2020-2021学年汕头一中高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年汕头一中高二上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.集合集={1,2,345,6,7,8},4={2,5,8},5={1,3,5,7),贝比/)nB=()

A.{5}B.{1,3,7}C.{2,8}D.{1,3,4,5,678}

2.给出下列四个结论：

①若命题解::3题图超悬书/#1■­＜：®,贝1J-解:'勒•阐R/特系:#：1空®；

②“如一&如一啜=励”是“害一兽=(旷的充分而不必要条件；

③命题“若加演帆则方程:蹴=1领有实数根”的逆否命题为：“若方程婷#般-:瞬=顿没有

实数根，则嬲匕0”；

④若诵■海叫做舶帆渤生除=4,则」#g的最小值为，

硼品

其中正确结论的个数为()

A.1B.SC.笔D.4

3./(%)是定义在R上的奇函数，/(-3)=2,则下列各点在函数/(%)图象上的是()

A.(3,-2)B.(3,2)C.(-3,-2)D,(2,-3)

4.已知函数/'(%)=a"】一：(a>0,且a41)的图象过定点(m,n),则(为机"=()

4ol

A.|B.|C.D.

2327o

5.已知角a(0<a</)的终边经过点(cos2/7,1+sinS^cosP-cos3ss讥S),VS<兀，且夕。亨)，

则"6=()

A77r—37r-兀c57T

A--TB.-7C.--D：

6,用10个均匀材料做成的各面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体玩具，每次同时抛出，

共抛5次，则至少有一次全部都是同一数字的概率是()

A.[1-(|)10]5B.[1-(1)5]10C.1-[1-(1)5]9D.l-[l-(i)9]5

7.已知异面直线a与b所成角为60。，过空间内一定点P且与直线a、b所成角均为60。的直线有()条.

A.1B.2C.3D.4

22

8.已知双曲线E：京—a=1缶>0/>0）的左右焦点分别为尸1，F2,以原点。为圆心，|00|为半

径的圆.与双曲线E的右支相交于4B两点，若四边形4。8尸2为菱形，则双曲线E的离心率为（）

A.V3+1B.V3C.V2D.V2+1

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.已知向量方=（1,久一1）范=（招2），贝女）

N.五丰％B.若五〃石，则x=2

C.若方1K，则久=|D.\a—b\>42

10.已知/（久）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=1对称，则（）

A./（%+4）=f（x）

B.f（x）在区间（-2,0）上单调递增

C./（X）有最大值

D./（%）=sin葭是满足条件的一个函数

11.某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将

所得数据分成6组：[90,91）,[91,92）,[92,93）,[93,94）,[94,95）,[95,96],得到如图所示的频

率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是（）

A.b=0.25

B.长度落在区间[93,94）内的个数为35

C.长度的众数一定落在区间[93,94）内

D.长度的中位数一定落在区间[93,94）内

12.已知抛物线C：必=2PMp>0）的焦点为F,直线的斜率为遮且经过点F,直线，与抛物线C交于

点4B两点（点4在第一象限）、与抛物线的准线交于点O,若[4F|=4,则以下结论正确的是

（）

A.p=2B.F为4D中点C.\BD\=2\BF\D.\BF\=2

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.△ABC的斜二测直观图如图所示，则△ABC的面积为

14.已知一个直角三角形的三边成公差为d的等差数列，那么该直角三角形的斜边长为.

15.如图，双曲线C：胃—真=l(a,b>0)虚轴上的端点B(O,b),右焦点F,若以B为圆心的圆与C的

一条渐近线相切于点P,且前//两，则该双曲线的离心率为.

16.在棱长为1的正方体4BCD-4/1GD1中，以4为球心半径为竽的球面与正方体表面的交线长为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知xeR,设布=(2cos久，sinx+cos久)，元=(痘sinx,sinx—cosx),记函数/(%)=沅•元.

(1)求函数/(%)的最小正周期和单调递增区间；

(2)设AABC的角4B,C所对的边分别为a,b,c,若/(C)=2,c=q，a+b=3,求△ABC的

面积S.

18.数列｛5｝满足&=2,3(册-1)(«„—即+力=(厮-—l)(n€必).

(1)证明：数列｛a.-1｝是等比数列；

(2)设既=nan+广^也(nGN+),求数列｛.｝的前n项和立.

anan+l

19.在棱长均为2的正三棱柱ABC-Q中，E为当前的中点.过4E的

截面与棱BBi，AG分别交于点F,G.

(1)若尸为BB］的中点，求三棱柱被截面4GEF分成上下两部分的体积比5

v2

(2)若四棱锥4-4GEF的体积为等，求截面4GEF与底面ABC所成二面角

的正弦值；

(3)设截面4FEG的面积为So，AAEG面积为Si，AaEF面积为S2,当点F在棱上变动时，求其的

取值范围.

20.四棱锥P-4BCD中，底面4BCD为矩形，/.PAB=90°,PA=PD=AD=2,

(1)求证：平面PAD1平面4BCD.

(2)在下列①②③三个条件中任选一个，补充在下面问题一处，若问题中的四棱锥存在，求2B的

长度；若问题中的四棱锥不存在，说明理由.

①CF与平面PCD所成角的正弦值等于警；

②。4与平面PDF所成角的正弦值等于京

③PA与平面PDF所成角的正弦值等于今

问题：若点尸是4B的中点，是否存在这样的四棱锥，满足—?

21.已知椭圆的焦点在久轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6,求椭圆的标准

方程

22

22.已知椭圆C：京+£=2>6>0)的长轴长是短轴长的两倍，焦

距为2百.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设4、B是四条直线x=±a,y=±b所围成的两个顶点，P是椭圆C

上的任意一点，若赤a+n赤，求证：动点在定圆上运动.

参考答案及解析

L答案：B

解析：因为CVA={1,3,467,8}二.(Q/)M={1.17}故答案B.

2.答案：C

解析：试题分析：由特征命题的否定知①正确；

fv.c-3liiivrvxr-4'iivi=®：=＞第=3如膝,=4••r=3vM.s-vISV.IIIs-4yii=",M所以”v打.:一警v前v■密一v确=领”是

“雷-兽=/”的必要而不充分条件，所以②错误；由逆否命题的定义知③正确；

=1.二④正

谢＞(®招题＞9愣僦#题=4联二二#=

:僦曲

确.

考点：1、常用逻辑用语；2、均值不等式.

3.答案：A

解析：

本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，难度不大，属于基础题.

根据f(x)是定义在R上的奇函数，〃-3)=2,可得：/(3)=-2,进而得到答案.

解：•."(%)是定义在R上的奇函数，/(—3)=2,

•••/(3)=-2,

故(3,-2)在函数/(%)图象上，

故选：A

4.答案:D

-1

解析：解：函数/(%)=〃+1>0,且中,

令1+1=0,得％=—1,

所以y=/(T)=1_:=|，

所以的图象过定点(一1,|),

-3

所以血=-1,n=-；

4

所以(为77171=(—)4=(—)1=—.

v817k81yv1678

故选：D.

根据指数函数的图象与性质，求出/(%)的图象所过定点，再计算(首严”的值.

ol

本题考查了指数函数与指数运算问题，是基础题.

5.答案：B

解析：解：点、P(cos2/3,1+sin30cosB-cos3ssin0),即点P(cos2£,1+sin2S),

A\0P\=y[2\sin(i+cos。].

由题意可得cosa>0,sina>0.

•­•BG20G(兀,2兀)，由cos2£>0,知2£G(：,2兀)，则0e(亨,兀),

•••stn，+cos，<0.

则c°sa=-募意黑)=—乎(cosA-s出0)①,

(sin。+cos8)2_

sina=——(sin/?+cos/?)②,

V2(sin/?+cosj?)

由①得，cos，—sin，=—ypicosa,

由②得，cosR+sin(i=—y/2sina^

两式作和得：2cosB=—V2(sma+cosa),

两边平方并整理得：sm2a=cos2/?=sin(^-2/7).

v0<a<p2ae[0,7r),又20G(及2兀),

・・・g—2£+2a=_兀，则0_£=_如.

24

故选：B.

利用两角差的正弦化简点P(cos20,1+sin30cos0-cos30s)。)，求出P到原点的距离，再由任意角

的三角函数的定义列式，结合V：得到夕的具体范围，把定义式化简，作和后平方得到由"2仇=

cos28=sing-20).最后结合已知角的范围求得a-3的值.

本题考查任意角的三角函数的定义，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查学生灵活解决问题

和处理问题的能力，属有一定难度题目.

6.答案：D

解析：解：设“同时抛出一次全部都是同一数字”为事件4则

11

P⑷=6x(-)10=(潦

抛5次事件4都没发生的概率为[1-(i)9]5

所以至少有一次全部都是同一数字的概率是1-[1-(》9]5

故选：D.

利用相互独立事件的概率公式求出“同时抛出一次全部都是同一数字”的概率，利用对立事件的概

率公式求出抛5次事件4都没发生的概率，再一次利用对立事件的概率公式求出答案.

本题考查相互独立事件的概率公式及对立事件的概率公式，考查正难则反的处理方法，属于中档题.

7.答案：C

解析：解：把直线a,b平移，使两直线经过P,如图，

则a,b所成角为60。，其补角为120。，当I经过P且为120。角的角平分线时，I与a,b均成60。角，

设60。角的角平分线为c,把c绕P旋转，且在旋转过程中保持与a,b成等角。，贝但逐渐增大，

上下旋转各能得到一个位置，使1与a,6所成的角均为60。，

・••这样的直线I有3条.

故选：C.

利用异面直线所成角的概念，平移两直线a,b,可知当[为120。的角分线时满足题意；把60。角的角

分线旋转又可得到满足条件的两条直线，则答案可求.

本题考查异面直线所成的角，关键是对异面直线所成角的概念的理解，是中档题.

8.答案：A

解析：解：双曲线E：胃一"=l(a>0,b>0)的左右焦点分别为Fi，尸2，以原点。为圆心，|0川为

半径的圆，与双曲线E的右支相交于4B两点，若四边形40BF2为菱形，

可得：氏二匝)，代入双曲线方程可得：二-冬=1,

k2274a24匕2

可得：e2—^—=4,e>1,解得9=遮+1.

e2-l

故选:A.

通过四边形ZOBF2为菱形，求出4的坐标，代入双曲线方程，列出关系式，然后求解双曲线的离心率

即可.

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

9.答案：ACD

解析：解：根据题意，依次分析选项：

对于4向量N=(l,x—1),方=(久,2)，若五=石，则有无解，则必有方H3，A正确；

对于B,若方〃3，则有2=x(x—1),解可得尤=2或—1,2错误；

对于C,若11石，则五1=%+2(>:—1)=0,解可得x=|，C正确；

对于D,a-b=(l-x,x-3),则—3|2=2(x+2)2+222，必有|五一。正确；

故选：ACD.

根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案.

本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量平行的判断，属于基础题.

10.答案：AD

解析：解：由/(x)是定义在R上的奇函数可得/Q)=-/(-x),

由图象关于直线x=1对称可得/(2+x)=/(—乃，

所以J(2+K)=—/(X),/(4+x)=/(%),

故A正确；由已知没法判断函数的单调性，BC错误；

/Q)=sin5x是奇函数，且/(2-x)=/Q),故D正确.

故选：AD.

由已知奇函数且函数图象关于x=1对称可分别检验各选项即可判断.

本题主要考查了函数奇偶性及对称性的应用，属于基础试题.

H.答案:ABD

解析：解：对于4：由频率之和为1,得(0.35+6+0.15+0.1x2+0.05)x1=1,解得b=0.25,

所以选项A正确，

对于选项B：长度落在区间［93,94)内的个数为100x0.35=35,所以选项8正确，

对于选项C：对这100件产品，长度的众数不一定落在区间［93,94)内，所以选项C错误，

对于选项。:对这100件产品,因为0.1+0.1+0.25<0.5,而0.1+0.1+0.25+0.35>0.5,所以长

度的中位数一定落在区间［93,94)内，所以选项。正确，

故选：ABD.

由频率之和为1,即可求出b的值，利用区间［93,94)的频率乘以总数即可得到长度落在区间［93,94)的

个数，众数不一定落在区间［93,94)内，根据频率的和即可判断中位数一定落在区间［93,94)内.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，同时考查了学生的计算能力，是基础题.

12.答案：ABC

解析：

本题考查直线和抛物线综合问题，中档题

如图所示:作AC_L准线于C,4M_Lx轴于M,8E_L准线于E,计算得到p=2,/为4）中点，|。用=2\BF\,

\BF\=l，得到答案.

如图所示：作4C_L准线于C,轴于M,BE1准线于E,

直线的斜率为百，

故tan/AFM=W，^FM=g,\AF\=4,

故|MF|=2,\AM\=2V3,

2©+2,2g),代入抛物线得到p=2；

\NF\=\FM\=2,

故AAUF丝ADNF,

故AP=DF=4,即F为4。中点；

又易得ABDE=三

o

故|DB|=2\BE\=2|BF|；

即|BD|=2\BF\,

所以|BD|+\BF\=\DF\=\AF\=4,

故田F|=%

故选：ABC.

13.答案：2

解析：解：把△ABC的斜二测直观图还原为原图形，如图所示；

则AaBC的面积为S=；x2x2=2.\

2\

故答案为：2.\

~C-2~5x

把△A8C的斜二测直观图还原为直角坐标系下图形，求出原图形的面积即

可.

本题考查了平面图形的斜二测画法与应用问题，是基础题.

14.答案：5d

解析：解：根据题意，设该直角三角形的斜边长t,则两直角边的长依次为t-d,t-2d,

则有(t—d)?+(t—2d)2=t2,

解可得：t=5d或t=d(舍)；

故t=5d,

故答案为：5d.

根据题意，设该直角三角形的斜边长3由等差数列的通项公式可得两直角边的长依次为t-d,t-2d,

由勾股定理可得(t—d)2+(t—2d)2=t2,解可得t的值，即可得答案.

本题考查等差数列的性质以及应用，涉及勾股定理的应用，属于基础题.

15.答案：上正

2

解析：

本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定BF垂直于双曲线的渐近线y=5尤是解题的关

键.

由题意BF垂直于双曲线的渐近线y=gx,运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1,求出a,c的关

系，即可求出该双曲线的离心率.

解：由题意丽〃而，可得：

BF垂直于双曲线的渐近线y=gx,

由尸(c,0),B(0,6),kBF=-p

可得—2--=—1,

ca

即从—ac=0,

即c?—a2—ac=0,

由e=?可得：

e2—e—1=0,

又e>1,

可得e=在±1.

2

故答案为四.

2

16.答案：』

6

解析：解：正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：2...........-.c

/1

ABCD.44/名为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角-----Z(\\

4遇162_、B/CCi、ADCCi为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧,

由于截面圆半径为r=@，故各段弧圆心角为R

•••这条曲线长度为：3・叽逋+3•生•渔=逋兀.

63236

故答案为：也兀.

6

球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点4所在的三个面上；另一类在不过

顶点4的三个面上，且均为圆弧，分别求其长度可得结果.

本题为空间几何体交线问题，找到球面与正方体的表面相交所得到的曲线是解决问题的关键，是中

档题.

17.答案：解：(1)•••/(x)=m-n=2y/3sinxcosx+sin2%—cos2%=V3sin2x—cos2x=2sm(2%—

》...(3分)

・••/(%)的最小正周期是T=7T….(4分)

由2攵兀-3<2%一^<2/CTT+RkEZ,...(6分)

得函数/(X)的单调递增区间是他兀—9，k兀+白(kez)....(7分)

(2)由f(C)=2,得sin(2C—看)=1,…(1分)

0<C<7T,所以一巴<2c——<——,

666

••.2—=*C=?分)

o23

在44BC中,由余弦定理=a2,+b2-2abeosC,…(4分)

得3=a2+b2—ab=Qa+b)2—3ab,即ab=2,...(5分)

・•.△ABC的面积S=-absinC=-x2x—=—.(7分)

2222、,

解析：(1)利用数量积运算性质、倍角公式与和差公式可得f(%),再利用三角函数的图象与性质即可

得出；

(2)利用三角函数求值、余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出.

本题了考查了数量积运算性质、倍角公式与和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数求值、余

弦定理与三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

18.答案：(1)证明：•.,数列｛a九｝满足的=2,3(an-l)(an-an+1)=(an-l)(an+1-l)(nGN+),

a

・••(n—l)(3an—4an+1+1)=0,

解得=1或3。九-4an+1+1=0,

又=2,a九。1,

313

•••an+l-1=［。九+I-1=Z(。九一1)，

又—1=1,

•••数列5-1｝是首项为1,公比为［的等比数列.

(2)解：由⑴知即―1=《厂1,.•・斯=《产1+1,

%=几与+黑=吒)…+—向］,

S"=(1.%+怂)+(2&2+筮)+-+(nan+

=1.(1)°+2-(1)+…+n・弓尸+(1+2+3+…+n)+4®-；+>£+…+取二-泼"

=1•$°+2•(|)+-+n-(^-1+^1)+4(1-^),

设"=>©°+2・(/+-一+展4厂】，①

则1=1•(令+2畛2+…+展(沪②

①—②，得/=1+?+(|)2+…+弓尸_nC)n

=W一小5

4

=4-%)f.(2

r„=16-(16+n)(；r，

•••^=16-(16+n)(^+中+4©-六)

=18—(16+町(犷+”一向.

.313

解析：(1)由已知得(。九—1)(3。九—4a+1)=0,再由的=2,得。九+1—1=-a+--1=-(a—

n+14n44n

1),的-1=1,由此能证明数列｛即-1｝是首项为1，公比为1的等比数列.

(2)由an—l=C)n-i，得“=几斯+£念=”|尸-1+4［百三一号］,由此利用分组求和法、

裂项求和法以及错位相减法能求出数列｛%｝的前几项和无.

本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意分组求和法、裂项

求和法以及错位相减法的合理运用.

19.答案：解：(1)连结EF,并延长分别交CG，CB于点M,N,

连结4M交AiG于点G,连结AN,GE,

则段=四=结=1,

ACMCCN3

故G为4G靠近Q的三等分点，所以MC1=1,GC1=|,

下面球三棱柱被截面分成两部分的体积比，

三棱柱4BC-2/iG的体积为U=—x22X2=2V3,

4

连结&E,&F,由BB］〃平面4&E可知，/一加遇为定值，

所以5一44送=ixixV3x2xl=^,

所以匕=^A1-EFB1+^G-AArE+^F-AArE

13V3

=|xixlxlxV3+ixlx2xV3x|+^=--------,

18

故％=U—匕=誓

所咤=H；

(2)由匕-GEF=^G-AA1E+，F-A4iE以及=寺可得%-44拉=,

12

设点G到平面441E的距禺为九，由匕;一幺幺送=]xSuaiEx/i,解得h=1,

所以点G到直线4E的距离为£则点G为4G靠近G的四等分点，

因为平面〃平面4BC,

所以截面2GEF与平面ABC所成的角即为截面AGE尸与平面&B1Q所成的角,

在AGCiE中，GG=C1E=1,故EG_LGC「

又因为平面4CC1&1平面4/1的,且平面aCCMin平面&B1C]=ArCr,

故EG1平面

则N&G4即为截面4GEF与底面ABC所成的二面角，

or

在RM/iGA中，％IG=5，AAr=2,AG=-,

故sinN&G/=篝=g

所以截面/GEF与底面ABC所成二面角的正弦值为泉

（3）设GQ=7H,则TH€[0,1],且蜉=广-,

（JAZ,—1TL

设AMGE的面积为S,则2=片，

又因为S2=S+S1，所以微=等651],

故/_=受躅=鱼逛e[4,2],

人S1S2S1S2S2SiL'2」

所以国的取值范围为[4,）

解析：（1）连结EF,并延长分别交CQ,CB于点M,N,连结AM交4的于点G,连结AN,GE,利用

比例关系确定G为4G靠近G的三等分点，然后先求出棱柱的体积，连结4亚,49，由匕=VA1_EFB1+

VC-AA1E+/TAE和/=/-匕进行求解，即可得到答案；

(2)求出点G到平面A4IE的距离，得到点G为4G靠近G的四等分点，通过面面垂直的性质定理可得

N&G4即为截面2GEF与底面ABC所成的二面角，在三角形中利用边角关系求解即可；

(3)设GCi=m,则me[0,1],先求出金的关系以及取值范围，然后将式"转化为Si，S2表示，求解取

5102

值范围即可.

本题考查了空间几何体体积的求解，二面角的求解以及截面面积问题，考查了空间想象能力与逻辑

推理能力、化简运算能力，属于难题.

20.答案：(1)证明：因为"MB=90°,所以AB1PA,

因为底面48CD为矩形，所以ABLAD,

又P4ADu平面PAD,S.PAQAD=A,

所以AB1平面PA。，

又ABu平面力BCD,

故平面pan_L平面ABCD；

(2)解：取4D中点为。，因为P4=PD=4。=2,所X

以。a1OP,

以。为坐标原点，。40P所在直线分别为久，z轴建立空间直角坐标系，设AB=2a(a>0),

贝Ija(l,o,o),£>(-1,0,0),P(0,0,V3),8(1,2a,0),C(-l,2a,0),F(l,a,0),

若选①：

求得#=(2,-a,0),DC=(0,2a,O'),DP=(1,0,V3)，

设平面PCD的法向量为元=(%,y,z),

nmfnDC=0即「ay=0

In-DP=O'L+V3z=O'

可取元=(V3,0,-l),

设CF与平面PCD所成角为氏贝卜讥。=密鲁=具="，解得a=L

\CF\\n\V4+a25

所以存在符合题意的四棱锥，此时=2a=2.

若选②：

求得a=(2,0,0),DP=(1,0,V3),DF=(2,a,0),

设平面P。尸的法向量为记=(x,y,z),

则日四°，即?

(元•DP=0(%+V3z=0

可取元=(百见—2百,—a).

设DA与平面PDF所成角为。，则sin®=繇=点玄=：，解得a=3,

\DA\\n\2xV3+a24

所以存在符合题意的四棱锥，此时48=2a=6.

若选③：

易知P4与平面PDF所成的角小于N4P0,设PA与平面PDF所成的角为仇

则sin。<smZ-APD=sin-=—,

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