高中数学人教A版选修2-3课件2-3习题课-离散型随机变量的均值与方差的综合应用

习题课——离散型随机变量的均值与方差的综合应用1.常用分布的均值与方差(1)两点分布的均值与方差若随机变量X服从参数为p的两点分布,则E(X)=1×p+0×(1-p)=p,D(X)=p(1-p).(2)二项分布的均值与方差在n次独立重复试验中,若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).2.离散型随机变量均值与方差的性质当a,b为常数时,随机变量Y=aX+b,则E(ax+b)=aE(x)+b,D(Y)=D(aX+b)=a2D(X).(1)当a=0时,D(Y)=D(b)=0;(2)当a=1时,D(Y)=D(X+b)=D(X);(3)当b=0时,D(Y)=D(aX)=a2D(X).【做一做1】

若随机变量X的方差D(X)=1,则D(2X+1)的值为(

)A.2 B.3 解析:D(2X+1)=4D(X)=4×1=4.答案:C【做一做2】

已知离散型随机变量X的可能取值为x1=-1,x2=0,x3=1,且E(X)=0.1,D(X)=0.89,则对应x1,x2,x3的概率p1,p2,p3分别为

,

,

.

解析:由题意知,-p1+p3=0.1,1.21p1+0.01p2+0.81p3=0.89.又p1+p2+p3=1,解得p1=0.4,p2=0.1,p3=0.5.答案:0.4

0.1

0.5探究一探究二探究三均值与方差的综合例1

在某地举办的射击比赛中,规定每位射手射击10次,每次一发,记分的规则为:击中目标一次得3分;未击中目标得0分;并且凡参赛者一律另加2分.已知射手小李击中目标的概率为0.9,求小李在比赛中得分的数学期望与方差.思路分析:首先理解题意,将实际问题正确地转化为数学模型,直接代入随机变量的方差计算公式.规范解答当堂检测探究一探究二探究三解:设击中次数为X,比赛得分为Y,则Y=3X+2.由题意知X~B(10,0.9),所以E(X)=10×0.9=9,D(X)=10×0.9×(1-0.9)=0.9.E(Y)=E(3X+2)=3E(X)+2=29,D(Y)=D(3X+2)=9D(X)=8.1.所以小李在比赛中得分的数学期望为29,方差为8.1.反思感悟通过审题,明确判断出随机变量X(击中次数)服从二项分布是解决这个题的关键,然后利用二项分布的均值和方差的计算公式即可求出E(X),D(X).规范解答当堂检测探究一探究二探究三变式训练1某运动员投篮命中率P=0.6.(1)求1次投篮命中次数ξ的期望与方差;(2)求重复5次投篮时,命中次数η的期望与方差.思路分析:(1)投篮1次可能投中,也可能不中,投中次数ξ若用0和1作为可能取值,则服从两点分布;(2)重复5次投篮的投中次数η服从二项分布.解:(1)投篮1次只有两种结果,投篮命中ξ=1,不中ξ=0,服从两点分布列:则E(ξ)=1×0.6=0.6,D(ξ)=(1-0.6)×0.6=0.24.(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数η服从二项分布,即η~B(5,0.6).由二项分布期望与方差的计算公式知,E(η)=5×0.6=3,D(η)=5×0.6×0.4=1.2.规范解答当堂检测探究一探究二探究三已知离散型随机变量的均值与方差,求参数值例2设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取一个球,记下颜色后放回,再取一个球(每球取到的机会均等),记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三反思感悟离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的分布列,然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组),解方程(组)即可求出参数值.(3)由已知条件,作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义,对实际问题作出判断.规范解答当堂检测探究一探究二探究三变式训练2为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为;两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与均值E(ξ),方差D(ξ).规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三均值与方差在决策中的应用例3计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的入流量相互独立.规范解答当堂检测探究一探究二探究三(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:若某台发电机运行,则该台发电机年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三(2)记水电站年总利润为Y(单位:万元).①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5

000,E(Y)=5

000×1=5

000.②安装2台发电机的情形.依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5

000-800=4

200,因此P(Y=4

200)=P(40<X<80)=p1=0.2;当X≥80时,两台发电机运行,此时Y=5

000×2=10

000,因此P(Y=10

000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8.由此得Y的分布列如下:所以,E(Y)=4

200×0.2+10

000×0.8=8

840.规范解答当堂检测探究一探究二探究三③安装3台发电机的情形.依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5

000-1

600=3

400,因此P(Y=3

400)=P(40<X<80)=p1=0.2;当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y=5

000×2-800=9

200,因此P(Y=9

200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7;当X>120时,三台发电机运行,此时Y=5

000×3=15

000,因此P(Y=15

000)=P(X>120)=p3=0.1,由此得Y的分布列如下:所以,E(Y)=3

400×0.2+9

200×0.7+15

000×0.1=8

620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.规范解答当堂检测探究一探究二探究三反思感悟随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.规范解答当堂检测探究一探究二探究三变式训练3某投资公司在2018年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三列表法求离散型随机变量的分布列与期望典例

如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机在3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.规范解答当堂检测探究一探究二探究三(1)求此人到达当日空气重度污染的概率.(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与均值.(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)【审题策略】

第一步,审条件.给出了3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量优良与重度污染的数据.第二步,审结论.第(1)问求此人到达当日空气重度污染的概率;第(2)问求分布列与均值;第(3)问求从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大.第三步,建联系.(1)重度污染只有2天,由于到达是随机的,根据古典概型求得;(2)随机变量X=0,1,2,求出分布列与期望;(3)根据方差表示数据偏离均值的程度,结合图中数据可得.规范解答当堂检测探究一探究二探究三【规范展示】

解:设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,…,13),根据题意,P(Ai)=,且Ai∩Aj=⌀(i≠j).(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B=A5∪A8.(2)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,规范解答当堂检测探究一探究二探究三所以X的分布列为

(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.【答题模板】

①求随机变量的取值—明确随机变量的所有可能取值以及每个值所表示的意义;②求概率—利用概率有关知识求出随机变量每个取值的概率;③求分布列、均值—规范写出分布列,并用分布列的性质验证,求均值.规范解答当堂检测探究一探究二探究三跟踪训练一次考试共有12道选择题,每道选择题都有4个选项,其中有且只有一个是正确的.评分标准规定:“每题只选一个选项,答对得5分,不答或答错得零分”.某考生已确定有8道题的答案是正确的,其余题中:有两道题可以判断两个选项是错误的,有一道题可以判断一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求出该考生:(1)得60分的概率;(2)