2023年陕西省安康市统招专升本数学自考真题(含答案带解析)

2023年陕西省安康市统招专升本数学自考

真题(含答案带解析)

学校:班级:姓各考号:

一、单选题(30题)

1.

曲线^=1皿+)工2+1的凸区间是)

Lt

A.(—8,—1)B.(—1,0)C.(0,1)D.(1,+℃)

2.

设当时与g(外均为工的同阶无穷小量,则下列命题正确的是()

A./(x)+g(x)一定是1的高阶无穷小

B./(x)-g(x)一定是z的高阶无穷小

C./(.r)g(x)一定是.r的高阶无穷小

D.9?(g(.r)丰0)一定是w的高阶无穷小

3.

d：

)

工~~iF

A.OB.1C.2“D.21d

4.

方程M+J=l(a>0,/>>0)确定变量y为I的函数.则导数学=

alrdi

5.

./(j-)在点上=1处可导.且取得极小值.则lim£口士2工)_[S11()

r>0工

A.0B.1C.2D.T

6.

设ln/(.r)=co&z'•则|4；((；?dr=()

A..r(COST+sin.r)+CB.jsinj—COSJ,+C

C..rcos.r-sin.r+CD..rsinr+C

7.

.若/"(.r)连续•则下列等式正确的是()

AJd/(、r)=/(i)BdJ|./(x)d.r=/(X)

|/(f)(h=/(j2)da

cj/(^)d.r=/(z)D.d

8.

若F(i)是fix)的一个原函教,C为常数，则下列函数中仍是/(I)的原函教的是

()

A.F(Cx)B,F(T+C)C,CF(Z)D.F(z)+C

9.

X—t,

直线，y=-2，+9,与平而3才一4y+7z-10=0的位置关系是()

z=9z—4

A.平行B.垂直

C.斜交D.直线在平面内

10.

某公司要用铁板做成一个容积为27n?的有盖长方体水箱.为使用料最省,则该水箱

的最小表面积应为()

A.54m2B.27m2C.9m2D.6m2

11.

已知函数./（J-）=X•则/[/（J）1=

)

A.xB..t2C.-D.4

XX1

12.

设极限lim学~勺2=-1,则点工=H,是函数八外的（）

A.极大值点B.极小值点

C.驻点，但非极值点D.非驻点

13.

已知函数/（才）在（-8.+8）内可导，周期为4,且1质/（“二/（】二三）=一1,则曲线

X-*wLjC

y=/（T）在点（5J（5））处的切线斜率为（）

A.-j-B.OC.-1D.-2

14.

若D={（xj）a2244a2,a>o},则二重积分口必行改切=（）

D

C28,314

A.3naB.-naC.—na2D.——ita2

323

15.

设/(①)在(0.+8)上连续.且［M,则/(2016)=()

A.0B.1C.2D.无法求出

16.

下列级数发散的是

A.X(

艮

匕5即一3〃

cV-2^-DV______________

W-1,士(5〃+4)(5〃-1)

17.

函数/(x)=e'-x的单调增加区间为)

A.[0,+8)B.[—1,1]C.(-2,0]D.(-oo,0]

18.

函数丁=lnx-x的单调增区间是(

A.(0,1]B.(-oo,l]C.(l,+oo)D.(0,-K»)

19.

已知向量W=3；-2，+Z,^=7+2j-3k,则2a[-3Zj=()

A.-4B.-24C.4D.24

20.

.下列级数绝对收敛的是

A.玄(一七

n=—1VJI

C+2〃+3

21.

设矩阵48为可逆方阵，其行列式分别为国树.则下列各式中，正确的是（）

A.,耳=|闻理B.（24尸=2》

C.|2[=2|4D.（48尸=才寸

22.

«»8

正顶级数则下列说法正确的是（）

«=■1・=1

A.若（1）发散.则（2）必发散

B.若（2）收敛.则（1）必收敛

C.若（D发散，则（2）可能发散也可能收敛

D.（1）,（2）散散性相同

x-1,x<0,

存在，则。=)

{2x+a.x>0/

_一_\B.OD.2

23.

24.

已知/(*)+C=Jsinndx,则/'团=<)

V2n

A.0B.sinx-C.—D.cosx

2

25.

设«„=（D”sin孑（a>0）,则无穷级数)

Vn*7

A.条件收敛B.绝对收敛

C.发散D.敛散性与。的取值有关

26.

曲线，=之辛一」的水平及垂直渐近线共有（）

工一-5#-6

A.1条B.2条C.3条D.4条

27.

若函数八］）在点心有极大值,则在-点的某充分小邻域内•函数/1）在点八的左侧

和右侧的变化情况是（）

A.左侧上升右侧下降

B.左侧下降右侧上升

C.左右侧均先降后升

［）.不能,确定

28.

设区数<*）=cos.r.划不定积分)

sin-*CC.cos-+「D.

XX

29.

sin(x-1)/、

rlim----；----：—=()

zI—1

A.1B.2C.OD.y

30.

-sin"i#0,

设/(/)=Jr3要使/(/)在(-8,+8)上连续.则a=()

a.r=0・

A.0B.1C.JD.3

J

二、填空题(20题)

不定积分为1jC°SJda-=

31.i+sini

32.

设函数/.(])满足/(0)=0"'(0)=2.则极限lim9=

lOX

(Inj'+1)di=

33.______________

34.

现有10张奖券,其中8张为2元,2张为5元.今某人从中随机地无放回地抽取3张.则

此人得奖金额的数学期望为

已知|a|=1,|b,==5♦且a・b=3,则aXb|=

35.

不定积分|cos2.rdi=

36.J

37设y—Iny—2Nnz=0确定了函数y=y(z),则y=

积分

J

如果X〜B(〃，/>),且E(X)=6,D(X)=3.6,则〃=

jy.____

40.

已知函数/Q)=£—，则定积分的值等于

1+*J1\x--------

极限lim

a-f8

已知e，+j/=1,则取=

2

向半圆0VyVy2ar-x(a>0)内任掷一点,点落隹半圆内任何区域的概率均与该

区域的面积成正比.则该点与原点连线与/轴的夹角小耳的概率为

lim(，〃+]--Jn)\/n-1=

不定积分11:誓dx=

45J1十SUIT

函数/Q)=ln(14-jr2)的极值为

46.___

47函数y=G1+”在区间［5,10］上满足拉格朗日中值定理4=

微分方程—,ylnv=0的通解为

4o.___

49曲线歹=-lna+l)+l在点(0,1)处的切线方程为一

lim(/.+］-4n)y/n—1=

50.____

三、计算题(15题)

求极限lim-一a------

k。，1+tan#一-彳

51.

求不定积分arclanCdz.

设^=6-*$111",求y”.

53.

x-sinx

求极限lim

x-y02x(1-cosx)

54.

oo

求基级数£（：一2）：的收敛域.

，r=07^7+T

55.

求极限则

56.

57.

—1,X&-1,

设/（/）=4JT"+ajc+b,—1＜、了＜1,在（一8,十8）内连续•求。和机

1.1〉1

1

求不定积分

X)

58.J1—

3J-29—la-dv

已知）=/（W（i）=arctan,f♦永吉

5w+2.r=0

59.

求定积分―dr

Jo

60.

计算不定积分jx（cosx+e2x）dx.

61.

求极限lim与吟.

62<-ruarcsin.r

63.

过鼾（1,0）作嬲知二口的嬷族峨与上或艘及瑞毓-平醐

形，求此图形绕支轴旋转一周所成的旋转体的体积.

求微分方程＞7-4，+4）=Q+l）e，的通解.

64.

65.

r

设y=3（i）是由方程e—e，=sin（/y）所确定，求y|J=0.

四、证明题（10题）

66.

已知/（X）在［0,1］上连续，在（0,1）内可导，且/（o）=/（l）=o,试证，在（0,1）内至

少存在一点g,使得/岱）COSJ=/（^）sing成立.

67.

求抛物线y=1-.r:及其在点（1,0）处的切线和y轴所围成图形的面积,并计算该图

形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积.

68.

设/(.r)在[-上连续(a>0.为常数)，证明「/(.r)d.z=["[/(.r)+/(-x)]dj-,

J-aJ0

并计算COSJC

J一.X1+e-

证明：方程F-4x?+1=0在区间（oj）内至少有一个根.

69.

70.

证明：当才〉。时，一,久〉ln（1+JC）.

71.

证明：当i>0时，ln(i++/)>一二'.

vTT?

72.

证明方程lni=£—『—cos27dl在区间(e,S)内仅有一个实根.

eJo

73.

证明方程1=asini+b(a>O.b>0)至少有一个不超过(a+。)的正根.

74.

已知方程4.r+3x3—=0有一负根］=-2.证明方程4+9/—5、，=0必有一个

大于一2的负根.

75.

设函数/(工)在闭区间［0,1］上可导,且八0)・/(DV0.证明在开区间(0,1)内至少存在

一点好使得”(8+4(£)=0.

五、应用题(10题)

76.

求平面卷+弓+多=1和柱面^+丁=1的交线上与./Oy平面距离最短的点.

343

77.

某公司主营业务是生产自行车,而且产销平衡.公司的成本函数CQ)=40000+2002-

0.002/.收入函数R(.r)=35O.Z--0.004./.则生产多少辆自行车时，公司的利润最大？

78.

某房地产公司有50套公寓要出租.当月租金定为2000元时.公寓会全部租出去，当月

租金每增加100元时.就会多一套公寓租不出去.而租出去的公寓每月需花费200元的维修

费.试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？

79.

平面图形由抛物线=2］与该曲线在点处的法线围成.试求:

（1）该平面图形的面积;

（2）该平面图形绕/轴旋转一周形成的旋转体体积.

80.

求曲线y=Ini在区间（2,6）内的一点，使该点的切线与直线x=2.1=6以及

y=ln.r所围成的平面图形面积最小.

求z=6—+所围立体体积.

81.

82.

已知曲线_y=adT（a>0）与曲线y=InJF在点（々，刈）处有公切线,试求:

（1）常数。和切点（£o，W）;

（2）两曲线与工轴围成的平面图形的面积S.

83.

一曲线通过点（e，3）且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数.求：

（1）该曲线的方程；

（2）该曲线与才轴及直线工=e?所围成的图形绕>轴旋转一周所成旋转体的体积.

84.

设平面图形Q由曲线1y=：和直线,y=1=2及/轴围成.求:

（1）平面图形D的面积；

（2）这图形绕h轴旋转一周所得旋转体的体积.

85.

扩音器杆头为圆柱形.截面半径r=0.15cm,长度/=4cm,为了提高它的导电性能,

要在这1柱体的侧面上皱一层厚度为0.001cm的纯铜，问大约需要多少克钝铜?（已知第的比

重为8.9g/cm3）

六、综合题（2题）

86.

求该曲线及其在点（1.0）和点（一1,0）处的法线所围成的平面图形的面积；

设曲线/（工）=*一.

（D求其在点（0,0）处的切线方程；

（2）证明：当0Vz<1时，/Cr）>/（-X）.

87.

参考答案

1.C

【精析】首先我们可得到函数的定义域为（0,+8）,y'=>=

匚」,当丁<0时•在定义域内0VzVI，所以其凸区间为（0,1）.

2.C

［答案1c

【精析】lim=lim'(')•limg(w)=aX0=0.

j—*0JCx-*0、TJ*-*0

［答案1A

【精析】I-―=2ni»1'=0.

3AJ--2(Z-1)e-i

4.B

【精析】对方程两边.r同时求导得4-2x+-V•2.y•孚=0.即乎=一《。故本题选B.

aITdry

5.A

【精析】因为/(.r＞在工=1处可导，且取得极小值，所以/(D=0.

因此lim“1+2工)―/⑴=lim/(1+2：)-/⑴*2=2/(1)=0,故应选A.

l。Xx-0LX

6.C

L答案」c

【精析】对lnf(.r)cow求导得£(')-rin.r'所以''‘''dr—.rsiri.rcLr

/(.r)j(.r)

.rcos.7,—cos.rd.z.rcos.rsin.2,!C.

7.D

|d/(.r)=/(.z)+C,A错,d"(外业=/(.r)ch、B错.|/(.r)Q=/(z)+C,C借，

D正确.

8.D

【精析】同一个函数的两个原函数相差一个常数，故选D.

9.C

【精析】直线的方向向量为(1，-2,9),平面的法向量为(3,—4,7),它们对应坐标不

成比例，所以不平行，即直线不垂直于平面；它们的数量积也不等于零，所以不垂直，即

直线与平面不平行,故直线和平面斜交.

10.A

［答案1A

【精析】设长方体的长宽分别为。力・则高为学.

an

于是，表面积5=2(而+■+红)=2漏+更+%

baab

(54八

0_S9//,__0,

=2=a=3.

得1

JS954..〃=3,

-=2a-v=0.

27?7

由实际问题最值一定存在.可知最小表面积S=2(3X3+会+等)=54(mD.

ll.C

【精析】因为小)=处则/R)=j所以/［,+)］=/什)=］，故选c.

12.A

【精析】由题可知，当X一工。时,勺)一八郎)＜0,又(上一H。尸＞0,故在4的邻域

2(z—工。)"

内JQ)/(x0)＜。，即/(/)＜八H0),根据极值的定义可知/(x0)是/(x)的极大

值,故应选A.

13.D

［答案］D

【精析】由导数定义可得Jin/⑴―一'=1淞八1一"―/(1)=£/⑴=-1.

J-*OJLL

所以/(l)=-2,乂函数周期为1,故/(5)=/(D=-2.

D解析：考查极坐标系下计算二重积分.

||yjx2+y2dxdy=『d6『Mdr=—7ra3.

14.D口3

15.B

【精析】两边对7求导得f(M)•2r=2,所以/(.r2)=1,从而/(2016)=1.故选B.

［答案］C

【精析】lim士=1W0,所以£告发散.

16.C-〃+1仁”+1

17.A

A

【评注】定义域为(-8,48),/。)=1-1=0,得x=0.当x>0时，r(x)>0即/㈤

递增；当x<0时，/(x)<0即/(x)递减.

18.A

【评注】本题考查函数的单调增区间，函数定义域为(0,+8),导数

y=--i>o=>x<i,所以单调增区间为(05.

X

A

19.A【评注】根据正项级数的比较判别法.

20.B

［答案］B

【精析】选项A是条件收敛.选项B是绝对收敛.而选项C与D均为发散.故应选B.

21.A

.A

【评注】(24尸=工41；|四=2"|3(其中〃为方阵的阶数)；(407=次|41;所以，

只能选A(该题考查行列式和矩阵的性质).

22.C

［答案1C

【精析】令".=L则Z-发散，下*=Z4收敛,故A、D不正确.同理.若

n…〃…11n

OUOOCOOL>

、比3收敛，则\!发散.排除B,故选C.

M"1O,1'1■■■1"

23.A

［答案］A

【精析】由于li«/(x)存在，则liW(x)=lin叭x),由题可知lin叭幻=lim(/-l)=-1,

lim/(x)=lim(2x+«)=〃，故a=-1.

x-O*x-4)*

24.C

空吧=/(x),便可得到

【评注】等式左右两端同时关于X求导，应用公式:

QX

K乌，答案选C.

f\x)=sinx.所以

2

25.A

【精析】当8时，总存在N.使得”>^7时,0<%<太=手恒成立，其中N

=竽.取i=［竽+1，则级数次”.为交错级数，且sin翕〉sin-1：］》0,又

88

limsin--=。，所以由莱布尼兹定理可知级数53un收敛，又£un=%T即十…十

Vn一叫1

8

+2由级数的性质可知有限项不会影响其敛散性，故原级数收敛；对于级数

e=i

-e,卜皿闵

S|M„=百卜in月如一产•=a.根据P级数的收敛条件知X2是发散的,

co

所以由比较审敛法的极限形式知级数X«»।是发散的•所以X““是条件收敛•故应

K-1”工!

选A.

26.C

/_2\2।1

【精析】因为y=/(“)=J---j--------------------2------4=1,从而y=1

r*-5«r-6(x-2)(x—3)

是水平渐近线；lim/(z)=oo,lim/(jr)=8.从而工=2・N=3是垂直渐近线；故该曲

LZ一y

线共有3条渐近线.

27.D

［答案］D

【精析】/(,»•)在点.r,,有极大值.则在:点,r„的充分小的左、右邻域内.有./<.r)<

但/(X)不一定连续，比如/(1)=则f(T)的变化情况不能确定.故选D.

10,1W网.

28.A

29.D

［答案］D

【精析】limsin?-I)=［mi「『八、二】).^7T=］XJ=)•故应选D.

z-1x-1x-ix-1z-ixT12Z

30.C

【精析】limIsinf=lim--f=“•根据连续的定义可知”=

.23x-»03O3

31.

In|JT+sinr|+C.

InI①+sin,z'1+C

1+cos.i———L.—d(J7+sina)=In|J-+sin.r|+

J1+sin.rJi+siikr

32.

2

【精析】由于f(.r)=O.lim'(')=lim/丁，=/7(0)=2.

rOXL。1

33.

jtlnjt'+C

【精析】(ln.r十l)d_r=In^dj-+di=彳•Inz—|di+dz=;rlnj■十C.

34.7

［答案LI7.8

【精析】得奖金额W的可能取值为6.9.12.E(e)=6.P(f=6)+9.P(5=9)+

12)=6义舁+9X^^+12X

12•P(S==7.8.

C；«C；<,

［答案］4

【精析】因为cos《a.b；>=,厂丁=W•.又0&《a.b>《“・

aW)ho

所以sin(a.£>>=Jl—冷)=4-.

、15/o

从而|aX61=absin<a.&>=1,5,4-=4.

35.40

36.

-^-sin2.r+C

J

1r・1

cos2、rdw=—cos21d(2、r)=—sin2a+C.

37.

2y(1+Injc)

~"1+)

【精析】因.y+Inv-=0,令F(=.y+In》2x\nx，

njllJ=_Fr(x.*)=21nz+2=2.y(l丁Inj)

人”-Fy(x.y)~14.114-.y,

y

38.

l-ln(l+e)

-2

【精析】I-r^~rdi=-\—cl(1—c4)=—(In|1—cJ|)

J-i1—eJ-)1—e-1

=ln(e—1)—1—ln(e2—1)+2

=1—ln(1+c).

39.15

［答案115

【精析】E(X)=nf)=6.Q(X)=np(\—p)=6(1—p)=3.6,所以1-p=0.6・

得p=0.」,所以〃=信=15.

40.

1

1出dr=ln(l+_r)|：

【精析】=ln3-ln2=

符=l+.r

1+-

X

Iny.

41.

e4

92.Z-0y

【精析】+=limfl+-\=e1.

42.

e

【精析】方程两边同时对彳求导得1+2)改=0.则用=—袅

drcLrLy

43.

11

2+7T

［答案］i+-

L7T

【精析】此问题为几何概型问题.半圆面积为SI

点与原点连线与Z轴夹角小于手的面积为Sz=午相+枭2.

44Z

所以p=I1=］+L

O1Z7t

44.

1

T

lim(+］--Jn)y/n—1=lim:，~~--一［

45.

In|i+sinj-|+C

【精析】f1COS~rd.r=-——d(j-+sin.r)=In|z+sior|+C.

JJC+siorJx+sirw

46.

/(0)=0

【精析】/"(.r)=「『二.令/'(i)=0得&=().当时/VO：当.r>0时，

/'(公>0.所以z=0为/(a)的极小值点，极小值为/(0)=0.

47.

29

~4

29【评注】利用，0=迤二］@计算得出.

4b-a

48.

、,=e°(C为任意常数)

【精析】方程分离变量得业-芈.两边枳分得InIInUuv.即y—e”.

.rvIn^

其中c为任意常数.

49.

x+y-l=O

,x+.y-l=0

［评注】曲线y=/(x)过点(工口为)的切线方程为y_y0=/'(%0)(刀_4),对于函数

y=-In(x+l)+l而言，/==-1,所以切线方程为：y-l=(-l)(x-O),

X+】

即x+y-1=0.

50.

J_

T

［精析］lim(，〃+1-G){n—］=lim:十1~--\/n—1

L8L86j+1+6

Ar

1

2

51.

_______________工3(s/1+tartr-+工)_________

原式=litn

("1|tan.r—Ioj(，lItanj-|(11/)

【精析】令右=Z•则t2，&r=2，df・

原式=jarctant•dr=rarctanf—||/

,f1+f—1.

=farctanZ—：-----；—dz

J1+r

=f2arctan/力

=rarctanz-t+arctanZ+C.

将？=G代入得arctan-fxAx=xarctan\fx-\fx+arctan-fx+C.

53.

【评注】解：y'=e-x(-x)/sinx+e-xcosx=e-x(cosx-sinx),

y"=-e-I(cosx-sinx)+e-x(-sinx-cosx)

=-Q~X{cosx-sinx+sinx+cosx)=-2e~Tcosx.

54.

5x-sinxx-sinx1-cosxsinx1

解：lun--------------=lim-------=hm-----：一=lim---------.

x2x(l-cosx)z2x-x2z3x36x6

2

55.

］

【精析】因为p=lim.=lim=lim+1=1,

W-*°OCln川-*81〃f8U

\Jn4-1

故收敛半径为R=-=l,

P

即当一1V、r-2V1,即1VrV3时,原级数收敛.

oo

当支=i时,原级数为x与"•因为

n-0yfl+1

un=_1>.1=I,lim&=lim】=0.所以收敛.

x/n+1x/n+2—oo“-.8/〃+］

oo

当i=3时,原级数为£亍^，发散，

n-05/〃+1

所以，原级数的收敛域为［1,3).

56.

［精析］原式二lim-十2c产一2二］im2中皿=Hmz^nx

xLQ4rLQLX

57.

【精析】由/(])在(一CXD,+OO)内连续，知

/(—1)=limf(j)—limf(a'),

.r-*-I1'—I1-ab——1

/(1)=lim/(j')=lim/O,〕1+a+〃=1.

58.

--------d(2/)=—arcsin2/+C

JJl-(2f)z

=­arcsin2(y—T)+C=-arcsind-21)+C.

Li

59.

31—23.r-2、3,r-2?16

【精析】57T2)=arctan

57+257T2)(5.r+2)2

所喻

=K.

1=0

60.

【精析】

=r—arccosjcK

_____等修______

yi-j-2'+yi-x2•

0J0

7t।7C_翼=5TT_翼

衣万一2一衣—2.

61.

2x2j

解:Jx(cosx+e)dx=jxcosxdx+Jxedx=Jxdsinx+gjxde^

=xsinx-jsinxdx+gxe2x-gJe2xdr

.12*121c

=xsinx+cosx+-xe——e-+C.

24

62.

原式=匚曾

L。JC

63.

1_JrT-Q

64.

【精析】对应齐次方程的特征方程为，一4r+4=0,

求解得特征根为力=2,b=2.

2

所以对应齐次方程的通解为Y=(G+C2x)e\

设原方程特解形式为y*=(&r+，〉)eL

代入原方程得a=1.6=3,

所以可得原方程的一个特解为V=(i+3)e。

2j

故原方程的通解为y=(G+C2x)e+(r+3)e^

其中G,C2为任意常数.

65.

【精析】方程两边对才求导得er-e5'•y=cos(iy)•(y+ij'),

e‘一ycosjry

化简得J=

ev+jrcos/y

又当支=0时=0,故3/L=o=1.

66.

证明：令F(x)=/(x)cosx,/'(x)=//(x)cosx-/(x)sinx

因为/(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，所以尸(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导,

又因为/(0)=/(1)=0,所以尸(0)=尸(1)=0

由罗尔定理，在(0,1)内至少存在一点g,使得尸't)=0,

/纥)cosJ-/(g)sin“0,即/'团cos匕=/⑥sin4.

67.

【精析】平面图形如图所示，困，=一2工,所以总

从而经过点（1,0）的切线方程为y=—2工|2.

所求平面图形的面积为

S=£［（-2工+2）—（1］

=［（］。2x4-1）dx

=（#7+工）|：

—1

3•

该图形绕＞轴旋转一周所成旋转体的体积为

第21题图

V=j-n-I2-2-K£（1-j-）dy

68.

【证明】因f(-r)=yE/(-r)+./(—J')]+yE/(^)­/(—.?)].

而9/(.r)—/(—i)]是奇函数.4[/(①)+/(-.r)]是偶函数。

乙乙

故|yE/(J)—/(一幻[dr=0,

所以jf(.r)cLr=21+f(—/)[dr=f[/1)+/(—/)[Ur;

JjJo/Jo

「手COSJTi「手「cosj-,cos(—J)-|,「于「e’coszcos.r-),

%rr^d-r=Jo[TT^7+1T^-]d'r=Jo_T+F+(TT7_dr

=cos.rd.z*=sin.r=丁.

JooL

69.

证明：令/。)=必-4必+1,/(x)在[0,1]上连续，/(0)=l>0./(1)=-2<0.

由零点存在定理知，存在4e（0,1）使/团=0,即J是方程工3-4必+1=0的根.

70.

【证明】原不等式即为一ln(l+r)>0,令/(i)=一ln(l+r),则

Ji+hvT+T

x/T-j-7——；_

12yTT7_i=工+2-2AT7

l+il+r2(l+z)/f+7

(71下7-1)2

>0(7〉0),

2(14-Jr)./TTT

故故z)在［0,+8)上单调增加，则故Z)>故0)=0(I>0),

即当7>0时，T=-ln(l+_z)>0