必修一第一章第4节4.1一元二次函数学历案教师版

§4一元二次函数与一元二次不等式§4.1一元二次函数【学习主题】新授课【课时安排】1课时【学习目标】1理解二次函数a，b，c，h，k对其图像的影响；2.通过体验对二次函数图像的研究方法，能迁移到其他函数图像的研究；3.培养对参数进行讨论的能力，体会数形结合思想的作用。【学习重难点】1.学习重点（1）掌握用待定系数法求二次函数的解析式．(重点)（2）用待定系数法求二次函数的解析式．(重点)（3）二次函数的性质的基本应用．(重点).2.学习难点：二次函数中a、b、c、的取值对二次函数图像的影响．(难点)【学情分析】二次函数是初中数学的核心内容，是学生体会数形结合思想的载体，通过本节知识的学习，使数与式，方程与不等式的知识进一步完善，对培养和提高学生用函数模型来解决实际问题，逐步提高分析问题，解决问题的能力有着一定的作用，为高中进一步学习奠定基础。【学法建议】（1）认识二次函数的顶点式，一般式。（2）认真思考，用函数的观点看方程。（3）实际当中二次函数的应用（4）要注意运用抽象的集合语言表达和交流问题，替身数学抽象素养.【学习过程】课前预习，发现问题问题1：什么是二次函数？问题2：二次函数的表现形式有几种？问题3：怎样求二次函数解析式？问题4：二次函数图像的平移？问题5：二次函数有哪些性质？2.基础知识自测1．一元二次函数的概念阅读教材，完成下列问题．（1）形如_______的函数叫做二次函数。（2）一元二次函数y=ax2(a0)的图像可由y=x2的图像各点的______________坐标变为_______得到。（3）一元二次函数y=a(xh)2+k(a0)，a决定了一元二次函数图像的___________，h决定了二次函数图像的___________，而且“h正______平移，h负_________平移”；k决定了二次函数图像的___________，而且“k正___________平移，k负__________平移”2．一元二次函数解析式常见的三种形式：（1）一般式：（2）顶点式：（3）两根式：（有的二次函数未必有）3.一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有如下性质：(1)顶点坐标是()。(2)对称轴是()(3)开口方向：当a＞0时，抛物线开口()；当a＜0时，抛物线开口()。(4)最值：如果a＞0，函数有()，当x＝－时，（）；如果a＜0，函数有()，当x＝－时，（）。(5)增减性(函数值y随自变量x的变化规律)：①a＞0时，当x＜－(在对称轴左侧)，y随x的增大而()；当x＞－(在对称轴右侧)，y随x的增大而()。②a＜0时，当x＜－(在对称轴左侧)，y随x的增大而()，当x＞－(在对称轴右侧)，y随x的增大而()。(1)y=ax2+bx+c(a≠0)R；(2)纵坐标，原来的a倍；（3）开口方向，左右平移，向左，向右，上下平移，向上，向下2.（1）y=ax2+bx+c(a≠0)（2）y=a(x+h)2+k(a0)（3）y=a(xx1)(xx2)(a0)3.（1）（－，）（2）x=－（3）向上，向下（4）最小，，最大，（5）减小，增大；增大，减小【预习自测】1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)一元二次函数y＝2＋1的图象可由一元二次函数y＝2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．()(2)对于一元二次函数(a≠0)来说，当x≥－eq\f(b,2a)时，函数值y随自变量x的增大而增大．()(3)一元二次函数(a≠0)在x＝－eq\f(b,2a)处取得最大值．()(4)一元二次函数y＝2与y＝－2的图象开口大小相同，开口方向相反．()2.已知一元二次函数．（1）抛物线的开口向、对称轴为直线、顶点坐标；（2）当时，函数有最值，是；（3）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；（4）该函数图象可由的图象经过怎样的平移得到的？【详解】解：由二次函数可得（1）抛物线的开口方向向下，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，9)．（2）当x=2时，函数y有最大值，是9．（3）当x＜2时，函数y随x的增大而增大，当x＞2时，函数y随x的增大而减小．（4）函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移9个单位即可得到．故答案为下；；大；；；向左个，向上平移个单位．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质与图象的平移．掌握二次函数的顶点式对应的开口方向，对称轴，顶点坐标是解题的关键．二．课中学习:合作探究【学习任务1】一元二次函数解析式的求解（用三种方法解决）已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴相交于点A(－3,0)，对称轴为x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式．解方法一(一般式求法)代入A(－3,0)，有9a－3b＋c＝0，①由对称轴为x＝－1，得－eq\f(b,2a)＝－1，②顶点M到x轴的距离为|a－b＋c－0|＝2，③联立①②③解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝1，,c＝－\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,b＝－1，,c＝\f(3,2)，))所以此函数的解析式为y＝eq\f(1,2)＋x－eq\f(3,2)或y＝－eq\f(1,2)－x＋eq\f(3,2).方法二(顶点式求法)因为二次函数图像的对称轴是x＝－1，又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为(－1,2)或(－1，－2)，故可得二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2＋2或y＝a(x＋1)2－2.因为图像过点A(－3,0)，所以0＝a(－3＋1)2＋2或0＝a(－3＋1)2－2，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,2).故所求二次函数的解析式为y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋2＝－eq\f(1,2)－x＋eq\f(3,2)或y＝eq\f(1,2)(x＋1)2－2＝eq\f(1,2)＋x－eq\f(3,2).方法三(两根式求法)因为二次函数图像的对称轴为x＝－1，又图像过点A(－3,0)，所以点A关于对称轴的对称点A′(1,0)也在图像上，所以可得二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)．由题意得顶点坐标为(－1,2)或(－1，－2)，分别代入上式，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,2).故所求二次函数的解析式为y＝－eq\f(1,2)(x＋3)(x－1)＝－eq\f(1,2)－x＋eq\f(3,2)或y＝eq\f(1,2)(x＋3)(x－1)＝eq\f(1,2)＋x－eq\f(3,2).【课堂评价1】求下列一元二次函数解析式：①已知某二次函数的图象过三点，求这个函数的解析式。②已知抛物线的顶点是A，若二次函数的图像经过A点，且与x轴交于B（0,0），C（3,0）两点。③已知抛物线的顶点是A（1,4）且经过点（1,2）。【课堂展示】由学生快问快答学生反思总结：一元二次函数解析式的步骤：【学习任务2】一元二次函数的图像问题y＝x2的图像如何得到y＝－x2＋2x＋3的图像．解f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x2－2x)＋3＝－(x2－2x＋1－1)＋3＝－(x－1)2＋4，∴由y＝－x2的图象与y＝x2的图像关于x轴对称，可得y＝－x2的图像．由y＝－x2的图像向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度，可得y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3的图像．变式1，将一元二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到一元二次函数y＝x2－2x＋1的图像，则b＝______，c＝______.解析f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，其图像顶点为(1,0)．将二次函数f(x)＝x2－2x＋1的图像向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图像的顶点为(3，－3)，得到的抛物线为y＝(x－3)2－3，即f(x)＝x2＋bx＋c，∴(x－3)2－3＝x2＋bx＋c，即x2－6x＋6＝x2＋bx＋c，∴b＝－6，c＝6.【课堂评价1】、（1）求将一元二次函数的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的函数解析式。解：向右平移2个单位长度得到再向下平移3个单位长度得化为一般式为若是向左平移2个单位，再向上平移3个单位呢？解：可化为向左平移2个单位，再向上平移3个单位可化为【课堂展示】由学生快问快答【课堂展示】由学生快问快答反思与感悟处理一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像问题，主要是考虑其图像特征如开口、顶点、与x轴交点、与y轴交点、对称轴等与系数a，b，c之间的关系．在图像变换中，记住“h正左移，h负右移，k正上移，k负下移”．【学习任务3】一元二次函数最值问题例1、求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6x－x2．【课堂评价1】.对于一元二次函数，分别在下列自变量取值范围内，求出函数的最大值、最小值。【课堂展示】由学生快问快答反思与感悟数形结合思想三、课后评价，解决问题（1）本节对应的巩固训练（明天课代表收齐后上交）.【学后反思】1.你喜欢这节课吗?课堂上你认真思考了吗？2.在课堂上你积极吗?3.在这节课上你的学习目标完成了吗?4.你对本堂课重难点掌握了吗?5.在本节课上你掌握了哪些知识点和题型？A组y=x2+bx+c图像的顶点是(1,3),则b与c的值是()A.b=2,c=2 B.b=2,c=2C.b=2,c=2 D.b=2,c=2答案B2．一元二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)与g(x)＝bx2＋ax＋c(b≠0)的图像可能是下图中的()解析由于f(x)，g(x)的图像的对称轴方程分别是x＝－eq\f(b,2a)，x＝－eq\f(a,2b)，则－eq\f(b,2a)与－eq\f(a,2b)同号，即f(x)，g(x)的图像的对称轴位于y轴的同一侧，由此排除A，B；由C，D中给出的图像，可判定f(x)，g(x)的图像的开口方向相反，故ab<0，于是－eq\f(b,2a)>0，－eq\f(a,2b)>0，即f(x)，g(x)的图像的对称轴都位于y轴右侧，排除C，故选D.3.下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（D）（A）y＝2x2（B）y＝2x2－4x＋2（C）y＝2x2－1（D）y＝2x2－4xy＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2（D）（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的y=x2,y=x2,y=2x2的图像大致如右图所示,则图中从里向外的三条抛物线对应的函数依次是.

解析:根据“二次项的系数的绝对值越大,抛物线开口越小,抛物线就越接近y轴;二次项系数的绝对值越小,抛物线的开口就越大,抛物线就越远离y轴”这一规律来判定,易知对应的函数由里向外依次是y=2x2,y=x2,y=x2.答案:y=2x2,y=x2,y=x26.（1）一元二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝4，n＝0．已知一元二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝2时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝2时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝0时，函数图象经过原点．一元函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,5)；当x＝2时，函数取最大值y＝5；当x时，y随着x的增大而减小．8、根据下列条件，求一元二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)，(1，2)，(2，3)三点；(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)；9、已知一元二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，6），求a、b、c。B组1．若抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围为（）A． B．C．且 D．且1．C【解析】【分析】先根据是抛物线得，再根据其函数图像与轴有两个不同的交点得，即，两者综合即可得答案.【详解】∵二次函数的图象与轴有两个交点，∴∴解得，∵抛物线为二次函数，∴，则的取值范围为且.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的零点问题，是基础题.2．一元二次函数的图像的顶点在原点的必要不充分条件是（）A． B． C． D．2．D【解析】【分析】一元二次函数的图像的顶点在原点的充要条件为再利用定义法解决.【详解】若一元二次函数的图像的顶点在原点，则，且，所以顶点在原点的充要条件是故A是充要条件，B、C既不充分也不必要，D是必要条件，非充分条件.故选：D.【点睛】本题考查充分必要条件的应用，解决此类问题，通常有定义法、等价法、集合间的包含关系来判断，本题是一道基础题.3．若一元二次函数的图像不经过原点，则“”是“此函数图像的对称轴为y轴”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件3．C【解析】【分析】首先由已知条件判断，再判断是否为充要条件.【详解】由题意可知若，则，此时，满足，是偶函数，反过来，当函数是偶函数时，对称轴是轴，所以，即所以“”是“此函数为偶函数”的充要条件.故选：C【点睛】本题考查充要条件的判断，意在考查二次函数的系数和二次函数的性质的关系，属于基础题型.4．已知一元二次函数的图象如图所示，则（） B． C． D．4．D【解析】【分析】先根据的图象判断的正负，再根据即可判断与与的大小关系．【详解】由题图知，，所以，所以，即．故选：D【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，考查考生的识图能力，分析问题、解决问题的能力．5．函数在上的最小值和最大值分别为（）.A．12，5 B．12，4 C．12，4 D．14，65．B【解析】【分析】根据题意求出函数的对称轴为，开口朝下，判断对称轴内．【详解】解：函数的对称轴为，开口朝下对称轴内，在处取得最大值为，在处取得最小值为，故选：．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，函数图形特征，属于基础题．6．一元二次函数的顶点在轴上，则的值为_____________；6．或【解析】【分析】由二次函数的顶点在轴上可得出，列出关于的方程，可解出实数的值.【详解】由于二次函数的顶点在轴上，则该二次函数的图象与轴相切，所以，，整理得，解得或，故答案为：或.【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标，将问题转化为二次函数图象与轴相切，可简化计算，考查化归与转化数学思想，属于中等题.7．将一元二次函数向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的二次函数一般式为_______________.【解析】【分析】先将二次函数的解析式表示为顶点式，结合图象变换规律得出变换后的函数解析式，再化为一般形式即可.【详解】将二次函数的解析式为，将该函数的图象向右平移个单位得，再向上平移个单位得，故答案为：.【点睛】本题考查二次函数的图象变换后解析式的计算，解题时要结合每一步变换写出相应的函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．已知一元二次函数满足x=2时y=1,x=1时，y=1，且函数的最大值是8，求一元二次函数的解析式．【解析】【分析】设