高中生能听懂的有关三大几何作图难题的探讨

高中生能听懂的有关三大几何作图难题的探讨1.尺规作图的由来尺规作图是起源于古希腊(公元前800年-公元前146年)的数学课题。只使用圆规和没有刻度的直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。欧几里得在《几何原本》中对规则作了总结。

第2页,共26页，2024年2月25日，星期天2.尺规作图的基本方法（1）通过两个已知点可作一直线。

（2）已知圆心和半径可作一个圆。

（3）若两已知直线相交，可求其交点。

（4）若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。

（5）若两已知圆相交，可求其交点。第3页,共26页，2024年2月25日，星期天3.尺规作图的五种基本图形（1）作一个角等于已知角

（2）平分已知角

（3）作已知直线的垂直平分线

（4）作一条线段等于已知线段

（5）过一点作已知直线的垂线第4页,共26页，2024年2月25日，星期天4.三大几何问题（1）化圆为方求作一正方形，使其面积等于一已知圆（2）三等分角分任意角为三等分（3）倍立方体求作一正方体，使其体积等于已知正方体体积的2倍。第5页,共26页，2024年2月25日，星期天作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。三大几何问题（1）：化圆为方第6页,共26页，2024年2月25日，星期天你能把长方形化为等面积的正方形吗？作图演示第7页,共26页，2024年2月25日，星期天阿基米德（约公元前287～前212），古希腊伟大的数学家、力学家。后人常把阿基米德和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。阿基米德的非尺规作图“化圆为方”第8页,共26页，2024年2月25日，星期天阿基米德螺线你能想象吗？时钟上的指针在作匀速转动，假如有一只小虫子从时钟的中心，沿指针作匀速爬动，那么虫子最终走出的轨迹是怎么样的？几何画板演示阿基米德的非尺规作图“化圆为方”第9页,共26页，2024年2月25日，星期天阿基米德螺线的简单画法

有一种最简单的方法画出阿基米德螺线，如图4，用一根线缠在一个线轴上，在其游离端绑上一小环，把线轴按在一张纸上，并在小环内套一支铅笔，用铅笔拉紧线，并保持线在拉紧状态，然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹，就得到了阿基米德螺线。阿基米德螺线的简单画法

有一种最简单的方法画出阿基米德螺线，如图4，用一根线缠在一个线轴上，在其游离端绑上一小环，把线轴按在一张纸上，并在小环内套一支铅笔，用铅笔拉紧线，并保持线在拉紧状态，然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹，就得到了阿基米德螺线。阿基米德螺线的简单画法

有一种最简单的方法画出阿基米德螺线，如图4，用一根线缠在一个线轴上，在其游离端绑上一小环，把线轴按在一张纸上，并在小环内套一支铅笔，用铅笔拉紧线，并保持线在拉紧状态，然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹，就得到了阿基米德螺线。阿基米德螺线的简单画法

有一种最简单的方法画出阿基米德螺线，如图，用一根线缠在一个线轴上，在其游离端绑上一小环，把线轴按在一张纸上，并在小环内套一支铅笔，用铅笔拉紧线，并保持线在拉紧状态，然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹，就得到了阿基米德螺线。阿基米德的非尺规作图“化圆为方”第10页,共26页，2024年2月25日，星期天阿基米德螺线化圆为方阿基米德的非尺规作图“化圆为方”第11页,共26页，2024年2月25日，星期天达芬奇式化圆为方意大利著名艺术大师达芬奇利用巧妙方法来解决化圆为方.达芬奇的非尺规作图“化圆为方”第12页,共26页，2024年2月25日，星期天π是一个超越数化圆为方能用尺规作图“化圆为方”的本质第13页,共26页，2024年2月25日，星期天三大几何问题（2）：三等分角先退一步任意给你一个角，你能把它而等分吗？第14页,共26页，2024年2月25日，星期天三大几何问题（2）：三等分角任意给你一个角，请你把它三等分。这么简单的事，居然是历史难题！第15页,共26页，2024年2月25日，星期天阿基米德的非尺规作图“三等分角”第16页,共26页，2024年2月25日，星期天非尺规作图“三等分角”OABRR母线：3R底面半径：R3R3RBAV1896年，奥布里给出圆锥妙法第17页,共26页，2024年2月25日，星期天非尺规作图“三等分角”OABOAB第18页,共26页，2024年2月25日，星期天没有有理根第19页,共26页，2024年2月25日，星期天三大几何问题（3）：倍立方体作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍第20页,共26页，2024年2月25日，星期天据说，公元前四百多年，在古希腊雅典流行伤寒病。万分惊惶的雅典人，向太阳神阿波罗祈祷消除灾难。太阳神指示：要消灾免祸，必须把殿前立方体香案的体积扩大两倍。雅典人听了非常高兴，觉得这个要求很容易办到。于是就把香案的各条棱都扩大了两倍，做了个新立方体香案。不料太阳神大为震怒。原来新香案的体积并不是旧香案的两倍，而是旧香案的八倍。那么，怎样才能把立方体香案的体积正好扩大两倍呢？如果设原来香案的棱长为1，新香案的棱长就必须是2的立方根。当时没人能解决的。于是，只好去请教久负盛名的大学者柏拉图。非尺规作图“倍立方体”第21页,共26页，2024年2月25日，星期天柏拉图先画了两条互相垂直相交于O点的直线m和l，在l上截取线段OC＝1；在m上截取线段OD＝2。再把两个木匠用的角尺，像下图那样放在上面，使两把角尺的直角点A、B，分别在两条直线上，并且另外两条臂分别通过C、D两点(如图)：非尺规作图“倍立方体”第22页,共26页，2024年2月25日，星期天作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍不是有理根第23页,共26页，2024年2月25日，星期天（1）三等分任意角（2）倍立方直尺与圆规不能做出一般的立方根（无理数）三等分任意角和倍立方不可能尺规作图（3）化圆为方π是一个超越数，即是一个不能通过有理系数求根得到的数。化圆为方也不可能尺规作图第24页,共26页，2024年2月25日，星期天从方程角度理解“尺规作图”（1）通过两个已知点可作一直线。

（2）已知圆心和半径可作一个圆。

（3）若两已知直线相交，可求其交点。

（4）若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。

（5）若两已知圆相交，可