim令二a)=lim

2*0△之心—€AZ

=lim三八△:-=-^2(z关0),

Ax(X+L^z)Zz2

故

f(z)=(!丫--\(zwo).

Zz

(2)f{z}=zRez.

解AR因tn

hm&

8TdN

(N+△N)RC(N+白之)一之Rg之

=lim

Az-*O△N

△N

—limzRe+zRe_z+azReA

Asr-H)△之

ReAg

=limRez+Re△2+2

Aa-*0\Fz-

nRedz\

“△NJ

Ax

ZAx+iA»

当zK0时.上述极限不存在，故导致不存在；当=0时,上述极

限为0,故导数为0.

2.下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析?

(1)/(2)-Z*Z2.

解/(N)NW・％2=W•宏•之=|N|2・N

=(x2+y2)(x+i“

=十y1)+iy(j：2+y2),

这里u(x,y)=x(x2+y2),v(x,y)=y(x2+y2).

21

ux=x+y+212,%=f+J+2y2,

uy-2xy,与-2zy.

要%=%,%=-%,当且仅当x-y=0,而ux,uy,vxfvy均连续,

故f(z)=2/仅在z=0处可导,处处不解析.

(2)/(z)=x2+iy2.

22

解这里口—xtv-y.ua=2工，%=0,%=0,%=2y,四

个偏导数均连续，但u,r=仅在1=y处成立，故/(z)仅

在工=y上可导，处处不解析.

(3)f(z)=J-3-31y2+j(3z2y-》3)

解这里-Xs-3工)2,上(1,))=3/y-？3.%=3x2

2

-3y,uy=-6g,%=6zy,%=3]-39，四个偏导数均连续且

以=%,%=-%处处成立.故/(之)在整个复平面上处处可导，也

处处解析.

(4)f(z)=sinnchy+icoszshy.

解这里N(a,))=sin彳chy,,y)=coszshy.

u2—oosxchy,uy=sinzshjr,

vt=-sinxshyf%=cos«rchy.

四个偏导均连续且ux=vytuy=-vx处处成立，

故/(z)处处可导,也处处解析.

3.确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数.

解f（z）=是有理函数，除去分母为0的点外处处解析,

故全平面除去点2=1及Z=-1的区域为八之）的解析区域,奇点为

2=±1J（Z）的导数为：

/（2）=（P1）=（Z汽产

则可推出含=,=0,即〃=C(常数),故f(z)必为。中常数.

(3)设f(z)="+M由条件知arg-=C,从而

1+(v/«)2

求导得

U+VU+V

化简，利用CR条件得

0.

\o落x-o衿y=

所以患二,=°，同理需「*=0,即在D中建，9为常数，故f(z)

在。中为常数.

(4)设ar0,则u-(c-6r>)/a,求导得

du_b9v

—dub3v,

dra3x,dya3y

由C-R条件

dubdua2bap

9工a办djcady

故a必为常数，即f{z}在D中为常数.

设a=0,6#0,c?0,则4=c,知，为常数，又由CR条件知

«也必为常数，所以fM在D中为常数.

5,设f(幻在区域。内解析，试证

品=4|/(z)I2.

证设

f(z)=u+iv|f(N)任=—+

人)得-噗，匹心像)

而

层+给"(z)|2=条("2+/)+聂(“2+/)

//加\2d2upvv2正

=2[㈤+稣+㈤

又fG）解析,则实部«及虚部，均为调和函数.故

昨（毂+含）=6+4）=&

则

（枭崎）尔川J”像丫+（新）=4ir（川2.

6.试证CR方程的极坐标形式为需T需，需=一十需，并且

有

fix)

证一设*=rcos仇y=rsinaGR条件:牛=?，察=一孕.

dxdyaydx

因

dudu3j：du0a“i.adu

=cos”丁+sm口丁,①

Sr二石•方+而,OXdy

du3udxIdu£>a”，n3u

丽=友•刘+热=-rsin8孩+rcosu,②

dy_djc—fy-jcA久i4.SnR

~~COo。f►Sin(7o*③

dr。工dr3voxoy

3Pdydx3vAa©A.qa5

----V------k---=-rsm。丁十厂cosuk,()

30dx30dyOJCdy4

利用？=巴2=-黑，比较①、④和②、③即得

d父dyojc

Ou・一1a©V1d.u

Or~r36'dr~r30'

r(z)=翁+喳

二偿8s”+豢山6)+i像cos"十1|加6)

cfdu、、dp\sin6i^u,

=COS外赤+l而厂:一(赤+l而)

nl3u,.dv\sin6/dv,.du\

得

人）”（票+卷）吒僵+臣卜

，试证〃=/一片一用都是调和函数，但…。不是

解析函数.

证因器=2孙毅=2号-2,0=-2,则

故“二/一/是调和函数又

_12n32.——2y3+6彳2丫

石(x2+y2)2'dx2(x2+y2)2'

dy_#2+y2_2y2_工2_y2/一_2y3—6-"

(x2+y2)2(x2+y2)2"Oy2(x2+y2)2*

则驹+会=o,故笠=是调和函数.

但♦W野翁工-翁澈u+讪不是解析函数.

8.如果/(z)=u+\v为解析函数，试证-u是的共辗调和函

数.

证只需证9-i”为解析函数.因i,“+R均为解析函数，故

—i(w十沁)也是解析函数，亦即—u是曾的共匏调和.

9.由下列条件求解析函数f[z}=u+tv.

(l)w-(1一*)(*+4xy+>2);

解因器=邸=31+6工1y—3》2,所以

v=f(3j?2+-3丁)dy

=3l2y+3卬2_J+g(z),

又需=6xy+3y2+d(«r),而票=3①2-64ry-3y所以“(工)=

-312,贝Ij<p(1)=一+C.故

/(Z)=U+IV

—(x-yMf+4xy+y?)

223

+i(3j~y+3xy-y—JCI+C)

=(1-I)JC2(X+iy)-9(1-i)(x+

—2X2J/(1+i)-2xy2(l-i)+Ci

=z(l—J)—2xyi,iz(l—i)+Ci

=(1—i)z(j：2—y2—2jryi)+Ci

二(1-i)d+Ci.

(2)v=2xy+3x;

解因骡=2y+3,患=2z,由f(z)解析，有

U=I21Ztlz二工2+0(y).

又留=一含--^y-3,而言=所以=-2y-3,则

36)=一/_3、+C故

f(z)=x2—y2-3y+C+i(2工y+3x).

(3)u=2(JC-l)j»,/(2)=-i;

解因爱=2y,急=2(N-1),由f(z)的解析性，有

于=*=-2(…)，

djcdy

V=J-2(一l)dz=-(z—1)2+“(丁)，

又用=斐=2),而3="G),所以

3'(y)=2y,4)(y)-y2+C,

则

v=-(JC-I)2+y2+C,

故

f(z)=2(x-1)丁十i(一(i-+J+o,

由/(2)--i1#/(2)=i(-1+C)=一i,推出C=0.即

f(z)=2(a-X)y+KJ-j；2+2x-1)

—i(--1)=-i(z—1)2.

(4)u—eT(xcosy-了sin?),f(0)=0.

解因

xT

萼=e(jrcosy-1ysiny)+ecosy,

3u

=(产(一xsin3?-siny-ycosy),

由/'(之)的解析性，有

dy__d_u

=-ex(—a?siny—siny—ycosy),

<?X3y

dv_3_u_

ex(xcosy—>siny)+e^cosy.

djc

则

v(x,y)=J-票d*+整dy+C

J(o,o)3ya#，

=Odz+[ex(a：cosv-vsiny)+excos>]dv+C

JoJo

=exJTJcos

ydy-ysinydy+cosydy|+C

J。-Jo■/

=xsiny-ycotsy-0cosydy+10cosydjy)+C

:e'jrsiny-exjcosy+C,

故

f(z)=eJ(xcosy-ysiny)+iex(xsiny-ycosy)+iC.

由/(O)=0知C=0,即

f(z)=e，(icosy-ysiny)+ie*(zsiny-ycosy)=zez,

10.设v=e煦sin力求p的值使d为调和函数，并求出解析函数

f(z)—u+\v.

解要使&(1,＞〉为调和函数，则有=%r十七=0.即

92cAisiny-e^sin)=0,

所以p=±1时,v为调和函数，要使/(z)解析，则有ux-vy,Uy=­vx.

u(x,y)=Juxdj：=Je^cosydz=-^e^oosy+1(y),

uy=--e^siny+3'(y)—-p*siny.

所以

3'(y)=(3一pje^siny,5(y)=(P一~je^cosy+C.

即u(x,y)-peacesy+C,故

Je，(cos3/+isin3,)+C=ez+C,p=l,

f(z)=5、八_

l-ez(cos3/+isin^)+C=-eZ+C,/)=-1.

11.证明:一对共施调和函数的乘积仍为调和函数.

证明设9是〃的共钝调和函数，令/(z)=〃+2，则/(z)是

解析函数,产(2)=f(z),/(Z)=(u+iv)2=(M2-”2)+i2UV也

是解析函数，故其虚部2刈是调和函数，从而取是调和函数.

12.如果f{z}=u+2是一解析函数，试证:i"也是解析函

数.

证因/(z)解析，则强=票，票=-孕，且〃，豆均可微，从而

djrdyoydj：

-u也可微，而

if(z)=v—iu—v+i(—«)

又

3y3u3(—u)dy_djt__a(一〃)

9Tdy'3y3工3JC'

即-〃与曾满足CR条件，故i两也是解析函数.

13.试解方程：

(l)e*=1+/3i;

解ez=1+/3i=2(cos号+isiny)=28,尹2痴)

=*2+i⑵”+多,笈=0,土1,±2,

故

z=In2+\{2kn+y),k=0,±1,±2.

(2)Inz=£；

解z=e.21=cosy+isiny=L

(3)sinz—ish1;

解sinz=ish1=i(-i)sini=sini,所以z=2kn+i或z=

(2&-l)n—id为整数.

另解.见本节例24.

(4)sinz+cosz-0.

解由题设知tanz=-1,z=^7t-,k为整数.

14.求下列各式的值.

(1)cosi;

(2)Ln.(—3+4i);

解Ln(-3+4i)=In5+iArg(-3+4i)

=In5+i+K—arctan/.

⑶(—

解(1-=e(l+i)Ln(l-i)

=(-£+22兀)]

_^ln/2+^-2^jr-*-i[ln/2+2Air-^]

=e1^+4-2t,rcos(In*/2—^-)+isin(ln/2-

(4)33T.

&3-i_J3-i)Ij»3_Q(3r)(ln3⑵石)

解J—c—c

:C(3—i)ln3./£1r—31n3+2比方.g-iln3

=27e24ff(cosIn3-isinIn3).

15.证明

⑴sinz=sinarchy+icosNshj>;

证sinz=sin(x+i>)=sin①cosiy+coszsini_y

.+e-WeS-e-ii>

=sinx-------------+oosJC------云，-

.e-y+.e-y—9

=sinx-icosx2~~

=sinxchy+icosishy.

(2)cos(名i+Z2)=cosz^cosZ2-sinzjsinZ2i

证

coszicosZ2-sinzjsinn

_(e&i+-%)，%+e-%)_(金―二e-%)(e%—

—4—4-

=l[e'(Z]+丁2)+e-*zi+w/+¥(_勺+£2)+g<(«j-^2)]

Kt

+/e*，+*2)+e-i(2j+^2)-e〈一，F)-e

=+eT(，+"2)]=cos(zi+z：2),

（3）sin2z+cos25：=I;

证利用复数变量正弦函数和余弦函数的定义直接计算得

sin2x+cos2^—［去（el*—e-lx）+（e1K+e~lz）］

=—］（/访+e~2ix-2）+-y（e2**+e~2ts+2）

*T*T

=1.

（4）sin2N=2sinzcosz;

济o，o（声-e"）（一十

琏2smzcosz=2'---------------1--------------匚

4t

=yr（e2is:+1-1-e~2iz）

=2i（，"-e-2,z）=sin2z.

（5）Isinzl2=sin2x+sh2>;

证Isinz\2-sinz♦sinz=sinz•sinz

_Jz©运—eT苏

一'"2i'2T

［9（才+60ei（N+iy）］—（工-iy）］

-4

=-卷［e2汉+e-2ix-2+2-e2^-e~2y］

=sin2.r+sh2”

（6）cosz.

证

sin（zl-之2）=sinNicosZ2-cos乞isinZ2>

元、，n7T.

（~2~zj=sm爹cosz—cos爹s】nz=cosz.

16.证明：

（1）ch2^rsh22二1；

故

2

++©2+2e"+-21

ch%-sh2«4=L

⑵ch2z—sh2r+ch2«;

证系+届=/+”2+0*e-2z+2

44

2+e'2z

=---------=ch2z,

(3)th(z+7ti)=th之；

ez+石一e-i

证th(z+石)=

ez+石+e-z-ni

e"2疝一e-工二?-e-a

e=thz.

eZ+2布+e—―ee+e-e

(4)sh(zi+Z2)=shN[dhZ2+chzish

证设之二chw,且加=Arcchz,由

z=chw=；(e"'+e-tt，)知2z=e07+e'

即e2"-2zew+1=0.解方程得=z±，”-1，故

u;=ln(z+Vz2-1).

注:二]含有“土”两根.

18.由于In2为多值函数，指出下列错误.

(1)Lnz2=2Lnz.

解因

Lnz2=In|z|2+i(2^+2^»r),k=0,±1,±2「-

而

2Lnz=2〔ln|z|+i(8+2入n)]

=ln[x|2+\{26+4天K),k—0,±1»±2,-**

两者的实部相同，而虚部的可取值不完全相同.

(2)Ln1-Ln--Ln«-Ln«=0.

z

解Ln1=In1+i(0+2£K)

=2笈式i,k=0,±1,±2,…，

即Ln1=0仅当4=0时成立.

注：Ln(zi•匕)=Ln町+Ln叼及Ln/=Ln之1-Lnz2两个

等式的理解应是:对于它们左边的多值函数的任一值，一定有右边两多

值函数的各一值与它对应,使得有关等式成立;反过来也一样.

19.试问:在复数域中(d)。与一定相等吗？

解不一定，如：

a=l+i,6=2,c=y,a*=l+i,(a'尸二注\.

20.工列命题是否成立？

(1)ez-e苏.

解成立，因______

ez=e"ty=6^(cosy+isin>)=6^(cosy-isiny)

(2)p(z)=似/(力(z)为多项式).

解不一定，如

p(z)=(a+法)z,p(z)=(a-\b)z

而

p(z)=(a+\h)z.

(3)sinz=sinz.

解成立，因

⑷Lnz=Lnz.

解成立,因

Lnz=[In]z|+[(^+2kizj}

=ln|zI-i(^+2kn)t笈=0,±1,±2,….

Lnz=ln|2|+i(-0+2kn)

二ln|z|-i(6+2AK),及=0,±l,±2,….

第三组1.计算机分-,）+Lr2]dz,积分路径（1）自原点至I十i的

直线段；（2）自原点沿实轴至1,再由1偌直向上至I十i;（3）自原点沿

虚轴至i.再由i沿水平方向向右至1十i.

解(1)I[(N-+i.r2_dc

」0

=[32(]-i-i)dr—i(1i)-------+W

注：直线段的参数方程为之二(1+：)E,0WZ<1.

(2)City—0»dy-0,dz=di,

C2：2—1,=0,dz=idjy-

j([(n->)+21dx=।仁十

'

=f(JT+izr2)dz+|(I—v-t-i)idv=—+-T1.

JoJo"Nb

(3)Zi:JC=0,dz=idy1/3:v=1,dz=djr.

J。[(1_*)+\jr2}dz=j+I,

二f(一、)id_y+「(工—1+ijr2)dx

J0Ju

__---—1_____—__i

26,

2.计算积分巾cltydz的值，其中C为(1)Izl=2;(2)|zf=4.

解令之一.耳，则

f,T^rdy=f——rie2dd=2nri.

ir=2时,为4?n:当r=4时，为8rn.

3.求证：[与，其中。是从1i到1的直线段.

JCZ4

故

dz2

C^WIdzI_0cos0d”去

cIz2Jqcos%

4.试用观察法确定卜列积分的值，并说明理由，C为Izl=1.

⑴

。+47+4

解积分值为0,因被积函数在lz|<l内解析.

)---dz.

⑵Ccosz

解积分值为0,理由同上.

⑶片.

解)—-2疝

Cz~2

5.求积分1—dz的值，其中C为由正向圆周|z|二2与负向圆周

JcN

Izl=1所组成.

解f—dz=1~dz-j-dz

JCZJ|z|=2ZJ1zl=1z

第5题第6题

6.计算，》上dz,其中。为圆周|z|=2.

解fM=~rz~=z(±°在=2内有两个奇点z=o,

1,分别作以o,i为中心的圆周G，C2，G与C?不相交，则

=2m-2iri=0.

7•计算于Izl=3(N-i)Z+2产

解解法同上题，

中I—=3(之一i)(z+2)dz

8.计算下列积分值.

fui

(1)sinzdz.

Jo

解sinzdz=-cosz=1—cosiri.

Jo0

(2)]ze^dz.

fUil+i,.

解J]zezdz=(zez-ez)1=ie1+1.

⑶[(3e*+2z)dz.

Jo

解[(3ez+2z)dz=(3ex+z2)

Joo

=3el—1—3=3d—4.

9计算[5也，其中C为圆周|z+i|=2的右半周，走向为从

-3i到i.

解函数4在全平面除去z=0的区域内为解析,考虑一个单连

Z

通域，例如D：Rez>-4;Jz：I>-y，则与在D内解析,于是取2的

4zZ之

一个