新教材苏教版高中数学 选择性必修第一册 同步试题 4

4.2等差数列

一、单选题

1.已知S”是等差数列｛。"｝的前"项和，若$3=15,$9=75,贝|$6=（）

A.40B.45C.50D.55

【答案】A

【分析】根据等差数列片段和性质可得2（$6-S3）=S3+（Sg-S6）,解方程即可求得结果.

【详解】由等差数列性质知：邑，56-S3,Sg-S6成等差数列,

所以266-53)=83+(89-$6),即2(56-15)=15+(757),解得：56=40.

故选：A.

2.一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下

一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座.已知其中10层的塔数成公差不为零的等差

数列，剩下两层的塔数之和为8,则第11层的塔数为（）

A.17B.18C.19D.20

【答案】A

9

【分析】设成为等差数列的其中10层的塔数为：％,外，…吗。设出公差d,根据题意得为（）=10+]”,又

/°eN*,d>0,且deN*，故只能d=2满足，进而可得答案.

【详解】设成为等差数列的其中10层的塔数为：为,？，…，％。，由已知得，该等差数列为递增数列，因为剩

下两层的塔数之和为8,故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第十二层塔数必为《

故1°'（%+%°）=108-8=100,%+为=20①；

2

又由。10—q=9d②，d>0,且deN*，所以，

9

①+②得，2。10=20+9",得々0=10+5",

由％+Qi。=20知<20,

又因为《。eN*,观察答案，当且仅当d=2时，为，满足条件，所以，阳=19；

组成等差数列的塔数为：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19；

剩下两层的塔数之和为8,只能为2,6.

所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列:

1,2,3,5,6,7,9,11,13,15,17,19；其中第二层的2和第五层的6不组成等差数列，满足题意,

则第11层的塔数为17.

故答案选：A

3.已知等差数列｛。“｝,低｝的前〃项和分别为Tn,且率=则/=()

17-58

A.-B.—C.-D.—

212813

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前〃项和公式求得正确答案.

。52a5%+%_（%+。9卜2_Sg

【详解】

及2b54+4仇+4）T久'

S_2x9+3_217

由题意可得g

TT-4X9-3612,

故选：B

4.设｛七｝是等差数列,«,>0,a2007+a2008>0,a2007-a2008<0,则使>0成立的最大自然数〃是()

A.4013B.4014C.4015D.4016

【答案】B

【分析】由题意利用等差数列的性质可得的且。2。。8<0,推出及13>0，$.5<0,再根据

%007+%008=%+04014>。可得$4014>。.

【详解】因为首项为正数的等差数列%满足：出007+。2008>0，02007,°2008<0>

所以｛4｝为首项大于零的递减的等差数列，

所以。2007>。，且“2008<。，

所以4+^4013=勿2007>°，%+“4015=勿2008<°，

由s“=幽产得，54013>0,54015<0,

乂因为。2007+。2008=%+。4014>°，即,^4014>。,

故选：B

5.已知等差数列｛%｝,且3（%+。7）+2（6+%。+%2）=30,则数列｛。.｝的前14项之和为（）

A.14B.28C.35D.70

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质及求和公式即可求解.

【详解】解：因为｛。“｝为等差数列，

所以3Q+%）+2（网+%o+%2）=3x2a5+2x3a10=6a5+6al0-30,

所以%+%o=5,

则数列｛a”｝的前14项之和力=7&+%）=7依+%。卜35.

故选：C.

6.记S,为等差数列｛叫的前〃项和，且％=22,$=与，则S,取最大值时"的值为（）

A.12B.12或11C.11或10D.10

【答案】B

【分析】设等差数列｛%｝的公差为d,由q=22,$=$6可解出d值为-2,从而可知数列｛%｝前11项为正;

第12项为0；从第13项起，各项为负，所以与取得最大值时〃的值可确定.

【详解】设等差数列｛。,｝的公差为力由$=几，得7%+21d=16q+120d,即％+lld=0,

又。i=22,所以1=一2,所以。“=22-2,-1）=24-2〃，令。,,=0,可得”=12,

所以数列｛0“｝满足：当“VII时，a„>0；当〃=12时，a„=0；当"213时，a„<0,

所以S”取得最大值时，”的取值为11或12.

故选：B.

7.已知数列｛与｝的前力项和为S“，满足5“=/一4〃，则。“=（）

A.〃—4B.—2n—1C.3n—6D.2n—5

【答案】D

【分析】根据通项与前”项和的关系，分〃=1与“22两种情况分别求解即可.

2

[详角军]当〃=]时，％=仔_4=—3；当〃22时，％=S〃-Sn_｛=n_4〃_[（八_1）2=2〃-5,且当〃=]

时也满足%=2〃-5.

故氏=2〃-5.

故选：D

8.已知数列｛/｝满足％=彳，。用=-77,贝1%00（）=（）

A，ToooB・75oic75^2D,丽

【答案】B

【分析】构造等差数列结合等差数列的通项公式，求得%,再求结果即可.

【详解】根据题意可得：a„-an+l=an+ian,则上-工=1,故数列,是首项为2,公差为1的等差数列,

。用an[a„]

则;="+1，％=」-T，故/。。。=11

a„n+\1001

故选：B.

二、多选题

9.设等差数列｛%｝的前〃项和为5“，若工=几，且，〈於（〃eN*）,则（）

A.数列｛%｝为递增数列B.«„<0

C.存在正整数上使得&=0D.存在正整数根，使得5,=%,

【答案】ACD

【分析】根据已知条件求得叫,"的关系式以及，的符号,由此对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】设等差数列｛凡｝的公差为d,

19」

Sg=S,a+qo+a+Q]2=°，%o+〃“=0,2%+19d=0,Qi=----u

n9n12

cd2（d\Snd（d\dr197_@]=邑10",

n2（2）n2C2J2^22）2

S〃+i=）（〃+]）―]0d=—w--（7,

n+\2V722

由"得g"--2&g>o,d>o,数列｛0“｝为递增数列，A选项正确.

nn+12222

IQ19d

ax=——d<0,a”=%+lOd=-万"+lOd=彳>0,B选项错误.

由上述分析可知5“=g〃2-10办=而《-10）,所以当〃=20时，$20=0,

所以存在正整数上使得&=0,C选项正确.

d09dr2

Sm=万加2-10c/m,S3m=-m-30dm,

若=S3m,贝Ijg•加之=子■疗一3Gdm

m=5加=0舍去），D选项正确.

故选：ACD

10.设等差数列｛%｝的前〃项和为S,,公差为d.已知%=12,已>0,几<0,则下列结论正确的是（)

A.%<0B.---<d<一3

7

C.4=84D.设的前〃项和为1则7；>0时，”的最大值为27

【答案】BC

【分析】由已知求得。8<°，%>°，解公差为d的取值范围，利用等差数列的通项公式求和公式及其性质

逐个选项判断正误即可.

【详解】•••44>0,几<0,...14"的）=7（%+初>0,15"[5）=]5网<0,

/.+tz8>0,<0,/.>0,A选项错误;

又•:〃4=12,即。1=12—3d,

fci-j+外=4+3d+%+4d=24+7d〉0

解得---<（7<—3,B选项正确；

［必=%+4d=12+4d<07

・・・跖=7"%）=74=84,故C选项正确;

因为等差数列｛a｝的前〃项和为S〃，所以S〃=na+若14,Sn—1

nx即nn—=%H----d,

n2

d_

由&_£d_=a+-―a+

nn-12I2

・•・数列为等差数列，设=

InIn2

因为当"414时，Sn>0,当”>15时，S“<0,

所以当“W14时，〃>0,当〃>15时，bn<0,

所以&=^^Lx27=27%>0,7；8=^^*28=14（2^+1^]=14（24+畀1,

24

因为-万<“<-3,所以心可能为正数，也可能为负数，所以D选项不正确.

故选：BC.

11.已知数列｛%｝是公差不为0的等差数列，前〃项和为S,.若对任意的〃eN*,都有S,2s3,则表的值可

能为（）

534

A.2B.—C.-D.一

323

【答案】ABC

【分析】由等差数数列前〃项和公式推导出-3dW%W-2d,由此能求出肾的值不可能为

【详解】•：数列｛%｝是公差不为0的等差数列，前〃项和S"

若对任意的〃eN*,都有S,）S3,

3x2

2。[+dN3alH-------d

S>S112

23解得—3dWQ]W—2d,

s>s4x37-3x27

434Q]H———dN3Q]H———d

a,a,+5d,

；・当丁E时'％=成立;

、/。6q+5d=（时,

当一%=_3d•成立;

a5%+4d

、/6q+5d=1时,

I=—2d.成立；

a5ax+4d

、i，a6a\+5d=g时,

ax=-d.不成立.

a5ax+4d

喘的值不可能为;

故选：ABC.

12.某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm,满盘时直径为120mm,已知该卫生纸的厚度为

0.1mm,为了求出满盘时卫生纸的总长度/,下列做法正确的是（）

A.从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.0,21.1,59.9

B.从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.05,20.15,

59.95

C.同心圆由内向外各圈周长组成一个首项为40.1兀，公差为0.2兀的等差数列

D.设卷筒的高度为3由等式兀（6。2-202）./7=01人/可以求出卫生纸的总长/

【答案】BCD

【分析】把绕在盘上的纸近似地看作是一组同心圆，从内到外，半径依次组成等差数列，分别计算出各圆

的周长，再由体积求总长即可.

【详解】卫生纸的厚度为0.1mm,可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作一组同心圆，取半径时从每层纸的

中间开始算，则由内向外各圈的半径组成首项为20.05,公差为0.1的等差数列，A选项错误，B选项正确;

这个等差数列首项q=20.05,公差1=0.1,由%=59.95,得59.95=20.05+（“-1）x0.1,解得〃=400；

设各圈周长的“，则4=271。“，4=2%]=40.1兀，bn+x-bn=2nan+l-2TIan=2nd=0.2K,

所以各圈的周长组成一个首项为40.1兀，公差为0.2兀，项数为400的等差数列，C选项正确；

利用体积相等，可得无（602_201”=0.1/",D选项正确.故选：BCD

三、填空题

13.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且工-%=5%+4,则｛%｝的前15项和岳5=.

【答案】30

【分析】设出公差,利用等差数列通项公式和前〃项和公式得到%+71=2,进而计算出几=15（4+7d）=30.

27

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,则Sg=8%+三Xd=8%+28d,

又〃5=4+4d,。3=+"，国一。5=5%+4,

以8%+28d—%—4d—5%+10d+4,即4+7d=2,

[5x]4

&=15%+2"=15（9+7d）=30.

故答案为：30.

14.我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，

问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀,

问第五、六两节容量分别是多少？在这个问题中，九节总容量是.

【答案】绥201##931

2222

【分析】设由下到上九节容量分别记为％的，…,。9,则％,出，…,。9成等差数列，设公差为根据题意列方

程解出基本量q、d,即可利用公式求和.

【详解】设由下到上九节容量分别记为9,则《，。2,…，〃9成等差数列，设公差为〃，

贝lj+〃2+。3=4，。6+。7+。8+。9=3，即％+。2+。3=口1+M=4,%+%+。8+“9=4q+26d=3,解得

957

——,aJ=-----

6666

C9x87201

故品o=9%+^—^=—

故答案为：——.

22

15.已知数列｛%｝,%=[；](其中国表示不超过x的最大整数，-CN且狂1),尤"是关于x的方程

5-log"+/”=/+3〃的实数根，记数列｛%｝的前〃项和为S”，则新二-质的值为.

【答案】1010

【分析】根据给定条件，令/"=/,利用方程根的意义，构造函数，探讨函数的零点确定数列｛%｝的通项,

再利用等差数列前n项和公式求解作答.

【详解】因x“是关于x的方程3-108“+产”=/+3”的实数根，当〃=1时，4-108)=4,

XX

令g(尤)=g-log2X-4,显然函数g(x)在(0,+8)上单调递减,

gl>0,g(l)=-3<0,

因此:＜玉＜1,%=[/-]=0,则有向=弧=0,

2，再

1令乙=；，于是得(24)2+「iog〃+]2乙=后+3〃,

显然有Wil°g〃+lZ=〃9+%

令/(%)=(2x)2+〃lo&+i2x-1一3〃，函数/(%)在(0,+8)上单调递增，而/(攵二小匕且用几一?；^。,

川亨)=1＞0，

因此存在％呜，等),使得/(x°)=o,即/“eg等),

2左一1n—1

当〃二2左一1,左EN*时，tnG(--一,k),an=[tn]=k-l=,

当”=2左，左eN*时，心很,牛，an=[tn]=k=^,

从而得S2020=(%+%+〃5T---卜”2019)+(。2+/+46T---+”2020，

小Icsee、1009(1+1009)1010(1+1010)1~八2

=(0+1+2H---F1009)+(I+2+3H---F1010)=------------1------------=1010,

所以市1-店=1010.

故答案为：1010

16.已知在数列｛的｝中，ai=l,an+3<an+3>,an+2>an+2,贝!J念破3=.

【答案】2023

【分析】根据题中所给条件，进行化简整理，得出从第四项起数列｛an｝是等差数列，公差d=l,进而可

以求解.

【详解】。川+3<。〃+3，4〃+6<。〃+3+34。〃+6，

an+2^an+2,q〃+6,a〃+4+2>a〃+2+4》q〃+6,

/.an+6=an+f）,当且仅当同时取等号成立，

即an+3=an+3,an+2=an+2,

则an+3-an+2=l,则从第四项起数列｛an｝是等差数列，公差d=\,

•ci]1,・・〃3=。/+2=3,

则当时，an=a3+（n-3）d=3+n-3=n,

则42023=2023,

故答案为：2023.

四、解答题

17.设等差数列｛凡｝的前〃项和为S〃，%+%2=3,%,为）=-18,且S,有最大值.

⑴求数列｛4｝的通项公式及S”的最大值;

(2)求Tn=\al\+\a2\+--\an\.

【答案】（1）。〃=-3〃+27,前〃项和最大值108；

-二+9

2

，nGN*.

⑵小‘3

—n2---n+216,n..10

122

【分析】（1）由S”有最大值得d<0,结合等差中项性质可解出。7=6、«10=-3,即可进一步解出基本量

d=-3,%=24,即可由公式法列出通项公式，5”的最大值为前面所有非负项的和；

（2）由数列｛4｝的符号，分别求49、〃>9时的（即可，其中当〃>9时北=-5“+2又.

【详解】（1）设等差数列也J的公差是力首项是％,由5,有最大值得〃<0，

则数列｛4｝是递减数列，因为%+%2=。7+%0=3,。7”0=-18,解得力=6、％0=-3或%=-3、al0=6（

舍去)，

则a1+6d=6,4+9d——3,解得d——3,q—24,所以=24+(〃一1)x(—3)——3〃+27,

令。〃二一3〃+27=0得〃=9,则当〃，9时，an...0；当〃〉9时，<0,所以

9x8

⑸)皿X=S8=另=9x24+；-x(-3)=108；

(2)由(1)可得5“=24〃+〃■一Dx(-3)=_)，/+“〃,

222

__Q_3?5]

当小9时,7T；=q+%+…+4=S〃=_万〃+—«»

351351

当〃〉9时,北=q+2+.••+旬—("io+%i+...+4)=—Sn+2s9——(—万/++2x108—~——n+216,

3510

—n2-\---n,L1,n..9

22

综上可得,HGN*.

3251c”1八

—n---zz+216,n..10

22

18.等差数列{%},5n=-ll,公差〃=一3.

(1)求通项公式和前"项和公式；

(2)当"取何值时，前〃项和最大，最大值是多少.

331

【答案】(1)%=-3〃+17,-|«2+y«

(2)当"=5时，前"项和最大，最大值是40

【分析】(1)根据等差中项可得Su=ll&=Tl，从而得绘=T，从而求通项公式和前〃项和公式;

(2)«6=-1,%=2知当"=5时，前"项和最大，利用前〃项和公式求最值即可.

【详解】(1)由5“为等差数列｛&｝的前“项和，则标」飞+%)=与也=解得&=T，

=4+(〃—6)d=-1+(〃—6)x(-3)-17-3〃,贝ijq—17-3=14,

_〃(4+%)_〃(14+17-%)_331

j“=—=一—fi2।fi■

"2222

(2)由。“=17-3〃，则数列｛。"｝为递减数列，

由&=T<0,%=2>0,则当〃=5时，S”取得最大值，即最大值为项="(14+2)=40.

2

19.已知各项均为正数的数列｛%｝的前"项和为凡，向量£=(%,5.),向量否=(%+2,-4),S.a1b.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

2022

(2)若对任意正整数"都有N-1)=1成立，求X4.

1=1

【分析】(1)由已知可推得4S.=a；+2%,进而可推出｛%｝是等差数列，从而求得通项公式；

(2)由(1)可得，”=―观察通项形式，采用裂项得到-不二］,然后相加即可得

到结果.

【详解】⑴因为44,所以H(a〃,Sj(a〃+2,-4)=a〃(a〃+2)-4S〃=0,

所以,4Sn=。；+2an.

当〃=1时,^ax=a1+2ax,解得％=0(舍)或%=2.

当“22时，4S〃=Q；+2%,4sI=+2Q〃T,

相减得,4S〃—4S〃_i=a；+2%-an_x-2afl_1

即，4q〃=q；-+2an-2an_1,

化简得(为+〃〃一J(%-%-2)=0.

所以，｛%｝是以2为首项，2为公差的等差数列.

二.〃〃=2+2(〃-1)=2〃.

(2)因为始(%2-1)=1,所以“=一

an

_1_1_V1______L)

由(1)知，。“=2〃，«„2-1(2/7)2-12(2"-12n+\)

202211

所以•••+

i=lZ4043

1]2022

214045J4045'

20.已知数列｛4｝的前〃项和为S“,%=2,““I=S"+〃(〃+l)(“eN+).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵设bn=—,求数列｛4｝的前〃项和北*

aa

„n+l

【答案】（1）%=2〃，«eN+

n

【分析】（1）先将〃=i代入题干表达式计算出出的值，当〃..2时，由加m=s“+〃（〃+i）,可得

（«-1>„=5^+«（«-1）,两式相减并进一步推导即可发现数列｛%｝是以2为首项，2为公差的等差数列，即

可计算出数列｛q,｝的通项公式；

（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的,｝的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前〃项和1.

【详解】（1）由题意，当〃=1时，电=H+1X2=2+2=4,

当时,由〃。I=S"+"(〃+1),

可得(”-1)%=S“_]+〃(“-1),

两式相减,

可得nan+l-（n-l）an=。“+2〃，

化简整理，得，「%=2,

Q%—%=2也满足上式，

数列｛%,｝是以2为首项，2为公差的等差数列,

%=2+2(〃-1)=2〃，«GN+.

,71111/1、

(2)由(1),可得'"=获二=而.2("+1)=硒而="q_=1)'

则北=4+3+,,,+”

I1、l/1、1/1、

424234nn+1

，(一+」+...+工，)

4223nn+Y

1I

=：x(l--------)

4n+\

n

4(〃+1)

21.已知数列｛%｝满足%+1+。,=2〃+5(〃eN"),且％=