2020-2021学年湖北省宜昌市远安县九年级（上）期末数学试卷（ 含解析）

2020-2021学年湖北省宜昌市远安县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：（本大题满分33分，共11小题，每小题3分，下列各小题都给出了四个选项,

其中只有一个符合题目要求）

1.（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

2.（3分）关于尤的一元二次方程方程/-2x+A=0有两个不相等的实数解，则上的范围是

（）

A.左>0B.k>lC.k<\D.kWl

3.（3分）抛物线y=-（尤+1）2-2的对称轴是（）

A.x~~1B.x~~~1C.x~~2D.-2

4.（3分）一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同，则事件

“从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球”的事件类型是（）

A.随机事件B.不可能事件C.必然事件D.无法确定

5.（3分）如图，将△A03绕着点。顺时针旋转70°,得到△C。。，若NCO£）=40°,则

N80C的度数为（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

6.（3分）将抛物线>=3/绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移1个

单位，此时该抛物线的解析式为（）

A.y=-3（x-1）2-1B.y—-3（x+1）2-1

C.y=-3（x-1）2+lD.-3（x+1）2+l

7.（3分）如图，A,B,C是。。上的三点，AB,AC的圆心。的两侧，若/ABO=20°,

NACO=30°,则N80C的度数为（）

B

A.100°B.110°C.125°D.130°

8.（3分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放〃辆单车，计划第三

个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为羽那么y

与x的函数关系是（）

A.y—j?+aB.y—a（1+x）2C.y=（1-x）2+6ZD.y—a（1-%）2

9.（3分）如图，AB是圆。的直径，CD是圆。的弦，若NC=35°,贝！（）

A.55°B.45°C.35°D.65°

10.（3分）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中

到处可见黄金分割的美.如图，点C将线段A3分成AC、C5两部分，且AO3C,如果

鲍望，那么称点C为线段A8的黄金分割点.若C是线段48的黄金分割点，AB=2,

ACCB

则分割后较短线段长为（）

J--------1J

ACB

A.娓-1B.3-V5c.2娓-3D.屈-2

11.（3分）函数〃与＞=QX-〃（〃W0）在同一坐标系中的图象可能是（）

VA

A.B.

二、填空题：（本大题满分12分，共4小题，每小题3分）

12.（3分）关于x的一元二次方程（a-1）x?+x+a?-1=。的一个根0,则a值为.

13.（3分）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图①中的摆盘,

其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC=

BD=Ucm,C,D两点之间的距离为3cm,圆心角为60°,则图中摆盘的面积

是.（用含TT的式子表示）

14.（3分）综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结

果如表所示：

黄豆种子数（单位：粒）800100012001400160018002000

发芽种子数（单位：粒）76294811421331151817101902

种子发芽的频率（结果保留至小0.9530.9480.9520.9510.9490.9500.951

数点后三位）

那么这种黄豆种子发芽的概率约为（精确到0.01）.

15.（3分）已知二次函数y=-f+2x+根的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-

x?+2x+m=0的一个解为3,则另一个解为,m=.

三、解答题：（本大题共九小题，共计75分）

16.（6分）（x-1）（%-2）—4.

17.（6分）已知关于x的一元二次方程f=2（1-m）x-的两实数根为x[,x2

（1）求机的取值范围；

⑵设y=xi+x2,当y取得最小值时，求相应机的值，并求出最小值.

18.（7分）在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题.尺规作图：过

圆外一点作圆的切线.

已知：尸为。。外一点.

求作：经过点口的O。的切线.

小敏的作法如下：

①连接。尸，作线段0P的垂直平分线MN交0P于点C；

②以点C为圆心，C。的长为半径作圆，交。。于A,B两点；

③作直线B4,PB.

所以直线抬，尸8就是所求作的切线.

根据小敏设计的尺规作图过程.

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：由作图可知点A,8在以C为圆心，C。为半径的圆上，

：.ZOAP=ZOBP=0.（）（填推理的依据）

C.PALOA,PBLOB.

4,为。。的半径，

直线B4,PB是的切线.（）（填推理的依据）

19.（7分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-3,2）,点8的坐标为（0,2）.

（1）画出将绕点。顺时针旋转90°后的图形，记为△AO3；

（2）求在题（1）旋转过程中，点A所运动的路程（结果用含n的式子表示）.

（1）若只旋转其中一个转盘，则指针落在蓝色区域的概率尸=;

（2）顾客旋转两个转盘，若两个转盘的指针都落在红色区域则获一等奖，请用树状图或

列表法求获一等奖的概率.

21.（8分）如图，在平行四边行A8Q）中，A8=5,BC=8,8C边上的高A8=3,点尸是

边上的动点，以CP为半径的OC与边AD交于点£,尸（点E在点尸的左侧）.

（1）当OC经过点A时，求CP的长；

（2）连接AP,当4尸〃CE时，求OC的半径及弦EF的长.

22.（10分）2019年，中央全面落实“稳房价”的长效管控机制，重庆房市较上一年大幅降

温.11月，£8地产共推出了大平层和小三居两种房型共80套，其中大平层每套面积

180m2,单价L8万元/»?,小三居每套面积120m2,单价1.5万元/信.

（1）地产11月的销售总额为18720万元，问11月要推出多少套大平层房型？

（2）2019年12月，中央经济会议上重申“房子是拿来住的，不是拿来炒的”后，重庆

房市成功稳定并略有回落，为年底清盘促销，地产调整了营销方案，12月推出两种

房型的总数量仍为80套,并将大平层的单价在原有基础上每平方米下调旦万元(相>0),

10

将小三居的单价在原有基础上每平方米下调上万元，这样大平层的销量较(1)中11月

20

的销量上涨了7根套，且推出的房屋全部售罄，结果12月的销售总额恰好与(1)中11

月的销售总额相等，求出机的值.

23.(11分)如图，。是AABC外接圆上的点，且8,。位于AC的两侧，DE±AB,垂足为

E,的延长线交此圆于点?BG±AD,垂足为G,BG交DE于点、H,DC,网的延

长线交于点P,且PC=PB.

(1)求证：/BAD=NPBC；

(2)求证：BG//CD；

(3)设△ABC外接圆的圆心为。，^AC=2DH,NCOD=23°,求/尸的度数.

24.(12分)在平面直角坐标系中，将函数y=-7-2or+a(x'O,a为常数)的图象记为

G,图象G的最高点为P(xo,yo).

(1)当a—-2时，贝！|yo=.

(2)当a>0时，求点尸的坐标.

(3)若点P到无轴的距离为1,求。的值.

C4)矩形ABC。的顶点A、C的坐标分别为(1,1)、(3,2),且其中的一条边平行于

坐标轴.当图象G在矩形A8C。内的部分随尤的增大，y的值先增大后减小时，直接写

出。的取值范围.

2020-2021学年湖北省宜昌市远安县九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题满分33分，共11小题，每小题3分，下列各小题都给出了四个选项,

其中只有一个符合题目要求）

1.（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；

8、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不合题意；

。、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

2.（3分）关于尤的一元二次方程方程/-2x+k=Q有两个不相等的实数解，则k的范围是

（）

A.k>0B.k>\C.k<\D.kWl

【分析】根据判别式的意义得到4=（-2）2-44>0,然后解不等式即可.

【解答】解：:•关于x的一元二次方程/-2x+左=0有两个不相等的实数根，

；.△=（-2）2-4左>0,

解得上<1.

故选：C.

3.（3分）抛物线y=-（尤+1）2-2的对称轴是（）

A.x~~1B.x~~~1C.x=2D.-2

【分析】由y=a（x-/i）2+左的对称轴是x=/i可得答案.

【解答】解：抛物线y=-（尤+1）2-2的对称轴是直线尤=-1,

故选：B.

4.（3分）一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同，则事件

“从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球”的事件类型是（）

A.随机事件B.不可能事件C.必然事件D.无法确定

【分析】直接利用必然事件的定义得出答案.

【解答】解：•••一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同,

，事件“从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球”的事件类型是必然事件.

故选：C.

5.（3分）如图，将△AOB绕着点。顺时针旋转70°,得到△口?£>,若NCOD=40°,则

/80C的度数为（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

【分析】根据/8。?=/8。。-/。。。，求出即可解决问题.

【解答】解：由题意，/AOC=/BOD=70°,

VZCOD=40°,

：./BOC=/BOD-/COD=30°,

故选：C.

6.（3分）将抛物线y=3/绕原点按顺时针方向旋转180。后，再分别向下、向右平移1个

单位，此时该抛物线的解析式为（）

A.y=-3（x-1）2-1B.y=-3（x+1）2-1

C.y=-3（尤-1）2+lD.尸-3（x+1）2+1

【分析】根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数，求出抛物线>=3/绕

原点按顺时针方向旋转180°后的解析式为y=-3/,然后根据抛物线y=-3?的顶点

坐标为（0,0）,分别向下、向右平移1个单位，所得的抛物线的顶点坐标为（1,-1）,

根据顶点式可确定所得抛物线解析式.

【解答】解：根据题意：-y=3（-x）2,得至Uy=-37,故旋转后的抛物线解析式是y

=-3f；

此时抛物线顶点坐标为（0,0）,

平移后抛物线顶点坐标为（1,-1）,

又；平移不改变二次项系数，

所得抛物线解析式为：尸-3（尤-1）2-1.

故选：A.

7.（3分）如图，A,B,C是上的三点，AB,AC的圆心。的两侧，若442。=20°,

ZACO=30°,则NBOC的度数为（）

A.100°B.110°C.125°D.130°

【分析】过A、。作OO的直径A。，分别在等腰△048、等腰△OAC中，根据三角形外

角的性质求出ZBOC=2ZABO+2ZACO.

【解答】解：过A作O。的直径，交O。于D

D

在△OA8中，OA=OB,

贝iJ/BO£）=NA8O+/OAB=2X20°=40°,

同理可得：ZCOD=ZACO+ZOAC=2X300=60°,

故/80C=N80D+NCO£）=100°.

故选：A.

8.（3分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放。辆单车，计划第三

个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为X,那么y

与尤的函数关系是（）

A.y=x2+aB.y=a（1+尤）2C.y=（1-x）2+aD.y=a（1-无）2

【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量X（1+增长率），如果设

该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为无，然后根据已知条件可得出方程.

【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为X,

依题意得第三个月投放单车。（1+无）2辆，

则y=a（1+x）2.

故选：B.

9.（3分）如图，AB是圆。的直径，C£）是圆。的弦，若/C=35°,则（）

A.55°B.45°C.35°D.65°

【分析】首先根据同弧所对的圆周角相等求得角A的度数，然后再求得的度数即

可.

【解答】解：：NC=35°,

；./A=35°,

,：AB是直径，

AZADB^90°,

ZABD=90°-ZA=90°-35°=55°,

故选：A.

10.（3分）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中

到处可见黄金分割的美.如图，点C将线段分成AC、C8两部分，且AO8C,如果

坐望，那么称点C为线段A3的黄金分割点.若C是线段A3的黄金分割点，AB=2,

ACCB

则分割后较短线段长为（）

J1I

ACB

A.—lB.3-A/5C.2^5D.V^—2

【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，

这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值正1叫做黄金比.

2

【解答】解：根据黄金分割点的概念得：AC=WL1AB=YL1X2=&-1,

22

：.BC=AB-AC=3-V5；

故选：B.

11.（3分）函数y=af-。与y=ax-a（aWO）在同一坐标系中的图象可能是（)

【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符,

判断正误.

【解答】解：A、由一次函数a的图象可得：a>0,此时二次函数y=a?-。的

图象应该开口向上，图象的两交点在坐标轴上，故A正确；

B、由一次函数y=ax-。的图象可得：a<0,此时二次函数了=加-a的图象应该开口

向下，图象的两交点不在坐标轴上，故2错误；

C、由一次函数y=ar-。的图象可得：a>0,此时二次函数。的图象应该开口

向上，图象的两交点不在坐标轴上，故C错误.

D、由一次函数y=ar-a的图象可得：a<0,此时二次函数>=以2-°的图象应该开口

向下，图象的两交点不在坐标轴上，故O错误；

故选：A.

二、填空题：（本大题满分12分，共4小题，每小题3分）

12.（3分）关于x的一元二次方程（a-1）x?+x+a?-1=0的一个根0,则a值为-1.

【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a-1W0,滔-1=0,

求出a的值即可

【解答】解：把x=0代入方程得：/-i=o,

解得：a=±l,

V（a-1）jr+x+a2-1=0是关于x的一元二次方程，

.\a-1W0,

即介1,

•9•a的值是-1.

故答案为：-1.

13.（3分）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图①中的摆盘,

其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC=

BD=\2cm9C,D两点之间的距离为3cm,圆心角为60°,则图中摆盘的面积是

36ncm2.（用含IT的式子表示）

【分析】根据题意和扇形面积的计算公式，可以计算出图中摆盘的面积，本题得以解决.

【解答】解：连接C。，

VOC=OD,ZCOD=60°,

•••△OCD是等边三角形，

OC=OD=CD=3cm,

9：AC=BD=12cm,

OA=OC+AC=15cm,

22

图中摆盘的面积是：60X兀义152_6QX7TX3=361t(cm),

360360

14.（3分）综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结

果如表所不：

黄豆种子数（单位：粒）800100012001400160018002000

发芽种子数（单位：粒）76294811421331151817101902

种子发芽的频率（结果保留至小0.9530.9480.9520.9510.9490.9500.951

数点后三位）

那么这种黄豆种子发芽的概率约为0.95（精确到0.01）.

【分析】根据7批次种子粒数从800粒增加到2000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95,

所以估计种子发芽的概率为0.95.

【解答】解：由表知随着试验次数的增加种子发芽的频率逐渐稳定再0.95附近，

所以这种黄豆种子发芽的概率约为0.95,

故答案为：0.95.

15.（3分）已知二次函数y=-f+2x+机的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-

/+2x+m=0的一个解为3,则另一个解为-1,m=3.

【分析】函数的对称轴为尤=-2=-上_=1,而函数的一个交点为（3,0）,根据

2a-2X1

函数对称性，则另外一个交点为（-1,0）,即可求解.

【解答】解：函数的对称轴为》=-也=--—=1,

2a-2X1

:函数的一个交点为（3,0）,根据函数对称性，则另外一个交点为（-1,0）,

则另外一个解为苫=-1,

将尤=3代入y=-/+2x+m得：-9+6+m=0,解得机=3,

故答案为：-1,3.

三、解答题：（本大题共九小题，共计75分）

16.（6分）（x-1）（%-2）=4.

【分析】求出的值，再代入公式求出即可.

【解答】解：整理得：f-3x-2=0,

b2-4ac=（-3）2-4X1X（-2）=17,

Y3±VT7

2

“3+VT7s=3-仃

-X1-------9人2-------•

22

17.（6分）已知关于X的一元二次方程/=2（1-机）X-77?的两实数根为XI,X2

（1）求机的取值范围；

⑵设y=xi+x2,当y取得最小值时，求相应机的值，并求出最小值.

【分析】（1）若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式4=^-4ac20,建立关于加

的不等式，可求出机的取值范围；

（2）根据根与系数的关系可得出尤1+X2的表达式，进而可得出y、机的函数关系式，根

据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的初值.

【解答】解：（1）将原方程整理为/+2（m-1）x+"2=0；

..•原方程有两个实数根，

.,.△=[2（m-1）]2-4m2=-8机+420,得机《•！；

2

（2）Vxi,X2为一元二次方程W=2（1-机）％-m2,即/+2（机-1）]+徵2=0的两根，

'•y=x\+x2=-2m+2,且znW』；

2

因而y随机的增大而减小，故当％=工时，取得最小值1.

2

18.（7分）在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题.尺规作图：过

圆外一点作圆的切线.

己知：尸为。。外一点.

求作：经过点口的。。的切线.

小敏的作法如下：

①连接OP,作线段OP的垂直平分线交OP于点C；

②以点C为圆心，C。的长为半径作圆，交。。于A,B两点；

③作直线出，PB.

所以直线RL,PB就是所求作的切线.

根据小敏设计的尺规作图过程.

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：由作图可知点A,8在以C为圆心，CO为半径的圆上，

ZOAP=ZOBP=900.（直径所对的圆周角为直角）（填推理的依据）

C.PALOA,PBLOB.

VOA,。8为。。的半径，

直线PA,PB是O0的切线.（经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线）

（填推理的依据）

【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；

（2）先根据圆周角定理的推论，由0P为直径得到尸=90°,贝U

PBLOB,然后根据切线的判定定理得到直线E4,尸8是。。的切线.

【解答】解：（1）如图，PA.P8为所作；

（2）由作图可知点A,2在以C为圆心，C。为半径的圆上，

：.ZOAP=ZOBP^90°,（直径所对的圆周角为直角）

C.PALOA,PBLOB.

,：OA,。8为。。的半径，

...直线B4,尸8是。。的切线.（经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线）

故答案为90,直径所对的圆周角为直角；经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切

线.

19.（7分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-3,2）,点8的坐标为（0,2）.

（1）画出将绕点。顺时针旋转90°后的图形，记为△A08；

（2）求在题（1）旋转过程中，点A所运动的路程（结果用含IT的式子表示）.

1802

（1）若只旋转其中一个转盘，则指针落在蓝色区域的概率尸=2；

-3-

（2）顾客旋转两个转盘，若两个转盘的指针都落在红色区域则获一等奖，请用树状图或

列表法求获一等奖的概率.

【分析】（1）由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有9个等可能的结果，两个转盘的指针都落在红色区域的结果有1个,

再由概率公式求解即可.

【解答】解：⑴360°-120°=240°,

若只旋转其中一个转盘，则指针落在蓝色区域的概率尸=%二=2,

3603

故答案为：2；

3

（2）由题意得：蓝色区域面积是红色区域面积的2倍，画树状图如图:

开始

红蓝蓝

Z\/T\/K

XA.rrr,XZXlrmrmXEQ.rm

共有9个等可能的结果，两个转盘的指针都落在红色区域的结果有1个，

两个转盘的指针都落在红色区域则获一等奖的概率为

9

21.（8分）如图，在平行四边行ABC。中，AB=5,BC=S,8C边上的高A”=3,点尸是

边BC上的动点，以CP为半径的OC与边AD交于点E,尸（点E在点尸的左侧）.

（1）当（DC经过点A时，求CP的长；

（2）连接AP,当A尸〃CE时，求OC的半径及弦EF的长.

【分析】（1）连接AC,由勾股定理求出①/=4,得出CH=4,由勾股定理求出CA,当

OC经过点A时，C'P=CA=5；

（2）先证明四边形APCE是平行四边形，得出CP=CE,证出四边形APCE是菱形，得

出E4=CP,设B4=CP=x,则PH=4-尤，由勾股定理得出方程，解方程求出半径；作

CA/_LEP于M,则CM=AH=3,由垂径定理得出由勾股定理求出ME,

2

即可得出EF的长.

【解答】解：（1）连接AC,如图1所示：

?.ZAHB=ZAHC=90°,

-'-BH=VAB2-AH2=V52-32=4,

:.CH=BC-BH=4,

,',CA=VAH24CH2=5,

当(DC经过点A时，CP=CA=5；

(2):四边形ABC。是平行四边形，

J.AD//BC,当AP〃CE时，四边形APCE是平行四边形,

,:CP=CE,

，四边形APCE是菱形,

：.PA^CP,

设B4=CP=x,贝iJPH=4-尤,

在RtAAPH中,

由勾股定理得：AH2+PH2=B42,

即32+（4-无）2=x2,

解得：x=空，

8

即OC的半径为生,

8

作CALLED于如图2所示：则CM=A8=3,ME=MF=LEF,

2

2-7

在RtaCEM中，由勾股定理得：ME=QCE2VM2r号版-3r

:.EF=2ME=2

图1

22.(10分)2019年，中央全面落实“稳房价”的长效管控机制，重庆房市较上一年大幅降

温.11月，LH地产共推出了大平层和小三居两种房型共80套，其中大平层每套面积

180M2,单价1.8万元加2,小三居每套面积120〃0,单价1.5万元/»?.

(1)L8地产11月的销售总额为18720万元，问11月要推出多少套大平层房型？

（2）2019年12月，中央经济会议上重申“房子是拿来住的，不是拿来炒的”后，重庆

房市成功稳定并略有回落，为年底清盘促销，地产调整了营销方案，12月推出两种

房型的总数量仍为80套,并将大平层的单价在原有基础上每平方米下调旦万元（机＞0）,

10

将小三居的单价在原有基础上每平方米下调上万元，这样大平层的销量较（1）中11月

20

的销量上涨了7根套，且推出的房屋全部售罄，结果12月的销售总额恰好与（1）中11

月的销售总额相等，求出机的值.

【分析】（1）设11月要推出x套大平层房型，则11月要推出（80-x）套小三居房型，

根据地产11月的销售总额为18720万元，即可得出关于尤的方程，解之即可得出结

论；

（2）根据12月的销售总额恰好与（1）中11月的销售总额相等，即可得出关于根的一

元二次方程，解一元二次方程即可得出结论.

【解答】解：（1）设11月要推出尤套大平层房型，则11月要推出（80-x）套小三居房

型，依题意得

1.8X180x+1.5X120（80-无）=18720,

解得x=30.

故11月要推出30套大平层房型；

（2）依题意得

180（1.8-旦）（30+7m）+120（1.5-旦）（80-30-7m）=18720,

1020

解得"21=0（舍去），MJ2=2.

故m的值是2.

23.（11分）如图，。是AABC外接圆上的点，且8,。位于AC的两侧，DE±AB,垂足为

E,OE的延长线交此圆于点F.BGLAD,垂足为G,BG交DE于点、H,DC,EB的延

长线交于点P,且尸C=PB.

（1）求证：/BAD=NPBC；

（2）求证：BG//CD-,

（3）设△ABC外接圆的圆心为O,若AC=2DH,ZCOD=23°,求/尸的度数.

D

【分析】(1)根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论；

(2)根据等边对等角得：NPCB=NPBC,由四点共圆的性质得：ZBAD+ZBCZ)=180°,

从而得：/BFD=NPCB=NPBC,根据平行线的判定得：BC//DF,根据圆周角定理得

到AC是。。的直径，根据同位角相等可得结论；

(3)根据平行四边形的性质得到5。=。“，解直角三角形得到NAC8=60°,连接

根据平角的定义和三角形的内角和即可得到结论.

【解答】(1)证明：如图1,

•・•四边形ABC。内接于圆，

AZBAD+ZBCD=180°,

VZBCZ)+ZPCB=180°,

:./BAD=/PCB：

(2)证明：・：PC=PB,

：.ZPCB=ZPBC,

由(1)得/BAD=/PCB,

■:/BAD=/BFD,

：.ZBFD=ZPCB=/PBC,

:・BC〃DF,

•：DELAB,

：.ZDEB=90°,

：.ZABC=90°,

・・・AC是。0的直径，

ZAZ)C=90°,

VBG±A£),

ZAGB=90°,

，ZADC=ZAGB,

：.BG//CD；

（3）解：由（1）得：BC//DF,BG//CD,

...四边形BCDH是平行四边形，

：.BC=DH,

'：AC^2DH,

：.AC=