2020-2021学年天津市和平区高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年天津市和平区高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共9小题，共36.0分)

5cos(27r+a)tan(7r+a)

1.化间一嬴殍荷一的结果为()

A.1B.—1C.tanaD.—tana

2.设集合/={%/—1<%<3},8={%/%2_3%+2<0},贝IJ/D(CRB)可表示为()

A.[-1,1]U(2,3)B.[-1,1]U[2,3)

C.(1,2)D.(-oo,+oo)

3.8.下列命题为真命题的是

A.已知日，贝U“|x|”是“r^i”的充分不必要条件

B.已知数列a为等比数列，则“।।”是“目”的既不充分也不必要条件

C.已知两个平面日，S,若两条异面直线目满足I―■且日//0,B〃日，则

回//0

D.IX|,使IXJ成立

4.已知函数/(%)=2V3sin(^-+2cos三,函数g(%)=/(%)-zn在区间［0,4兀］上恰有三个不同的

零点%i，&，％3，则/(%1+%2+%3)=()

A.-1B.-V3C.1D.2

5.已知函数/(%)满足：(1)对于任意的%1，X2ER,有/(%1+%2)=/(/)•/(%2)；(2)满足“对任

意修，XER,且小中尤2,都有“力―<0”,下列函数满足这些条件的函数是()

2如一％2

A./(%)=InxB./(x)=一

C./(x)=ax(0<a<1)D./(x)=ax(a>1)

6.实数Y满足log：1=3-sin仇贝心1-2：一江一冬的值为()

A.6B.一6c.0D.10

7.①若/(x)是定义在［一1,1］上的偶函数，且在［一1,0］上是增函数，9e(H，/(s讥8)>/(COS0).

②若锐角a、£满足cosa>sin/?,则a+/?<].

③函数/O）=2s出©-2X）+1的单调增区间为即一行水兀+净,kez

(4)cos(x+^)>—?的解集为{x|~+2/CTT<x<^-+2kn,k&Z}

其中真命题的个数有()

A.0B.1C.2D.3

8.已知q=，"=2；c=则。，b,c的大小关系为()

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

9.已知f(x—2)="久一”且fQo)=0，则久。所在的区间为()

A.(0,Z)B.(1,2)C.(2,3)D.(4,5)

二、单空题(本大题共6小题，共24.0分)

10.①y=2/+1的最小值为6；

②当a>。，b>。时,i+i+2V^>4；

@y=%(1-2%)2,(o<%<》最大值为/

④当且仅当a,b均为正数时，恒成立.

以上命题是真命题的是.

11.若a>0,b>0,且ln(a+b)=0,则：的最小值是

12.定义运算。bsin&,3sin6+2cos6

—ad一加,若=0,则-的--值-是--.---------

Cdcos633sin9—cos0

13.下列说法:

①“mxGR,使2%>3”的否定是"VxGR,使2》<3y”；

②若正数比，y满足x+3y=5xy,则3比+4y的最小值为三；

③命题“函数/（久）在久=久。处有极值，则「（久°）=0”的否命题是真命题；

④是（一8,0）U（0,+8）上的奇函数,X>0时的解析式是/（久）=2*,则x<0时的解析式为/（久）=

其中正确的说法是.

14.求值：仞2+22+。。如5+仞5=.

15.若函数/（久）=偿;[2：-2,久>0,则不等式〃/⑺）<押解集为

三、解答题(本大题共5小题，共40.0分)

16.已知函数/(%)=sinx-2cos2

(1)求/©)的值；

(2)当%G时，求函数/(%)的值域；

(3)若直线％=%。是函数y=/(4%)图象的对称轴，且%°E［0,,求久°的值.

—-J—z+B-Z—B———

17.已知」4E是△2BC的两个内角，a=J2cos-----i+sin--------j(其中i./•是互相垂直

22

的单位向量)，若旧=巫.

⑴试问是否为定值，若是定值，请求出，否则说明理由；

(2)求fanC的最大值，并判断此时三角形的形状•

18.求函数y=3sin(2久+》，久e［0,兀］的单调递减区间.

19.已知函数/(%)=,sin2久—,cos2x,x&R.

(1)若对于任意％e［一事自，都有/⑺2a成立，求a的取值范围；

(2)若先将y=/(x)的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移5个单位得

到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)-之在区间［一2兀,47rl内的所有零点之和.

20.已知数〃久)=sin(3%+卬)(3>0,\<p\<》的部分图象如图所示.

(1)求函数/(%)的解析式，并求/(%)出的单递增区间;

e,

(2)若f(&)=:%0[pf]求cos2出的值.

参考答案及解析

1.答案：A

,..cos（27r+a）tan（7T+a）_cosatana_sina_（

解析：角牛：，cos（生-a）—sina—sina一，

故选:A.

由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果.

本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题.

2.答案：B

解析：

本题考查集合的交集补集的混合运算，涉及一元二次不等式求解，属于基础题目.

解：B={x/1<x<2}>CRB={%/%<1或久>2},

则2nCRB={x/-l<x<1或2<x<3].

故选8.

3.答案：C

解析：

LHJ

故答案为C.

4.答案：A

解析：解：/(%)=2V3(sin^cos^-cos^sin^)+2cos^=V3sin^-cos^=2sin(^-^)f

ZDZDZZZZo

要使g(x)=/(x)-TH在区间［0,4兀］上恰有三个不同的零点，则需函数y=/(x)的图象与直线y=zn有

三个不同的交点，

作出函数/。)的大致图象如下图所示，

不妨设/＜尤2＜尤3，由图象可知，x1=0,%3=47r,2sin(^-5=-l,则£—£=

87T

•••%2=

„,87r,.207r

•••%1+%2+%3=0+—+471=—,

f(%i+x2+x3)=2s出(厚一2)=—1.

故选：A.

化简函数/(X),作出/(X)的大致图象，观察图象可求得比1，X2,冷的值，进而求得/'(*1+*2+%3)・

本题考查函数零点与方程根的关系，考查三角函数的图象及性质，考查数形结合思想及运算求解能

力，属于中档题.

5.答案：C

解析：解：对任意X】，xeR,且久1片冷，都有，3)-"犯)＜0，，,

2%］一%2

.•・函数f(x)在R上为减函数,故排除4B,D

X

・•,对于任意的Xl，X2eR,有/'(久1+%2)=f(l)"(%2)；

对于C,/(x)=ax,/'(%］+.2)=a(%+x2)=必1♦a〉=f(久力•/(%2),成立，

故选：C

由题意得到函数/(©在R上为减函数，故排除4B,D,再进一步验证c是否成立，利用指数累的性

质即可得到C满足条件.

本题考查了函数的单调性和指数函数的性质，属于基础题

6.答案：A

解析：本小题主要考查对数与指数的互化，正弦函数的值域，绝对值的意义和性质，不等式性质的

应用.求出X=3(3"讥。)e［9,81］是解题的关键.

解：由于-lwsinew1,

•••2<3—sin0<4.又log3*=3—sind,

.■-x=3©-si响G［9,81］.

所以|x-2|-|x-8|=x-2-%+8=6.

故选：A.

7.答案：B

解析：

本题考查命题真假的判断，三角函数的性质，属于中档题.

根据题意，依次分析所给的4个命题：对于①，结合函数的奇偶性与单调性的性质，分析可得f(x)在

区间［0,1］上为减函数，又由86弓()，有S讥8>cos。，则有/'(s讥。)<f(cos。)；对于②，利用诱

导公式分析可得sin0—a)>s讥/?,又由正弦函数的性质，则有a>0,即戊+0<奈对于③,

将"久)的解析式变形可得f(x)=-2s出(2“一$+1,令2"+当2%-仁2卜兀+等k&Z,解可

得/(©的递增区间，可得③错误；对于④，结合余弦函数的性质分析可得④错误；综合可得答案.

解：根据题意，依次分析所给的4个命题：

对于①，是定义在［—1,1］上的偶函数，且在［-1,0］上是增函数，则/。)在区间［0,1］上为减函数,

又由86(5］),有s讥。>cos8〉0,则有/(sin®)</(cos。)；故①错误；

对于②，若锐角a、£满足cosa〉sin0,BPsin(j-a)>sin(i,又由0<］-a<］0</?<p

则有T-a>S，即a+S<》故②正确；

对于③，f。)=2sin(^-2x)+1=-2sin(2x-1)+1,令2/OT+^<2x-^<2/OT+y,kEZ,

解可得k兀+居WxWIcrt+keZ,

其单调递增区间为他兀+工,/OT+詈］,kez,故③错误；

对于④)，若cos(%+^)>—/，则有2Mr—誉<%+々<2/C7T+T，kEZ,解可得2/CTT—TT<%<2/CTT+

2冗j_„

—,keZ,

3

即cos(%+-)>—组的解集为｛久|2/CTT—n<x<2/CTT+kEZ｝；故④错误；

623

四个命题中，只有②是正确的；

故选：B.

8.答案：C

3

解析：M：va=42>4=64^b=2昊(1,2)，c=5：>5：>2，

又c<5,

故a>c>b.

故选：C.

结合指数函数的单调性及特殊点的函数值分别确定a,b,c的范围，即可比较大小

本题主要考查了利用指数函数的单调性比较大小，属于基础试题.

9答案:A

解析：解：已知/(%-2)=Inx-1,

可得/(%)=ln(%+2)-%£(-2,+8)上，函数是连续增函数，

/(0)=Zn2-1<0,

/(I)=伉3-；2>0,

由函数的零点判定定理可知/Go)=。，则%。所在的区间为(0,1).

故选：A.

求出函数的解析式，利用零点判定定理判断求解即可.

本题考查函数的零点判定定理的应用，是基本知识的考查，基础题.

10.答案：②③

解析：解：①取％=-1时，y=2x2+^=-2<6,因此是假命题；

②当a>0,6>0时，-+-+2>Jab22R+2y/ab>4,当且仅当a=b>0时取等号，是真命题；

abA/ab

③y=x(l-2x)2,(o<x<1),y=ix4久(1-2x)(1-2x)<1(-4x+1-2^+1-2^3=A,当且仅当

%=%寸取等号.因此其最大值为白，是真命题；

④当且仅当£>0时，恒成立，因此是假命题.

以上命题是真命题的是②③.

故答案为：②③.

①取x=—1时，y=2/+：=—2<6,即可判断出真假；

②当a>0,b>0时，两次利用基本不等式的性质即可判断出真假；

③y=%(1-2%)2,(0<%<|),可得y=|X4x(1-2x)(1-2%)<(把三上上当3=、即可判

断出真假；

④当且仅当£>0时，恒成立，即可判断出真假.

本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

11.答案：5+2V6

解析：

本题考查基本不等式求最值，涉及对数的运算性质，属基础题.

由题意可得a+b=l,整体代入可得2+[=(2+J)(a+b)=5+生+(，由基本不等式可得.

abvav'ab

解：va>0,b>0,且ln(a+b)=0,a+Z?=1,

23232b3a2b3a厂

+7)(CL+b)=5H----1——Z5+2-------5+2V6

丁丁bab、ab

当且仅噌=却寸取等号，结合a+"1可解得"巡-2且b=3-传

故答案为：5+2V6.

12.答案：4

解析：本题考查新定义及同角三角函数之间的关系，考查了学生的计算能力.

sin&2

解：；=0,

cos63

.•.3sin6-2cos6=0,

即tan9=-,

2

3x-+2

3tan6+2

3=4

',原式=3tang_]3x|.l

故填4.

13.答案：①④

解析：解：①使2*>3工”的否定是“VxeR,使2833工”，故①正确；

12

②若正数%,y满足X+3y=5%y,则可+昴=1,

.••3%+4丫=3+4吠嗫+勺=那+安等守2再忘若+舁5,

当且仅当x=i,y=|时，取最小值5,故②错；

③命题“若函数/(X)在x=比处有极值，则(。0)=0”的逆命题是“若尸。0)=。，则函数/(乃在

%=而处有极值"，这是假命题，例如=X3,1(无)=3/,有，(0)=0,但工=0不为极值点，

又否命题与逆命题等价，故否命题也是假命题，故③错；

④/(%)是(一8,0)U(0,+8)上的奇函数,％>0时的解析式是/(%)=2%,令％<0,则一%>0,/(-x)=

2-%,又/(一%)=—/(%)，则当％<0时，/(%)=-2-%,故④正确.

故答案为：①④.

①由含有一个量词的命题的否定形式，即可判断；

②运用基本不等式求最值.将x+3y=5盯变形为点+2=1,贝反+4y=(3x+4y)x七+劫等

其展开，再运用基本不等式，即可求出最小值；

③先写出逆命题，再举反例判断真假，再根据否命题与逆命题互为等价命题，即可判断；

④运用奇函数的定义，设％<0,则-x>0,运用大于0的解析式，再由/(-%)=-/(%),即可得到

小于0的解析式，从而判断④.

本题以命题的真假判断为载体，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，考查函数的导数为0

是函数具有极值的必要条件，同时考查函数的奇偶性及应用，求函数解析式，是一道基础题.

14.答案:21

解析:解:lg2+22+lo^s+lg5

=lg2+IgS+22+/比5

=1+22-2sgz5

=1+4x5=21.

故答案为：21.

直接利用对数的运算法则化简求解即可.

本题考查对数的大苏打运算法则的应用，考查计算能力.

15.答案：[x\x>0或x<0}

解析：解：令即有/⑷<三

4

t<0时，2f<1<-,可得t<0成立；

4

t>0时，―/+2t—2<解得t>0成立；

4

由/(%)<0可得一%2+2%-2<0,且％>0,解得％>0；

由/(%)>0可得2%>0且久<0,即有％<0；

又一一+2%—2>0,且黑>0,解得％G0,

综上可得所求解集为{%[%>0或％<0].

故答案为：{%|%>0或X<0}.

令t=f(x),即有讨论t<0,t>0,结合指数函数和二次函数的单调性，解不等式即可

得到所求解集.

本题考查分段函数的解析式的运用，换元法和不等式的解法，考查运算能力，属于中档题.

16.答案：解：⑴由题意得，/(%)=sinx-cosx-1=V2sin(x--1,

所以fG)=&sinC*)-l=-l；

(2)由(1)得，/(x)=V2sin(x--1

由X6[0,兀]得％_Ee[―：,等]，则V^sin(%_?)e[-y,1]

则&sin(x--1£[-2,V2-1]

4

所以值域为[—2,或—1]

(3)由(1)得，y=/(4x)=V2sin(4x--1,

令sin(4x—3)=±1,得：4x—3=/ot+/(keZ)

解得％=^+*kez),

由ow处+更wN(keZ)得k=0

4164

因此*0=普

lo

解析：(1)用二倍角的余弦公式变形、两角和的正弦公式化简解析式，求出的值；

(2)由％的范围和正弦函数的图象与性质求出f(x)的值域；

(3)由(1)求出f(4x)的解析式，由正弦函数的对称轴方程列出方程化简，由％。G[05]求出久。的值.

本题考查正弦函数的图象与性质，二倍角的余弦公式变形、两角和的正弦公式，考查整体思想，化

简、变形能力.

17.答案：(l)tcm4•tcmB为定值:，证明如下：

由I方『=|,得2cos2等+sin2•|,•­•1+cos(X+B)+-；(/)=|,

即2cos(A+B)=cos(i4—B),即cosAcosB=3sinAsinB,・•・tanAtanB=|；

(2)tcmC的最大值为-W，此时△ABC为等腰三角形.

-1

解析：解：(l)tcmA•tcmB为定值才证明如下：

由|方『=|,得2cos2+sin2=|,1+cos(i4+B)+"。丁-')=|,

即2cos(Z+B)=COS(T4—B),WflcosAcosB=3sinAsinB,・••tanAtanB=-；

i

(2)vtanAtanB=->0,・•.tanA>0,tanB>0,

tan(Z+8)=:::片=|(tanA+tanB)>|x2y/tanA-tanB=遮，••・tan(X+B)之遮，即

-tCLTlC之-\/3»

2^2

tanA+tanB=——百

i3,即tcmA=tanB=一,

(tanA-tanB--3

.♦.Z=8=30。，tcmC的最大值为一百，此时△ZBC为等腰三角形.

18.答案：解：由2/CTT+/<2x+：<2/CTT+当，k£Z,

解得左兀+-<X<fc7T+—,

88

当k=0时，%

88

故此时函数的单调递减为《，中

解析：根据三角函数的单调性即可得到结论.

本题主要考查三角函数单调性和单调区间的求解，根据正弦函数的单调性是解决本题的关键.

19.答案：解：(1)f(x~)=—sin2x--cos2x=sin(2x--),

226

•••%€［—/丁可得:［冶，争,

•••f(x)=Sin(2x-^)e

・•・若对任意久eg,J都有/(x)>a成立，则只需狐》(X)>a即可.

.,.可得：a£(—oo,--y］-

(2)若先将y=f(x)的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原

来的2倍，可得函数解析式为y=sin(x-)-2公田

再向左平移弓个单位得到函数y=g(x)=sinx,

由g(%)=。得sinx=I，

］，，，・

由图可知sin%=在［-2%4兀］上有6个零点：xr,x2»%3%4%5%6

根据对称性有号=-4，弩=,