新人教A版高中数学《合情推理与演绎证明》同步测试

合情推理与演绎推理测试题(选修1-2)

试卷满分150,其中第I卷满分100分，第n卷满分50分，考试时间120分钟

第I卷(共100分)

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的；请将答案直接填入下列表格内.)

题号123456789101112

答案

1.如果数列｛4｝是等差数列，则

A.B.〃|+〃8=。4+。5C.q+。8＞。4+〃5D.〃用=〃汹

2.下面使用类比推理正确的是

A.“若。・3=从3,则〃=8”类推出“若。・0=60,则

B.“若(〃+b)c=ac+bc”类推出a(a-b)c=ac-bcw

C.“若(a+b)c=ac+bc”类推出“竺2=乌+^(c/0)”

ccc

D.«(b)n=anbnn类推出“(b:11=优+/"

3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”

结论显然是错误的，是因为

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

4.设于。(x)=sinx,力(x)=/o(x),&(x)=/；(x),…，fn+l(x)=(x),neN,则/2007(x)=

A.sinxB.—sinxC.cosxD.—cosx

5.在十进制中2004=4x10"+0xIO】+0xIO?+2xIO,,那么在5进制中数码2004折合成

十进制为

A.29B.254C.602D.2004

6.函数y=ax2+1的图像与直线y=x相切，则。=

A.-B.—C.-D.1

842

7.下面的四个不等式：®a2+b2+c2>ah+bc+ca；②a(l—“)<，；③巴+瞑2；

4ba

④(42+/；2)・92+/)“四+4)2.其中不成立的有

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.抛物线x2=4)，上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为

A.2B.3C.4D.5

9.设f(x)=\x-U-\x\,则/"(；)]=

A.--B.0C.-D.1

22

—>—>—>—>

10.已知向量a=(x—5,3),/?=(2,x)：!La_Lb,则由x的值构成的集合是

A.{2,3}B.{-1,6}C.{2}D.{6}

11.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线

平面a,直线au平面a,直线。〃平面a,则直线匕〃直线。”的结论显然是错误的，

*

这是因为

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误1).非以上错误

12.已知/(x+l)=2/(x),/(])=](JGN*,猜想/*)的表达式为

fM+2

4212

A./(x)B./(X)c.fMD-f(x)

2*+27+Tx+12x+1

二.解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.

13.证明：J5,6,不能为同一等差数列的三项.

14.在△ABC中，sinA=—B+—C,判断aABC的形状.

cosB+cosC

15.已知：空间四边形ABCD中，E,F分别为BC,CD的中点，判断直线EF与平面ABD的关

系，并证明你的结论.

16..已知函数/(x)=ln(l+x)-x,求f{x}的最大值.

”.△ABC三边长的倒数成等差数列，求证：角8<90°.

第n卷(共5。分)

三.填空题•本大题共4小题，每空4分，共16分，把答案填在题中横线上。

18.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形

三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2.若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB

两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为,

19.从1=「,2+和4冯$6+7=52中，可得到一般规律为(用

数学表达式表示)

20.函数y=f(x)在(0,2)上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)

的大小关系是.

21.设平面内有n条直线(n23),其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同•

点.若用/(〃)表示这n条直线交点的个数，则/(4)=；

当n>4时，"〃)=(用含n的数学表达式表示)

四.解答题.(每题13分，共26分.选答两题，多选则去掉一个得分最低的题后计算总分)

1(］、

22.在各项为正的数列｛。“｝中，数列的前n项和S„满足S“=-an+—

2(an)

(1)求多,%，的；⑵由(1)猜想数列｛4｝的通项公式；(3)求S“

23.自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力

及捕捞强度对鱼群总量的影响，用x“表示某鱼群在第n年年初的总量，〃eN+,且七＞0.

不考虑其它因素，设在第〃年内鱼群的繁殖量及捕捞.量都与x“成正比，死亡量与X：成正

比，这些比例系数依次为正常数4c.

(I)求x“+|与/的关系式;

(H)猜测：当且仅当修，a/,c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？(不

要求证明)

24.设函数/(x)=xsinx(xeR).

(1)证明：/(x+2攵4)-/(x)=2攵万sinx,keZ；

（2）设尤0为/（X）的一个极值点，证明

1+X。

五.解答题.（共8分.从下列题中选答1题，多选按所做的前1题记分）

25.通过计算可得下列获

22-I2=2x1+1

32-22=2x2+1

42-32=2x3+1

("+1)2-〃2=2X〃+1

将以上各式分别相加得：（"+1）2—12=2x（1+2+3+-+〃）+〃

rrice+1)

即1l：1+2+3+…+〃=------

2

类比上述求法：请你求出12+22+32+---+«2的值.

26.直角三角形的两条直角边的和为。，求斜边的高的最大值

27.已知/(x)(xeR)恒不为0,对于任意修,当GR

等式/(X,)+/(x2)=2/f二*]•上卫]恒成立.求证：/(%)是偶函数.

I2JI2J

28.已知△ABC的三条边分别为a,bc求证：0+&>—

1+a+b1+c

合情推理与演绎推理测试题答案(选修1-2)

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的；请将答案直接填入下列表格内.)

题号123456789101112

答案BCCDBBADDCAB

二.解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.

13.证明：假设痣、百、百为同一等差数列的三项，则存在整数m,n满足

A/3=V2+md①V5+nd②

①xn-②xm得：V3n-V5m=5/2(n-m)两边平方得：3n'+5m--2-JTsmn=2(n-m)2

左边为无理数，右边为，有理数，且有理数H无理数

所以，假设不正确。即叵、拒、后不能为同一等差数列的三项

14.AABC是直角三角形；因为sinA=sm'+SinC

cosB+cosC

据正、余弦定理得：(b+c)(a2-b2-c2)=0；又因为a,b,c为AABC的三边，所以b+cWO

所以aM^+c，即AABC为直角三角形.

15.平行；提示：连接BD,因为E,F分别为BC,CD的中点，EF〃BD.

16.提示：用求导的方法可求得/(幻的最大值为0

22222

仃・丁用Da+c-b\2ac-b.b,b,b

17.证明：cosB=--------->--------=1------=1---------=1-------

2ac2ac2acb(a+c)a+c

•・•为aABC三边，「.Q+C>/?,1———>0/.cosB>0/.B<90°.

a+c

三.填空题.本大题共4小题，每空4分，共16分，把答案填在题中横线上。

18v2_1C21C2

*2CD-uAA8C丁力凶。£)丁JAAO8,

19.〃+(〃+1)+(/?+2)+...+(3/2—2)=(2〃—1)~

20.f(2.5)>f(l)>f(3.5)21.5；-(n+1)(n-2).

2

四.解答题.(每题13分，共26分.选答两题，多选则去掉一个得分最低的题后计算总分)

22.(1)q=1,%=拒-1,4=百-亚(2)a“=-\fn--y/n—1；(3)Sn—.

23.解(I)从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax,,,被捕捞量为bx“，死亡量为

。片,因此居+1=ax"一如，-eN*.(*)即七川=x.(a-6+l-cx"),〃eN*.(**)

(ID若每年年初.鱼群总量保持不变，则居恒等于nGN*,从而由(*)式得

Z7—h

x〃(a—力一cx”)恒等于0,〃£N*,所以a—匕一ex1=0.即X]=-----.因为x1>0,

n-h

所以於b.猜测：当且仅当力b,且七时，每年年初鱼群的总量保持不变.

C

24.证明：L)f(x+2k7r)-f(x)=(J)-FS2W)中的加xx

=4s2ivr-siruxx=2k;rsinx

2)ff(x)=sinx+xcosx

f22

f(x0)=sinx0-+-x0cosx0=0①Xsinx0+cosx0=1②

222

由①②知sinx0=^-y所以"(%)『=x02SinX0=X0=言亍

五.解答题.(共8分.从下列题中选答1题，多选按所做的前1题记分)

25.[解]2'-F=3x『+3x1+133-23=3x22+3x2+1

43-33=3x32+3x3+1——

(〃+一〃3=3x7?2+3xn+l

将以上各式分别相加得

(w+l)3-l3=3X(12+22+32+…+〃2)+3X(1+2+3…+〃)+〃

所以：I2+22+32+---+/12=|[(n+l)3

=—n(n+1)(2n+1)

6

V2

26.—a

4

27.简证：令须=々，则有"0)=1，再令X1=-X2=x即可

X

28.证明：设/(x)=——,xe(0,+oo)

1+X

设X],尤2是(0,+8)上的任意两个实数，且々＞X|20,

x2_x]-x2

/(Xi)-/(x2)=—

1+Xjl+x2(1+Xj)(l+X2)

Y

因为々＞玉20,所以/(斗)＜/(々)。所以/5)=——在(0,+8)上是增函数。

1+X

由a+。＞c＞0知/(a+b)＞/'(c)

即"0＞上.

1+。+/71+c

合情推理与演绎推理测试题2（选修1-2）

班级姓名学号得分

一、选择题：

1、与函数y=x为相同函数的是（）

,nAA

A.y=B.y=—C.y=eD.y=log22

x

2、下面使用类比推理正确的是（）.

A.“若。・3=b・3,则。=b”类推出“若。・0=40,则。=b"

B.“若（a+O）c=ac+Oc”类推出“（a-b）c=QC・0c”

C.“若（a+匕）c=ac+bc”类推出“"2=@+2（C#O）”

CCC

D."（b）n=anbnn类推出"（b》n=an+bnn

3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线

匕幺平面a,直线au平面a,直线8〃平面a,则直线3〃直线a”的结论显然是错误

的，这是因为（）

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是（）。

A.假设三内角都不大于60度；B.假设三内角都大于60度；

C.假设三内角至多有一个大于60度；D.假设三内角.至多有两个大于60度。

5、当n=1,2,3,4,5,6时，比较2”和〃2的大小并猜想（）

A.”21时，2">九2B.”23时，2">n2

C.〃24.时，2">n21）.〃25时，2">/

6、已知则是+V<1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12

8、对“a,b,c是不全相等的正数”，给出两个判断：

①(a-。)2+(b-c)2+(c-a)200；②a#b,b丰c,c丰a不能同时成立，

下列说法正确的是()

A.①对②错B.①错②对

C.①对②对D.①错②错

9、设三数成等比数列，而分别为a,。和仇c的等差中项，则@()

xy

A.1B.2C.3D.不确定

10、定义运算例:姻y=3合4=4,则下列等式不能成立的是()

ly(x<y),....

A.x®y=y®xB.(x®y)®z=x®(y®z)

C.(x0y)2-x2®y2D.c•(x®y)=(c-x)0(c•y)(其中c〉0)

题号12345678910

答案

二、填空题：

11、一同学在电脑中打出如下若干个圈：0・00・000・0。0。・00。00・一若

将此若干个圈依.此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的•的个数

是O

12、类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形

三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2.若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两

两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为.

13、从1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=14-2+3,1-4+9-16=-Q+2+3+4),

推广到第〃个等式为___________________.

14>函Iq=3,an+l=——，试通过计算a2,a3,a4,a5的值，推测出an=___________.

'+3

三、解答题:

cos2Acos2B_11

15、在4ABC中，证明:

16>设且a，+/??=1,犬+y12=1,试证：\ax+by\<1<)

1°

17、用反证法证明：如果x>—,那么/+2x—lw0。

2

18、已知数列4,02,…,其中外,。2,…，%0是首项为1-公差为1的等差数列；

。10,4“，…，。20是公差为d的等差数列；。20,。21，…，。30是公差为的等差数列(dH0).

(1)若。20=40，求4；

(2)试写出%。关于d的关系式，并求知o的取值范围；

(3)续写已知数列，使得由(),%1，…,%。是公差为小的等差数列，……，依次类推，

把已知数列推广为无穷数列.提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究,

你能得到什么样的结论？

合情推理与演绎推理测试题（选修1-2）

答案提示

1---10、DCABDBAABC

11、____14_________

12、S即CD=SMBC+§MCO+5凶8。

13、1-22+32—4?+…+(-1)川.〃2=(_[)〃+].(1+2+3+…+力

14._______3—

n

i口cos2Acos23l-2sin2Al-2sin2B

15、证明：——------------=------------------------

a2b2a2h2

11sin2Asin2

一/一落厂,

sin2A_sin2B

由正弦定理得: