与三角形相关的线段讲义人教版数学八年级上册

与三角形相关的线段【知识点】（1）___________________的三条线段_________________所组成的图形叫做_________________．（2）三角形的组成要素：_________________________________（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，如图的三角形ABC就表示成△ABC，三个顶点为：A、B、C，三边分别为：AB，BC，AC。通常顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用。目标：理解三角形的三边关系定理和推导（1）任意三条边都可以组成三角形吗？三角形的三边满足什么关系？下面两个图形能变成三角形吗？为什么？（2）由（1）知三角形的三条边的长度是不能任意的，那么三角形的三边之间又具有怎样的数量关系？（i）在下图示△ABC中,假设一只小虫从B点出发，沿三角形的边爬到点C，他有几条路线可以选择？路线长分别为：a．从B→C，路线长为BC的长b．从B→A→C，路线长为BA+AC（ii）你能利用所学的知识比较各条线路的长短吗？BA+AC>BC即c+b>a原因：（学生可能会通过测量，但大多数同学应该会想到这样一个基本事实：“两点之间线段最短”）（iii）若是从A出发沿边到C呢？若是从A出发沿边到B呢？各分别有几条路线并比较大小：同理会得到：c+a>b；b+a>c议一议：在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么关系?得到结论：三角形两边之和大于第三边(利用不等式的性质得：三角形两边之差小于第三边)【反馈练习】下面分别是三条线段的长度，用它们首尾相接能组成三角形吗?（1）5cm，9cm，3cm（）（2）4cm，7cm，10cm（）（3）2cm，5cm，7cm（）【问1】判断三边能否组成三角形，需要列几个式子？需要三条边的式子都列出来吗？如果只列一边的话，只算两边之和大于第三边可以吗？还是需要算两边之和与两边之差两个？【问2】那么第1题中x的范围可否利用三边关系求范围归纳：用较小两条线段的和与第三条线段做比较；若较小两条线段的和大于第三条线段，就能保证任意两条线段的和大于第三条线段.【自查小测】考查角度1：判断三条线段能否组成三角形例题11：下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A.4，1，2B.5，9，4C.4，6，8D.5，5，11练习：已知三条线段的比是：①1:3:4；②1:2:3；③1:4:6；④3:3:6；⑤6:6:10；⑥3:4:5。其中可构成三角形的有（）。A．1个 B．2个 C．3个 C．4个考查角度2：求三角形第三边的范围例题12：一个三角形两边的长分别为5cm和3cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是（）A.2cm或4cmB.4cm或6cmC.4cmD.2cm或6cm练习:(1)现有两根木棒，它们的长度分别为20cm和30cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取（）。A．10cm的木棒 B．20cm的木棒 C．50cm的木棒 D．60cm的木棒(2)一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边的长是整数，这样的三角形中周长的最小值是______.（3）两条边长分别为2和8，第三边长是整数的三角形一共有（

）(A)3个

(B)4个

(C)5个

(D)无数个考查角度3：三边关系在等腰三角形中的应用例题13：已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长为（）。A．9 B．12 C．15 D．12或15练习（1）已知等腰三角形两边长为5和7，则周长为（）。A．19 B．17 C．19或17 D．11（2）已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm，且它的周长大于16cm，则第三边长为。 考查角度4：三边关系在代数中的应用例题14：若a,b,c是△ABC的三边的长，化简=_______________.练习：已知是△ABC的三边长，满足，且为方程的解，求△ABC的周长。【探究学习二】【例题研究】研究：用三角尺和量角器画出下面三个三角形的3条高，并思考三个三角形的三条高分别在三角形的什么位置（内/外），位置关系受什么影响？同理画出3个三角形的中线和角平分想，思考中线和角平分在三角形的什么位置（内/外），是否像高一样受三角形的形状影响。学习目标1：会画三角形的高目标分解：（1）知道高的定义（2）会画一条线段的垂线（3）会画三角形的高1.知道三角形高的定义【师】在△ABC中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（）A． B． C. D．【师】什么是三角形的高，你能找到高有什么特征？（过顶点，垂直）2.会画三角形的高拿出一副三角尺子画出钝角、直角、锐角三角形的高，总结画高的步骤【画法】1先确定要画哪条边的高；2．找出那条边所对的顶点；3．把三角尺子的一边靠在顶点上，另一边与底所在直线重叠。【师】巩固锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高怎么画（特别是钝角三角形，并总结不同三角形高与三角形的位置关系）【问】（1）三角形有多少条高，所有高位置是怎么样的？（钝角三角形BABACE(中点）（2）作图观察三角形所有的高是否交于一点（上图）目标2：三角形的中线【师】什么是三角形的中线，中线有什么特征【知识点】三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。图中，线段AE是△ABC的BC边上的中线。【师】三角形的中线的特点：AE是三角形的中线，那么BE=或BC=BE=CE或BE=EC=BC【师】画三角形的中线的关键是什么？你有什么方法？连接和所对的边的的线段；过顶点、平分顶点所对的边。【探究】三角形有多少条中线，所有中线位置是怎么样的？（在三角形里面）（2）作图观察三角形所有的中线是否交于一点（上图）总结：三角形的中线平分三角形的面积。那么三角形DEC的面积怎么求？目标3：三角形的角平分线定义：三角形一内角的平分线与它的对边相交，所得线段叫作三角形的角平分线.如上图所示，三角形的三个内角平分线交于三角形的内部，这个交点叫作三角形的内心.【总结反思】1．由不在同一条直线上的三条线段所组成的图形叫做．2．右图中，点A、B、C是三角形的；线段AB、BC、CA是三角形的；∠A、∠B、∠C叫做三角形的，简称三角形的顶点是A、B、C的三角形记作，读作．的三边，有时也用a，b，c来表示，如图，顶点A所对的边BC用表示，顶点B所对的边AC用表示，顶点C所对的边AB用表示3．在一个三角形中,任意两边之和第三边,理由是;任意两边之差第三边4．三角形的高是，一个三角形共有三条高,三角形的三条高或其所在直线；锐角三角形的高的在三角形、直角三角形的高在三角形，钝角三角形的高在三角形的(内/外/上)5．三角形的中线是，三角形的三条中线，交点在三角形的，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的一条中线将三角形分成面积的两部分。6．三角形的角平分线是，三角形的三条角平分线，交点在三角形的。达标运用三角形的两边长分别是3和7，则其第三边x的范围为_____________2．下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）3，4，5；（2）5，6，11；（3）5，6，10．3．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）ABCD4．如图，已知：D，E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE，AD，若S△ABC=24cm2，则△DEC的面积的面积为（）A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．12cm2巩固练习1．在长度为5cm，6cm，11cm，12cm的四条线段中选出三条构成一个三角形，这三条线段的长度分别是．2．如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．BE B．AE C．BF D．CF3．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABE=4cm2，求S△ABC．【举一反三】1．若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为_______;若等腰三角形的两边长分别是3和4，则它的周长为_____.2．已知a、b、c是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|=．3．如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，△ABC的高AD与CE的比是多少？4．如图，学校有一块三角形空地（即△ABC），现准备将它分成面积相等的两块地，栽种不同的花草，请你把它分出来．（作图题要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）．课后作业1．三角形是（）A．连接任意三角形组成的图形B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的的图形C．由三条线段组成的图形D．以上说法均不对2．用符号表示下列三角形(1)以AB为边的三角形有:_____________(2)以∠D为内角的三角形有:_______________(3)以E为顶点的三角形有:

_______________想一想：图中共有几个三角形？3．如果三角形的两边长分别为3和5,则周长L的取值范围是()A．6<L<15B．6<L<16C．11<L<13D．10<L<164．如图，已知，，则线段AD是（）A．边BC的中线B．边BC的高C．的角平分线D．的角平分线5．下列说法不正确的是（）A．三角形的中线在三角形的内部B．三角形的角平分线在三角形的内部C．三角形的高在三角形的内部D．三角形必有一高线在三角形的内部6．下列图形中不具有稳定性是（）A．B．C．D．7．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？A．0根B．1根C．2根D．3根8．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，∠B=30°，∠C=80°，BE=3，AF=2，填空：（1）BE=BC；（2）∠BAD=；（3）∠DAF=；（4）S△AEC=．9．已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长．强化提升1．至少有两边相等的三角形是（）A．等边三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．锐角三角形2．下列长度的四根木棒中，能与长为4cm，9cm的两根木棒围成一个三角形的是（）A．4cmB．5cmC．9cmD．14cm3．若一个三角形的三条边长分别为3，2a﹣1，6，则整数a的值可能是（）A．2，3 B．3，4 C．2，3，4 D．3，4，54．一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A．5或7 B．7或9 C．7 D．95．现有3cm、4cm、7cm、9cm长的四根木棒，任选其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，△ABC中，∠1=∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，且满足BE⊥AC；F为AB上一点，且CF⊥AD于H，下列判断正确的个数是（）①线段AG是△ABE的角平分线；②△ABG与△DBG的面积相等；③线段AE是△ABG的边BG上的高；④∠1+∠FBC+∠FCB=90°．A．4B．3 C．2 D．17．如图，AD是△ABC的中线，