【解析】湖北省宜昌一中龙泉中学高三下学期6月联考数学（理）试题

2020年高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.是实数，是纯虚数，则的虚部为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，且结合纯虚数定义求得，进而得的虚部.【详解】由复数的除法运算化简可得，由纯虚数的定义可知满足，解得，所以，的虚部为，故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的定义简单应用，属于基础题.，集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A，B，再用交集的定义求解.【详解】，或，所以，故选：D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用对数函数，指数函数和幂函数的单调性，根据逻辑条件的定义判断.【详解】由，得，此时，反之成立时，可以取，，不能推出故选：A.【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波拉契数列{an}定义如下：a1＝a2＝1，an＝an﹣1+an﹣2（n≥3，n∈N），随着n的增大，越来越逼近黄金分割0.618，故此数列也称黄金分割数列，而以an+1、an为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是（）A.20厘米 B.19厘米 C.18厘米 D.17厘米【答案】C【解析】【分析】因为由已知有0.618，又≈200，进而解得.【详解】解：由已知有0.618，得：，由，≈200，即，由于172＝289，182＝324，所以an+1≈18（厘米），故选：C.【点睛】本题考查了数学文化及数列新定义的应用，属于基础题.Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由得到首项与公差的关系，再把S3，S6用含有d的代数式表示，则答案可求.【详解】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由，得3（2a1+d）＝4a1+6d，即.∴，.∴.故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列前n项和公式的性质应用，考查了运算求解的能力，属于中档题.的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求导分析导函数的单调性与零点可得原函数存在两个极值点,再代入求值判断即可.【详解】解法一：因为，设，令,得,当时,为减函数，即为减函数；当时,，为增函数，即为增函数,而,所以原函数存在两个极值点,代入原函数,求得,淘汰选项A.解法二：,淘汰选项A,D；当时,,淘汰选项C.故选：B.【点睛】本小题考查函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想,考查直观想象、数学运算等核心素养,属于中档题.，方程恰有三个根，记最大的根为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依题意，函数在处的切线为，且，利用导数的几何意义可得，再化简所求式子即可得解.【详解】如图，要使方程恰有三个根，且最大的根为，则函数在处的切线为，显然，当时，，，，可得，.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究方程的根，解答的关键就是利用化简计算，考查计算能力，属于中等题.位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有位同学，其余三个宣传小组各有位同学中选派人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派人的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用组合计数原理计算出基本事件的总数以及事件“从这位同学中选派人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾.某班按此四类由位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有位同学，其余三个宣传小组各有位同学.现从这位同学中选派人到某小区进行宣传活动，基本事件总数，每个宣传小组至少选派人包含的基本事件个数为，则每个宣传小组至少选派人的概率为.故选：D.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A，B，点A在第一象限，且|AF|﹣|BF|，则（）A. B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】过A，B分别作准线的垂线，再过B作AA'的垂线，由抛物线的性质及三角形相似可得对应边成比例，求出|AF|，|BF|的值，进而求出比值.【详解】解：设|BF|＝m，则由|AF|﹣|BF|可得|AF|m，由抛物线的方程可得：F（1，0），过A，B分别作准线的垂线交于A'，B'，过B作AA'的垂线交AA'，OF分别于C，D点，则△BFD∽△BAC，所以，即，解得：m，所以2，故选：B.【点睛】本题考查了抛物线的定义、抛物线的标准方程，考查了基本运算能力，属于基础题.10.某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首项根据几何体的三视图换元得到几何体，进一步求出三棱锥的外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】根据几何体三视图可得：该几何体是底面为等腰直角三角形，高为的三棱锥，如图所示：设该三棱锥的外接球的球心为，则外接球的半径为，则，即，解得，所以外接球的表面积为.故选：B.【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的转换，以及几何体的外接球的半径的求法和表面积的计算，着重考查运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题.f（x）满足，，当x＞0时，下列说法正确的是（）①只有一个零点；②有两个零点；③有一个极小值点；④有一个极大值点A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】B【解析】【分析】令，则，所以，即，由，解得，所以，求导得，利用导数可求出函数的单调区间，进而得在处取得极大值，而这也是最大值，从而可对③和④作出判断；又，且当时，恒成立，所以只有一个零点为，从而可对①和②作出判断.【详解】令，则，，即，∴，∵，∴，∴，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，在处取得极大值，而这也是最大值，即③错误，④正确；又，且当时，恒成立，只有一个零点为，即①正确，②错误.∴正确的有①④，故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，属于难度题．ABCD满足AB∥CD，∠BAD＝45°，以A，D为焦点的双曲线Γ经过B，CCD＝7AB，则双曲线Γ的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先画出大致图象，结合双曲线的定义以及余弦定理求得a，c之间的关系即可得到结论.【详解】如图：连接AC，BD，设双曲线的焦距AD＝2c，实轴长为2a，则BD﹣AB＝AC﹣CD＝2a，设AB＝m，则CD＝7m，BD＝2a+m，AC＝2a+7m，∠BAD＝45°，∠ADC＝135°，在△ABD中，由余弦定理及题设可得：（2a+m）2＝m2+4c2﹣2，在△ACD中，由余弦定理及题设可得：（2a+7m）2＝49m2+4c2+14，整理得：（c2﹣a2）＝m（a+c），（c2﹣a2）＝7m（a﹣c），两式相结合得：a+c＝7（a﹣c），故6a＝8c，∴双曲线Γ的离心率为e.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，画出图像是解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）ABC中，||＝5，8，则_____.【答案】﹣17.【解析】【分析】直接利用向量的数量积转化求解即可.【详解】在三角形ABC中，因为||＝5，8，所以258，所以17.故答案为：﹣17.【点睛】本题主要考查平面整理的数量积运算以及向量的加法运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为．【答案】540【解析】【详解】若的展开式中各项系数之和为，解得，则展开式的常数项为，故答案为.，中，，，，设数列满足，则数列的前项和_____.【答案】.【解析】【分析】首先根据递推公式求出和，代入中求出数列的通项公式，最后由等比数列求和公式即可求出数列的前项和.【详解】数列，中，，①，，②所以①+②得：，整理得（常数），所以数列是以为首项，4为公比的等比数列.所以.①×②得：，所以（常数），故数列是以为首项，8为公比的等比数列，所以，由于数列满足，所以，故答案为：.【点睛】本题考查了由递推公式求通项公式的应用，由递推公式证明数列为等比数列，等比数列前项和公式的应用，属于中档题.P﹣ABC中，PA，PB＝PC＝AB＝AC＝2，BC＝2，动点Q在△ABC的内部（含边界），设∠PAQ＝α，二面角P﹣BC﹣A的平面角的大小为β，△APQ和△BCQ的面积分别为S1和S2，且满足，则S2的最大值为_____.【答案】4﹣2.【解析】【分析】取BC的中点M，由题意可得AM＝PM＝PA，则β＝∠PMA＝60°，作QH⊥BC于H，则sinα，再由BC＝2PA＝2，可得AQ＝QH，即Q为三角形ABC内的一条抛物线，当Q在AB或AC上时，S2最大，求出S2的最大值.【详解】如图所示：取BC的中点M，连接AM，PM，因为PB＝PC＝AB＝AC，AM⊥BC，PM⊥BC，且PA，PB＝PC＝AB＝AC＝2，BC＝2，所以AM＝PM＝PA，所以β＝∠PMA＝60°，作QH⊥BC于H，所以sinα，所以而BC＝2PA＝2，所以AQ＝QH，所以Q的轨迹是△ABC内的一条抛物线，当Q在AB或AC上时，S2最大，不妨设在AB上，此时，即，解得AQ＝QH＝2（1），所以S2＝4﹣2.故答案为：4﹣2【点睛】本题主要考查二面角的求法以及面积比与相似比的应用，抛物线的定义，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于难题.三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）的内角的对边分别为，且.（1）求C；（2）如图，若点D在边AC上，,E为垂足，且，求BD的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将方程中的边化成角，再利用诱导公式，可求得的值，即可得答案；（2）在中，由正弦定理得，即，求出的值，即可得答案；【详解】（1），∴由正弦定理得，，，...（2），..在中，由正弦定理得，即，整理得.【点睛】本题考查诱导公式、正余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意边角关系的互相转化.18.如图，在矩形中，将沿对角线折起，使点到达点的位置，且平面平面.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由四边形是矩形，得，推导出平面，可得出，再由，可得出平面，由此能证明；（2）过作于点，则平面，以所在直线为轴，过作轴平行于，为轴，建立空间直角坐标系，由平面，得出直线与平面所成角为，设，可得，然后利用空间向量法能求出二面角的余弦值.【详解】（1）由四边形是矩形，得，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，则，又，，平面，平面，；（2）过作，垂足为点，平面平面，平面平面，平面，平面，以点为坐标原点，以所在直线为轴，过作轴平行于，以所在直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由（1）知平面，是直线与平面所成角，即，在中，，设，则，，平面，可取平面的一个法向量，由（1）知，，在中，，，，，，，，，，，，，设平面的法向量，由，取，则，，所以，平面的一个法向量为，.由图形可知，二面角的平面角为锐角，它的余弦值为.【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用线面角的定义求长度，以及利用空间向量法求二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.O：x2+y2＝3，直线PA与圆O相切于点A，直线PB垂直y轴于点B，且|PB|＝2|PA|.（1）求点P的轨迹E的方程；（2）过点（1，0）且与x轴不重合的直线与轨迹E相交于P，Q两点，在x轴上是否存在定点D，使得x轴是∠PDQ的角平分线，若存在，求出D点坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在；定点D（4，0）【解析】【分析】（1）设P（x，y），根据直线PA与圆O相切于点A，利用切线长公式得到|PA|2＝x2+y2﹣3，|再根据直线PB垂直y轴于点B，得到|PB|2＝x2，然后由|PB|＝2|PA|求解.（2）设直线l的方程为：x＝my+1，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，，代入kPD+kQD＝0，化简整理得，解得x0即可.【详解】（1）设P（x，y），因为直线PA与圆O相切于点A，所以|PA|2＝|PO|2﹣3＝x2+y2﹣3，|又因为直线PB垂直y轴于点B，所以|PB|2＝x2，又因为|PB|＝2|PA|所以x2+y2﹣3＝x2，即x2＝4（x2+y2﹣3），化简得，∴点P的轨迹E的方程为：；（2）设直线l的方程为：x＝my+1，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程，整理得：（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，∴，，假设存在定点D（x0，0），使得x轴是∠PDQ的角平分线，则kPD+kQD＝0，∴，∴，∴，∴，即，解得：x0＝4，所以存在定点D（4，0），使得x轴是∠PDQ的角平分线.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线的对称问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.某工厂的一台某型号机器有2种工作状态：正常状态和故障状态.若机器处于故障状态，则停机检修.为了检查机器工作状态是否正常，工厂随机统计了该机器以往正常工作状态下生产的1000个产品的质量指标值，得出如图1所示频率分布直方图.由统计结果可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为这1000个产品的质量指标值的平均数，近似为这1000个产品的质量指标值的方差（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.若产品的质量指标值全部在之内，就认为机器处于正常状态，否则，认为机器处于故障状态.（1）下面是检验员在一天内从该机器生产的产品中随机抽取10件测得的质量指标值：294555636773788793113请判断该机器是否出现故障？（2）若机器出现故障，有2种检修方案可供选择：方案一：加急检修，检修公司会在当天排除故障，费用为700元；方案二：常规检修，检修公司会在七天内的任意一天来排除故障，费用为200元.现需决策在机器出现故障时，该工厂选择何种方案进行检修，为此搜集检修公司对该型号机器近100单常规检修在第i（，2，…，7）天检修的单数，得到如图2所示柱状图，将第i天常规检修单数的频率代替概率.已知该机器正常工作一天可收益200元，故障机器检修当天不工作，若机器出现故障，该选择哪种检修方案？附：，，.【答案】（1）可判断该机器处于故障状态；（2）选择加急检修更为适合【解析】【分析】（1）由图1可估计1000个产品的质量指标值的平均数和方差，所以，，从而得到产品的质量指标值允许落在的范围为（28.87，111.13），由于抽取产品质量指标值出现了113，不在（28.87，111.13）之内，故机器处于故障状态；

（2）方案一：工厂需要支付检修费和损失收益之和为700＋200＝900元；方案二：设损失收益为元，求出的可能值，然后由图2可得出每个的取值所对应的概率，求出数学期望，可得工厂需要支付检修费和损失收益之和，与900对比，即可得出结论.【详解】（1）由图1可估计1000个产品质量指标值的平均数和方差分别为，，依题意知，，，所以，，所以产品质量指标值允许落在的范围为，又抽取产品质量指标值出现了113，不在之内，故可判断该机器处于故障状态；（2）方案一：若安排加急检修，工厂需要支付检修费和损失收益之和为元；方案二：若安排常规检修，工厂需要要支付检修费为200元，设损失收益为X元，则X的可能取值为200，400，600，800，1000，1200，1400，X的分布列为：X200400600800100012001400P元；故需要支付检修费和损失收益之和为元，因为，所以当机器出现故障，选择加急检修更为适合.【点睛】本题考查频率分布直方图中的数字特征、离散型随机变量的分布列和数学期望，及期望的实际应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题.f（x）＝（x﹣1）2﹣alnx（a＜0）.（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），且关于x的方程f（x）＝b（b∈R）恰有三个实数根x3，x4，x5（x3＜x4＜x5），求证：2（x2﹣x1）＞x5﹣x3.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得f′(x)，令f′(x)＝0，即2x2﹣2x﹣a＝0，＝4+8a，分两种情况①≤0，②＞0，讨论f(x)单调性；（2）由题意得a＜0，画出草图，知0＜x3＜x1＜x4＜x2＜x5，0＜x1＜x2＜1，要证：2(x2﹣x1)＞x5﹣x3，即证：2(x2﹣x1)＞(x5+x4)﹣(x3+x4)，只需证：，先证：x3+x4＞2x1.即证x4＞2x1﹣x3，由（1）f(x)单调递减，只需证f(x4)＜f(2x1﹣x3)，即证：f(x3)＜f(2x1﹣x3)，令g(x)＝f(x)﹣f(2x1﹣x)，0＜x＜x1，求导数，分析单调性，可得g(x)＜g(x1)＝0，故f(x)＜f(2x1﹣x)，在(0，x1)恒成立，f(x3)＜f(2x1﹣x3)得证，同理可以证明：x3+x4＜2x2，综上，2(x2﹣x1)＞x5﹣x3，得证.【详解】（1）由题意得＝2(x﹣1)，令＝0，即2x2﹣2x﹣a＝0，＝4+8a，①当a时，≤0，≥0，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，②当a＜0时，＞0，2x2﹣2x﹣a＝0的两根为x1，x2且0＜x1x2，当x∈(0，)，(，+∞）时，＞0，f(x)单调递增，当x∈(，)时，＜0，f(x)单调递减，综上，当a时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，当a＜0时，f（x）在(0，）上单调递增，在(，）上单调递减，在(，+∞)上单调递增.（2）证明：由题意得a＜0，0＜x3＜x1＜x4＜x2＜x5，0＜x1＜x2＜1，如图，要证：2(x2﹣x1)＞x5﹣x3，即证：2(x2﹣x1)＞(x5+x4)﹣(x3+x4)；只需证：先证：x3+x4＞2x1.即证x4＞2x1﹣x3，又由（1）知f(x)在(x1，x2)上单调递减，只需证f(x4)＜f(2x1﹣x3)，而f(x4)＝f(x3)，即证：f(x3)＜f(2x1﹣x3)，令g(x)＝f(x)﹣f(2x1﹣x)，0＜x＜x1，＝+＝2x﹣22(2x1﹣x)﹣2，＝4(x1﹣1)又2(x1﹣1)0，即x1﹣1，那么，，而0＜x＜x1，且，则＞0，故