2020年中考综合模拟考试《数学卷》含答案解析

中考模拟测试数学卷

学校班级姓名成绩

一、选择题（每小题3分，共30分）

1,在1、-1、3、-2这四个数中，最大的数是（）

A.IB.-IC.3D.-2

2.如图所示的几何体，上下部分均为圆柱体，其左视图是（）

A.4盯一2y=2x

C.（-2a2）3=-8a5

4.下列调查中,适宜采用全面调查方式的是（

A.调查一批新型节能灯泡的使用寿命B.调查一批进口灌装饮料的防腐剂情况

C.对某市初中生每天阅读时间的调查D.对某班学生视力情况的调查

x+3>2

5.不等式组《，,的解集在数轴上表示为（

4-%>1

比-1....L.

-103

c.-L----------CD.-1]L

-103-103

6.若关于x的方程2x（x-l）+/nx=-2有两个相等的实数根,则实数m的值为（）

A.-2B.6C.一2或6D.2或一6

7.一次函数j=丘+6满足涉＞0,且J随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.如图，A8是。的直径，是弦，AB,N8C0=30。，AB=6,则AC的长为（）

A.B.4万C.InD.15万

9.如图，在中，N3=90。，分别以A,。为圆心,大于的长为半径作弧，两弧分别交于点

2

D,E,直线。E交AC于点尸，交A8于点G,AC=4,AB=3,则CG的长为（）

C

Q4

A.4B.-C.-D.2

33

10.如图，等边三角形ABC中，8。是AC边上的中线，点E在线段BO上，NACE=45。，AE的延长线交

BC于点F,EG=EF,连接CG交BD于点、H.下面结论:

①CE=AE；②NACG=30。；③EB=(6-1)DE@CH+DH=—AB.

2

B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）

11.舌尖上的浪费让人触目惊心,据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约49950000000千克,这个数用科

学记数法应表示为；

12.分解因式：2a'-8a=.

13.在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同,其中有5个红球,4个蓝

球.若随机摸出一个蓝球的概率为：，则随机摸出一个黄球的概率为；

14.如图所示,将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互利平行,则N1的度数为—

15.如图，甲，乙两艘船同时从港口A出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时

30海里的速度前进,两船航行两小时分别到达8,。处,此时测得甲船在乙船的正西方向，则甲船每小时行驶

_________海里；

B

16.如图,正方形ABCD中,将线段AD绕点A顺时针旋转30。得到线段AE,CE的延长线交正方形ABCD

的对角线BD于点F,则ZDFC的度数为

17.如图，已知RtZXABC中，ZACB=9Q°,AC=1,/ABC=30°,以AB为边作等边三角形谢，则CD

的长为_________

18.如图,在平面直角坐标系中，直线y=-；x+4交无轴于点A，交了轴于点B,在x轴上取点A,使

04,=，连接,过点A作A4，x轴,交直线AB于点线,过点用作BAHBA,交x轴于点人,

过点&作人与_Lx轴,交直线AB于点B2,过点B2作BAHB'，交x轴于点人，……以此类推,则点B10

的纵坐标为

三、解答题（第19题10分，第20题12分,共22分）

19冼化简，再求值若不+i-7y.其中户6-2・

20.如凰在平面直角坐标系中，已知A3C的三个顶点坐标分别是4（1,1）,6（4,3）,C（2,4）.

（1）请作出ABC绕。点逆时针旋转90。的△A4G:

（2）以点0为位似中心,将ABC扩大为原来的2倍,得到AA282G,请在》轴的左侧画出；

（3）请直接写出NABC的正弦值.

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21.某中学为了解学生对新闻，体育，娱乐，动画四类电视节目的喜爱情况，进行了统计调查.随机调查了某班

所有同学最喜欢的节目（每名学生必选且只能选择四类节目中的一类）,并将调查结果绘成如下不完整的统计

图.

根据两图提供信息，回答下列问题：

（1）本次调查了多少人？

（2）请补全条形统计图；

（3）根据抽样调查结果，若该校有1000名学生，请你估计该校有多少名学生最喜欢“新闻”类节目；

（4）在全班同学中，甲，乙，丙,丁等同学最喜欢体育类节,班主任打算从甲，乙,丙,T4名同学中选取2人参

加学校组织体育知识竞赛，请用列表法或树状图求同时选中甲，乙两同学的概率.

竽生人质

22.如图,一次函数y="+。（左HO）的图象与左轴交于点与反比例函数V=£（。/°）的图象在

第一象限交于点B（4,m）,过点3作BC_Lx轴上点C,ACD的面积为?.

（1）求反比例函数y=3的解析式；

x

（2）求证：BCD是等腰三角形.

五、解答题（本小题满分12分）

23.如图，RtAMBC中，ZACB=90°,AO平分NA4C交BC于点。，点。为A8上一点，以。为圆

心，A。为半径的圆经过点。.

（1）求证：BC与。相切；

（2）若B£>=AO=6,求阴影部分的面积.

六、解答题（本小题满分12分）

24.某商场用两个月时间试销某种新型商品,经市场调查,该商品的第X天的进价）'（元/件）与次（天）之间的

相关信息如下表：

时间X（天）1<x<3030W50

进价y（元/件）-x+7040

该商品在销售过程中，销售量加（件）与x（天）之间的函数关系如图所示:

在销售过程中，商场每天销售的该产品以每件80元的价格全部售出.

（1）求该商品的销售量6（件）与X（天）之间的函数关系；

（2）设第X天该商场销售该商品获得的利润为卬元,求出卬与龙之间的函数关系式,并求出第几天销售利润

最大,最大利润是多少元？

（3）在销售过程中，当天的销售利润不低于2400元的共有多少天？

七、解答题（满分12分）

25.已知，ABC中，=N84c=2。。，点。为8C边中点，连接AO,点E为AO中点，线段

CE绕点E顺时针旋转2a。得到线段EF,连接FC,FD.

DF

（1）如图1,当NBAC=60。时,请直接写出版的值；

（2）如图2,当N84C=90。时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确

的结论，并说明理由;

DF

（3）如图3,当ABAC=2a。时,请直接写出—的值（用含C的三角函数表示）.

八、解答题（满分14分）

26.如图,抛物线y=-£+版+c与x轴交于A,B两点,其中A（3,0）,5（-1,0）,与>轴交于点C,抛物线

的对称轴交x轴于点。，直线y=履+乙经过点A,C,连接CO.

（1）求抛物线和直线AC的解析式：

（2）若抛物线上存在一点P,使△ACP的面积是AC。面积的2倍，求点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使线段AQ绕。点顺时针旋转90。得到线段。4,且A恰好落

在抛物线上？若存在，求出点。的坐标；若不存在,请说叫理由.

答案与解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1,在1、-1、3、-2这四个数中，最大的数是（)

A.1B.-IC.3D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】

有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大

的其值反而小，据此判断即可.

【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得

-2<-1<1<3,

...在1、-1、3、-2这四个数中，最大的数是3.

故选C.

【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确：①正数都大于

0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小.

2.如图所示的几何体,上下部分均为圆柱体，其左视图是（）

【答案】C

【解析】

试题分析：•.•该几何体上下部分均为圆柱体，二其左视图为矩形，故选C.

考点：简单组合体的三视图.

3.下列运算正确的是（）

A.4xy-2y=2xB.(x-3)2=X2-9

C.(一2/丫=一8。5D.a6-i-a4=a~

【答案】D

【解析】

【分析】

根据整式的加减、完全平方公式、积的乘方、同底数嘉的除法逐项判断即可.

【详解】A、4xy与2y不是同类项,不可合并,此项错误

B、(x-3)2=%2-6x+9,此项错误

C、［-2a2丫=(一2>.(a2)3=-8a6,此项错误

D、。6+/=*-4=。2,此项正确

故选：D.

【点睛】本题考查了整式的加减、完全平方公式、积的乘方、同底数募的除法，熟记各运算法则是解题关键.

4.下列调查中，适宜采用全面调查方式的是()

A.调查一批新型节能灯泡的使用寿命B.调查一批进口灌装饮料的防腐剂情况

C.对某市初中生每天阅读时间的调查D.对某班学生视力情况的调查

【答案】D

【解析】

【分析】

根据全面调查方式的定义即可得.

【详解】全面调查是对调查对象的所有个体逐个进行调查的调查方式

A、调查一批新型节能灯泡的使用寿命,适宜采用随机抽样调查方式,不适应采用全面调查方式,此项不符题

意

B、调查一批进口灌装饮料的防腐剂情况,适宜采用随机抽样调查方式,不适应采用全面调查方式,此项不符

题意

C、对某市初中生每天阅读时间的调查,适宜采用随机抽样调查方式,不适应采用全面调查方式,此项不符题

意

D、对某班学生视力情况的调查，适宜采用全面调查方式

故选：D.

【点睛】本题考查了全面调查方式的定义,熟记定义是解题关键.

5.不等式组x［+一3>2〉］的解集在数轴上表示为（）

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出两个不等式的解,再找出其公共部分,即为不等式组的解集,然后表示在数轴上即可.

x+3>2①

【详解】

4一x〉l②

解不等式①得x>-l

解不等式②得x<3

则不等式组的解集为-l<x<3

观察四个选项可知,选项B正确

故选:B.

【点睛】本题考查了不等式组的解集,熟记不等式组的解法是解题关键.

6.若关于x的方程2x（x-l）+如=-2有两个相等的实数根,则实数机的值为（）

A.-2B.6C.-2或6D.2或-6

【答案】C

【解析】

【分析】

根据一元二次方程的根的判别式即可得.

［详解］2x（x-1）+/nx=-2可化为+（6-2）x+2=0

由题意得：此方程根的判别式△=（加-2）2—4x2*2=0,即（加一2）2-16=0

解得=6或m=-2

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式,掌握理解根的判别式是解题关键.

7.一次函数1=满足/>0,且随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

试题分析：根据y随x的增大而减小得：k<0,又kb>0,则b<0,故此函数的图象经过第二、三、四象限,

即不经过第一象限.

故选A.

考点：一次函数图象与系数的关系.

8.如图，A3是。的直径，是弦，8AB,NBCO=30。，AB=6,则AC的长为（）

A.71B.4万C.2万D.154

【答案】A

【解析】

【分析】

如图（见解析），先根据平行线的性质得出ZABC=ZfiC£）=3O°，再根据圆周角定理得出

ZAOC=2ZASC=60°,然后根据弧长的计算公式即可得.

【详解】如图，连接OC,则OC=LA8=3

2

CD//AB,ZBC£>=30°

ZA5C=NBC£）=30°

ZAOC=2ZABC=60°

r,-八，607rx3

则AC的长为一^一=万

1o（J

故选：A.

【点睛】本题考查了平行线的性质、圆周角定理、弧长公式，依据平行线的性质和圆周角定理求出NAOC的

度数是解题关键.

9.如图，在Rt^ABC中，NB=90。，分别以A,C为圆心，大于」AC的长为半径作弧，两弧分别交于点

2

D,E,直线OE交AC于点F,交AB于点G,AC=4,AB=3,则CG的长为（）

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据作图过程可知,DG为AC的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质可得CG=AG,然后利用勾股定

理、线段的和差即可得.

【详解】由作图过程可知,DG为AC的垂直平分线

:.CG=AG

AC=4,AB=3,ZB=90°

BC=y]AC2-AB2=V42-32=与

设CG=AG=x，则8G=AB—AG=3—x

在RtBCGBG2+BC2=CG2,即(3-x)2+(V7)2=%2

Q

解得X=§

即CG的长为g

故选:B.

【点睛】本题考查了垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握垂直平分线的判定与性质是解题关

键.

10.如图，等边三角形ABC中，8。是AC边上的中线，点E在线段5。上，ZACE=45°,AE的延长线交

BC于点F,EG=EF,连接CG交8。于点下面结论:

A/3，O

①CE=AE；②NACG=3O。；③EB=（道-1）DE；®CH+DH-----/\D•

2

其中正确的有（）

B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】

【分析】

根据等边三角形的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一、勾股定理逐个判断即可得.

【详解】ABC是等边三角形，8。是AC边上的中线

BD是AC的垂直平分线

:.CE=AE,BDVAC,CD=-AC=-AB,则①正确

22

:.NCAE=NACE=45。

/.ZAEC=180°-NCAE-NACE=90°,即CE±AF

EG=EF,即点E为FG的中点

CFG为等腰三角形

ZECF=ZECG（等腰三角形的三线合一）

ABC是等边三角形

：.ZACB=60°

：.NECF=ZACB-ZAC£=15°

/.ZACG=ZACB-ZECF-ZECG=ZAGS-2ZECF=30°，则②正确

设CD=a,则AB=BC=AC=2CD=2a

：.BD=Vfic2-cr>2=

BDVAC,AACE=^5°

：.COE是等腰直角三角形

/.DE=CD=a

EB=BD-DE=y/3a-a=(y/3-l)a=(>/3-l)DE,则③正确

BD±AC,ZACG=30°

在RtCDH中，C”=2DH,CD=4CH2-DH2=^3DH

：.DH=—CD=—x-AB=^AB

3326

:.CH+DH=2DH+DH=3DH—=—则④正确

62

综上,正确的个数为4个

故选：D.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一、勾股定理等知识点,

熟记并灵活运用各性质和定理是解题关键.

二、填空题(本题共8个小题，每小题3分，共24分)

11.舌尖上的浪费让人触目惊心,据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约49950000000千克,这个数用科

学记数法应表示为；

【答案】4.995xlO10

【解析】

【分析】

根据科学记数法的定义即可得.

【详解】科学记数法：将一个数表示成ax10"的形式,其中14同<10,n为整数,这种记数的方法叫做科学

记数法

则49950000000=4.995x1O10

故答案为：4.995xlO10.

【点睛】本题考查了科学记数法的定义,熟记定义是解题关键.

12.分解因式：2a3-8a=.

【答案】2a(a+2)(a-2)

【解析】

要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察

是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式.因此,

2a2-8a=2a(a?-4)=2a(a+2)(a-2).

13.在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同,其中有5个红球,4个蓝

球.若随机摸出一个蓝球的概率为:，则随机摸出一个黄球的概率为

【答案】-

4

【解析】

【分析】

先根据简单事件的概率公式求出口袋里黄球的个数,再根据概率公式计算即可.

【详解】设口袋里黄球的个数为x

4_

由题意得:

5+4+a3

解得a=3

则随机摸出一个黄球的概率为P=~~~=~

5+4+34

故答案为：—.

4

【点睛】本题考查了简单事件的概率计算，依据已知事件的概率,求出黄球的个数是解题关键.

14.如图所示，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互利平行,则N1的度数为一

【答案】75。

【解析】

【分析】

如图(见解析)，先根据直角三角板的定义得出/后=45。,/4=30。,/瓦下=90°,再根据平行线的性质得

出N2=NE=45°,然后根据三角形的外角性质可得ZADE=15°,最后根据平角的定义即可得.

【详解】如图，由题意得：NE=45°,ZA=30°,ZEDF=90°,AB//EF

N2=NE=45°

N2=NA+/AOE

：.ZADE=Z2-ZA=15°

N1=180°-ZEDF-NADE=180°—90°—15°=75°

故答案为：75°.

【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质等知识点，理解题意，掌握三角板中的角度计算是解

题关键.

15.如图，甲，乙两艘船同时从港口A出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75。方向以每小时

30海里的速度前进,两船航行两小时分别到达3,。处,此时测得甲船在乙船的正西方向，则甲船每小时行驶

【答案】（15百-15）

【解析】

【分析】

如图（见解析），过点C作48,交AB延长线于点D,先根据方位角的定义得出

ZBAE=45o,NC4E=75。，再根据角的和差、三角形的外角性质可得ZR4C=30。，NCBZ）=45°,然后

根据直角三角形的性质可求出的长,最后根据线段的和差即可得.

【详解】如图,过点C作C。，AB,交AB延长线于点D,过点A作AE，,交CB延长线于点E

由题意得：ZBAE=45°,ZCAE=75°,AC=30x2=60（海里）

/.ABAC=NCAE-NBAE=30°,ZACB=90°-NCAE=15°

NCBD=ABAC+ZACB=45°

二在放ACO中，CZ）=gAC=30（海里）,ADZAC?-Clf=3（）6（海里）

在RtBCD中，ZBCD=NCBD=45°

..BD=CD=30（海里）

AB=AD-BD=30>^-30（海里）

则甲船每小时行驶的航程为.=3处30=]5g5（海里）

22

故答案为：（156—15）.

【点睛】本题考查了方位角的定义、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识点，理解题意，通过作辅

助线,构造直角三角形是解题关键.

16.如图,正方形ABCD中,将线段AD绕点A顺时针旋转30。得到线段AE,CE的延长线交正方形ABCD

的对角线BD于点F,则ZDFC的度数为；

【答案】120°

【解析】

【分析】

如图（见解析），先根据正方形的性质、旋转的性质得出△ABE是等边三角形，再根据等边三角形的性质、

等腰三角形的性质求出ZBCE=75°,然后根据三角形的外角性质即可得.

【详解】如图，连接BE

四边形ABCD是正方形

AD=AB=BC,NBAD=ZABC=90°,NCBD=-ZABC=45°

2

由旋转的性质得：AE=AD,ZDAE=30°

■■.AB=AE,ZBAE=ABAD-ZDAE=60°

ABE是等边三角形

AB=BE,NABE=60°

BE=BC,ZCBE=ZABC-NABE=30°

ZBCE=NBEC=1（180°-NCBE）=75°

ZDFC=NCBD+NBEC=45°+75°=l20°

故答案为：120°.

【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造

等边三角形是解题关键.

17.如图，已知RtaABC中，ZACB=90°,AC=1,/ABC=30。，以48为边作等边三角形相则CD

的长为_;

【答案】力■或1

【解析】

【分析】

分点C和点D在AB的两侧和点C和点D在AB的同侧两种情况,再分别根据直角三角形的性质、等边三角

形的性质求解即可.

【详解】ZACB=90°,AC=1,ZABC=30°

AB=2AC=2,BC=^AB2-AC2=百，NBAC=90°-ZABC=60°

由题意，分以下两种情况：

（1）如图1,点C和点D在AB的两侧

是等边三角形

..BD=AB=2,ZABD=60°

NCBD=ZABC+ZABD=90°

:.CD=^BC2+AB2=7（V3）2+22=不

（2）如图2,点C和点D在AB的同侧

ABD是等边三角形

AD=AB=2

.•.CO=AO—AC=2—1=1

综上，c。的长为J7或i

故答案为：币或i.

CB产

图1图2

【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解

题关键.

18.如图,在平面直角坐标系中，直线y=-；x+4交无轴于点A,交)‘轴于点8,在％轴上取点A，使

04,=goB,连接A3,过点A作A4，X轴,交直线AB于点4,过点用作44〃%,交x轴于点A,

过点&作AB2±x轴,交直线AB于点B2,过点B2作BAHBA,交x轴于点&,……以此类推,则点B10

【解析】

【分析】

先根据直线AB的解析式、平行线的性质、正切三角函数值求出点4,员,员的纵坐标,再归纳总结出一般规

律，由此即可得出答案.

【详解】对于y=-1x+4

2

令x=0得y=4,则点B的坐标为8(0,4)

=4

二04,=；08=2,则点片的横坐标为2

1131

令工=2代入y=—gX+4得y=-5x2+4=3,则点片的纵坐标为3=方

44=3

OB

在Rt04,6中，tanNOAB=h=2

Cz/i|

B&lB%

..幺人4=NQ41B

tan1A=tanZ.O\B—2,即//=?

解得44=*=^

37

。4=OR+4&=2+—=-

71179Q32

令x=5代入＞=-5工+4得了=-5X5+4=1,则点打的纵坐标为1=产＞

3

同理可得：点尾的纵坐标为二77=一3

1643-1

3〃

归纳类推得：点打的纵坐标为声（其中n为正整数）

3^3103I(,310

则当〃=1（）时，点与。的纵坐标为不=萍=/

nlO

故答案为：二

218

【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、平行线的性质、正切三角函数值等知识点,根据点4,鸟,星的纵

坐标,正确归纳类推出一般规律是解题关键.

三、解答题（第19题10分，第20题12分,共22分）

2-xI3

19.先化简,再求值一--x+1-.其中x=V3—2.

x-iIx-1

【答案】一一二，一回

x+23

【解析】

【分析】

先计算括号内的分式减法,再计算分式的除法,然后将X的值代入求解即可.

3.2-xf,31

【详解】---X+1——-

X—1yX—1J

2—x(x+l)(%—1)3

X—1X—1X—1

2—x%2—13

=----+(------------)

x—lx-lX—1

2-xx2-1-3

------；--------

X-1X-1

2—x(x+2)(x—2)

一演『n

2-x1

x—\(x+2)(无一2)

【点睛】本题考查了分式的化简求值,熟记分式的运算法则是解题关键.

20.如图，在平面直角坐标系中，已知45c的三个顶点坐标分别是4（1,1）,6（4,3）,C（2,4）.

（1）请作出ABC绕。点逆时针旋转90。的△A4G：

（2）以点。为位似中心,将ABC扩大为原来的2倍,得到AA282G,请在》轴的左侧画出；

（3）请直接写出NABC的正弦值.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）与生.

【解

【分析】

(1)先根据点坐标旋转的规律得出点4,4，G的坐标,再在直角坐标系中描点,然后顺次连接即可得；

(2)先根据位似的定义得出点人,外,。2的坐标,再在直角坐标系中描点,然后顺次连接即可得；

(3)先利用“补”的数学思想求出A3C的面积，再利用两点之间的距离公式分别求出AB、BC的长，然

后利用三角形的面积公式可求出AB边上的高,最后根据正弦的定义即可得.

【详解】(1)在直角坐标系中，点绕原点0逆时针旋转90。的坐标变换规律为：先将横、纵坐标的位置互换,

再将横坐标变为相反数

A(l,l),3(4,3),C(2,4)

・•.AT)，4(-3,4),G(T2)

再在直角坐标系中描点,然后顺次连接即可得△A4G,如图所示：

(2)以点。为位似中心，将A3C扩大为原来的2倍，且点儿，鸟,。2在y轴的左侧

则A2(-2xl,-2xl),B2(-2X4,-2X3),C2(-2X2,-2X4)

即4(-2,-2),B2(-8,-6),C2M,-8)

再在直角坐标系中描点,然后顺次连接即可得2c2,如图所示：

(3)由题意得：—SABE一SpcF—SACD

=3x3——x3x2——xlx2——x3xl

222

_7

~2

5(4,3),C(2,4)

AB='(4-1)2+(37)2=岳，BC=J(2-4产+(4-3)2=非

设AB边上的高为/?

则即gxg/7=g

7713

解得/?

13

・•.SiC/=遮

BC65

即NABC的正弦值为^

65

【点睛】本题考查了旋转作图、位似作图、正弦三角函数值等知识点,较难的是的题（3），掌握正弦三角函

数值的定义是解题关键.

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21.某中学为了解学生对新闻,体育,娱乐,动画四类电视节目的喜爱情况,进行了统计调查.随机调查了某班

所有同学最喜欢的节目（每名学生必选且只能选择四类节目中的一类）,并将调查结果绘成如下不完整的统计

图.

根据两图提供的信息,回答下列问题：

（1）本次调查了多少人？

（2）请补全条形统计图；

（3）根据抽样调查结果，若该校有1000名学生，请你估计该校有多少名学生最喜欢“新闻”类节目；

（4）在全班同学中，甲，乙，丙,丁等同学最喜欢体育类节,班主任打算从甲，乙，丙，丁4名同学中选取2人参

加学校组织的体育知识竞赛,请用列表法或树状图求同时选中甲，乙两同学的概率.

【答案】（1）50人；（2）作图见解析；（3）120人；（4）

6

【解析】

【分析】

（1）根据最喜欢动画类节目的扇形统计图和条形统计图即可得；

（2）先根据题（1）的结论、条形统计图求出最喜欢娱乐类节目的人数，然后补全图形即可；

（3）先求出最喜欢新闻类节目的学生占比,再乘以1000即可得；

（4）先画出树状图，再找出同时选中甲、乙两同学的所有可能的结果，然后根据概率公式计算即可.

【详解】（1）由最喜欢动画类节目的扇形统计图和条形统计图得9+18%=50（人）

答：本次调查了50人；

（2）最喜欢娱乐类节目的人数为50—6—15—9=20（人）

补全条形统计图如下：

学生人数

，VL

（3）最喜欢新闻类节目的学生占比*xl00%=12%

则估计该校最喜欢新闻类节目的学生人数为1000x12%=120（人）

答：该校有120名学生最喜欢“新闻”类节目；

（4）依题意,画树状图如下:

开始

甲乙丙丁

/N/N/N

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

由此可知，共有12种等可能的结果,恰好同时选中甲、乙两位同学的结果有2种

21

则恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为P=—=一.

126

【点睛】本题考查了扇形统计图和条形统计图、利用列举法求概率，较难的是题（4）,依据题意，正确画出

树状图是解题关键.

22.如图,一次函数y=h+g。0）的图象与x轴交于点与反比例函数y=?a丰0）的图象在

第一象限交于点B（4,m）,过点B作，x轴上点C,ACD的面积为9.

（1）求反比例函数g二幺的解析式；

X

（2）求证：是等腰三角形.

【答案】（1）y=—；（2）证明见解析.

x

【解析】

【分析】

（1）先根据点A、B的坐标求出AC的长,再根据三角形的面积公式可求出0D的长,从而可得点D的坐标,

然后利用待定系数法可求出一次函数的解析式,从而可得点B的坐标,最后利用待定系数法即可得；

（2）先根据点B的坐标可得BC的长,再根据勾股定理可求出CD的长,从而可得BC=CD,然后根据等腰

三角形的定义即可得证.

【详解】（1）•.•点点3（4,加）

...点C坐标为（4,0）

'-^ACD^-ACOD=—

15cc15

224

：.OD=3

.•.点D坐标为（0,—3）

（3、代=一3

把。（0,-3）,4；,0代入y="+，得：3,,八

<2/—K-u-\J

12

k=2

解得＜

b=-3

，直线的解析式为y=2x—3

把点3（4,m）代入y=2x-3得m=2x4-3=5

3（4,5）

/.a=4x5=20

20

则反比例函数的解析式为y=—；

X

（2）VB（4,5）,C（4,0）,0（0,-3）

:.BC=5,OC=4,OD=3

在RtCOD中，8=^OCr+OC2=5

BC=CD

，BC。是等腰三角形.

【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的定义等知识点，利用三角形的面积公式

求出点D的坐标是解题关键.

五、解答题（本小题满分12分）

23.如图，RtZSABC中，ZACB=90°,AO平分NBAC交BC于点。，点。为AB上一点，以。为圆

心，A。为半径的圆经过点。.

（1）求证：BC与。相切；

（2）若==百，求阴影部分的面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）S,,

阴iH3影26

【解析】

【分析】

（1）先根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得出ZODA=ZDAC,再根据平行线的判定与性质可得

ZBDO=ZACB=90°,然后根据圆的切线的判定即可得证；

（2）先根据等腰三角形的性质、角平分线的定义可得/5=/区4。=/。4。，再根据直角三角形的性质可

得ZB=NBAD=30°,从而可得NBOD=60°,然后根据直角三角形的性质可得DO的长,最后根据阴影部

分的面积等于Rt/XBDO的面积减去扇形。OE的面积即可得.

【详解】（1）如图，连接。。

AD平分ZBAC

：.NBAD=ZDAC

OD=OA

：,ZODA=ZOAD

：.ZODA=ZDAC

：.DO//AC

/.ZBDO=ZACB=90°

/.DC1DO

,:DO为。的半径

BC与。相切；

（2）VBD=AD=y/3

二NB=NBAD

'：NBAD=ZDAC

ZB=/BAD=ADAC

,/ZC=90°

4B+ABAC=90°，即N8+NBAD+ND4c=90°

/.NB=NBAD=30°

由⑴可知，NBDO=90°

：.ZBOD=90°-ZB=60°

在RtABDO中，80=2DO,BO2=DO2+BD2,BD=y/3

：.DO=1

.c1ccn八11W6c60x兀n

,,S=-DOBD^-xlxyj3=—,s扇形8£=———=-

lil）o222JOUo

6兀

即阴影部分的面积为且-三.

26

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、圆的切线的判定、扇形的面积公式等知识

点，较难的是题（2），利用直角三角形的性质求出D8的度数是解题关键.

六、解答题（本小题满分12分）

24.某商场用两个月时间试销某种新型商品，经市场调查,该商品的第x天的进价）'（元/件）与x（天）之间的

相关信息如下表：

时间天）1<x<3030<x<50

进价）'（元/件）-x+7040

该商品在销售过程中，销售量6（件）与x（天）之间的函数关系如图所示:

在销售过程中，商场每天销售的该产品以每件80元的价格全部售出.

（元班，

:JAm

50x(*>

（1）求该商品的销售量加（件）与尤（天）之间的函数关系；

（2）设第x天该商场销售该商品获得的利润为W元，求出w与尤之间的函数关系式,并求出第几天销售利润

最大,最大利润是多少元？

（3）在销售过程中，当天的销售利润不低于2400元的共有多少天？

【答案】（1）"?=—2x+120；（2）卬=，

2450元；（3）共有11天的销售利润不低于2400元.

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法求解即可;

（2）分lKx<30和304x450两种情况，分别根据“利润=（售价-进价）x销售量”建立函数关系式,

然后利用一次函数和二次函数的性质求解即可；

（3）根据（2）的结论，分别利用一次函数和二次函数的性质求出x的取值范围，再找出符合条件的整数即

可.

【详解】（1）设该商品的销售量相与》之间的函数关系为“=依+"％N0）

由图可知，点（0,120）,（50,20）在加=依+b上

,、/、仿=120

将点（0,120）,（50,20）代入得

1（J—NU

解得—%=—220

则该商品的销售量相与次之间的函数关系为加=-2尤+120；

（2）由题意，分以下两种情况：

①当l〈x<30时

卬=（80-y）•加=（80+x-70）-（—2x+120）=—2f+100x+1200

=-2（X-25）2+2450

由二次函数的性质可知，当x=25时，w取得最大值,最大值为2450

②当304x450时

w=（80-40）-（-2x+120）=—80x+48（X）

k—80<0

卬随工的增大而减小

则当X=30时，卬取得最大值,最大值为-80X30+4800=2400

因2450>2400

故第25天时利润最大,最大利润为2450元

综上，W与X之间的函数关系式为W=1—2x+1°°"+1200（1"x<30）,第25天时利润最大,最大利润为

-80x+4800（30<x<50）

2450元；

（3）①当lKx<30时，W=-2（X-25）2+2450

则-2（x-25）2+2450=2400

X]=20或x,=30

，20<x<30,利润不低于2400元

即此时,共有10天的销售利润不低于2400元

②当304x450时，w=-80x+4800

则—80x+480022400

解得xK30

x=30

即此时，只有1天的销售利润不低于2400元

综上,共有11天的销售利润不低于2400元.

【点睛】本题考查了一次函数和二次函数实际应用，理解题意,正确建立函数关系式是解题关键.

七、解答题（满分12分）

25.己知，ABC中，AB=AC,NBAC=2a。，点。为边中点，连接A。，点E为的中点，线段

CE绕点、E顺时针旋转2a。得到线段EF，连接FC,.

DF

（1）如图1,当NBAC=60。时,请直接写出灰的值；

（2）如图2,当NA4c=9（）。时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确

的结论,并说明理由；

DF

（3）如图3,当NBAC=2a0时，请直接写出的值（用含a的三角函数表示）.

【答案】（1）-；（2）不成立，里=也，理由见解析；（3）—=sin«1

2DC2DC

【解析】

【分析】

EG1

（1）如图1（见解析），先根据中位线定理得出而=5,再根据旋转的性质、等边三角形的性质得出

EC=FC,CD=CG,NDCF=NGCE,然后根据三角形全等的判定定理与性质可得DF=EG,由此即可

得出答案；

（2）如图2（见解析），先根据中位线定理、等腰三角形的三线合一得出NAEM=90°,再根据等腰直角

三角形的性质得出NACE=NBCF,AC=C目=Y2,然后根据相似三角形的判定与性质可得

BCCF2

4r历AJ7AM

NCBF=ZCAE，丝=在，从而可得——=——，最后根据相似三角形的判定与性质可得

BF2BFBD

NBFD=NAEV=90°,据此利用正弦三角函数值即可得；

（3）如图3（见解析），参照题（2）的思路，先根据相似三角形的判定与性质得出

NCBF=ZC