湖北省武汉市武昌区拼搏联盟2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

2023-2024学年湖北省武汉市武昌区拼搏联盟八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a≥2 B．a＜2 C．a＞﹣2 D．a≥﹣22．（3分）下列各式计算正确的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．4．（3分）以下由线段a、b、c组成的三角形中，不是直角三角形的是（）A．a＝1，b＝2， B．a＝5，b＝12，c＝13 C．，b＝1， D．a＝3，，5．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD6．（3分）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（）A．x2+102＝（x+1）2 B．（x﹣1）2+52＝x2 C．x2+52＝（x+1）2 D．（x﹣1）2+102＝x27．（3分）数学课上，大家一起探究三角形中位线定理的证明方法．已知：D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且．嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（）嘉嘉的辅助线作法：延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC．淇淇的辅助线作法：过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F．A．嘉嘉的辅助线作法不可以，淇淇的可以 B．嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以 C．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以 D．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以8．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）A． B．1 C． D．9．（3分）如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为（）A．31 B．51 C．53 D．6310．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的最小值为（）A．3 B．2 C． D．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算：＝．12．（3分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AB＝6，则CD的长度是．13．（3分）请写出一个正整数m的值使得是整数，则m＝．14．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是线段AO、BO的中点，若AC+BD＝24cm，△OAB的周长是18cm，则EF＝cm．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，点Q是坐标平面内的任意一点．若以O，D，P，Q为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q的坐标为．16．（3分）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝AB；②S四边形ODGF＞S△ABF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S△ACD＝4S△BOG；其中正确的结论是．（请填写正确的序号）三、解答题（共8个小题，共72分）17．（8分）计算：（1）；（2）．18．（8分）已知a＝3+2，b＝3﹣2，分别求下列代数式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣3ab+b2．19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F在BD上，AE∥CF，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．20．（8分）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C，D都是格点，E是AB上一点，M是AB与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线，结果用实线表示．（1）直接写出正方形的边长＝；（2）在图1中，在线段CD上找点F使得CF＝AE；（3）在图1中，在线段AD上找点Q使得AQ＝AE；（4）在图2中，在BC边上画点H，连接DH，MH，使得∠ADH＝∠DHM．21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，过点A作AE∥BC，且AE＝BD，连接BE，交AD于点F，连接CE．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）若CE＝6，求AF的长．22．（10分）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km．（1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由；（2）若台风中心的移动速度为20km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？23．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，连接CE．（1）如图1，当点E在边AD上时，填空：①BP与CE的数量关系是，②CE与AD的位置关系是；（2）如图2，当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，在点P的移动过程中，连接AC，DE，若，PD＝1，请直接写出四边形ACDE的面积．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形AOCD的顶点A（0，2），C（2，0）．（1）求点D到直线AC的距离；（2）如图2，∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，F为BE的中点，连接CF，求∠ACF的大小；（3）如图3，M，N分别是边CD和对角线AC上的动点，且AN＝CM，则OM+ON的最小值＝．（直接写出结果）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a≥2 B．a＜2 C．a＞﹣2 D．a≥﹣2【解答】解：由题意可知：a+2≥0，∴a≥﹣2，故选：D．2．（3分）下列各式计算正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．与不能合并，所以A选项不符合题意；B．5﹣2＝3，所以B选项符合题意；C．×＝＝2，所以C选项不符合题意；D．÷＝＝，所以D选项不符合题意．故选：B．3．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是最简二次根式，故符合题意；B、，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．4．（3分）以下由线段a、b、c组成的三角形中，不是直角三角形的是（）A．a＝1，b＝2， B．a＝5，b＝12，c＝13 C．，b＝1， D．a＝3，，【解答】解：A、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意；B、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意；C、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意；D、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，此选项符合题意；故选：D．5．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【解答】解：A、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；B、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；C、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；故选：A．6．（3分）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（）A．x2+102＝（x+1）2 B．（x﹣1）2+52＝x2 C．x2+52＝（x+1）2 D．（x﹣1）2+102＝x2【解答】解：设芦苇长x尺，由题意得：（x﹣1）2+52＝x2，故选：B．7．（3分）数学课上，大家一起探究三角形中位线定理的证明方法．已知：D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且．嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（）嘉嘉的辅助线作法：延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC．淇淇的辅助线作法：过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F．A．嘉嘉的辅助线作法不可以，淇淇的可以 B．嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以 C．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以 D．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以【解答】解：嘉嘉的作法：∵AE＝EC，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AD＝CF，AD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF，BD∥CF，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝DF＝BC；淇淇的作法：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠C，∠F＝∠CGF，在△AEF和△CEG中，，∴△AEF≌△CEG（AAS），∴AF＝CG，EF＝EG，∵AF∥BG，AB∥FG，∴四边形ABGF是平行四边形，∴AB＝FG，∵BD＝AB，GE＝FG，∴BD＝EG，AF＝BG，∵BD∥EG，∴四边形DBGE是平行四边形，∴DE∥BG，DE＝BG＝AF＝CG，∴DE∥BC，DE＝BC，∴嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以，故选：D．8．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）A． B．1 C． D．【解答】解：∵由题意可知CE是∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠DCE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DCE＝∠E，∴∠BCE＝∠AEC，∴BE＝BC＝3，∵AB＝2，∴AE＝BE﹣AB＝1，故选：B．9．（3分）如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为（）A．31 B．51 C．53 D．63【解答】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个），∴第四代勾股树图形中正方形的个数有1+2+22+23+24＝31（个）；∴第五代勾股树图形中正方形的个数有1+2+22+23+24+25＝63（个）；故选：D．10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的最小值为（）A．3 B．2 C． D．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×8＝4，OB＝OD＝BD＝×6＝3，在Rt△AOB中，AB＝＝＝5，如图所示，连接OP，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小，∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OP，∴OP＝＝＝，∴EF的最小值为，故选：C．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算：＝8．【解答】解：原式＝|﹣8|＝8．故答案为：8．12．（3分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AB＝6，则CD的长度是3．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，∴CD＝AB＝3，故答案为：3．13．（3分）请写出一个正整数m的值使得是整数，则m＝6（答案不唯一）．【解答】解：∵，∴当m＝6时，，符合题意，故答案为：6（答案不唯一）．14．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是线段AO、BO的中点，若AC+BD＝24cm，△OAB的周长是18cm，则EF＝3cm．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，又∵AC+BD＝24cm，∴OA+OB＝12cm，∵△OAB的周长＝OA+OB+AB＝18cm，∴AB＝18﹣12＝6（cm），∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF＝AB＝3cm．故答案为：3．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，点Q是坐标平面内的任意一点．若以O，D，P，Q为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q的坐标为（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．【解答】解：∵A（10，0），C（0，4），∴OC＝AB＝4，BC＝OA＝10，∵点D是OA的中点，∴OD＝5，①如图1所示，以OP为对角线，点P在点D的左侧时，PD＝OD＝5，过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝OC＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：，∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2，∴点P的坐标为（2，4），此时，点Q的坐标为（﹣3，4）；②如图2所示，以OQ为对角线，点P在点D的左侧时，OP＝OD＝5．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：，∴点P的坐标为（3，4），此时，点Q的坐标为（8，4）；③如图3所示，以OP为对角线，点P在点D的右侧时，PD＝OD＝5，过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：，∴OE＝OD+DE＝5+3＝8，∴点P的坐标为（8，4），此时，点Q的坐标为（3，4）；综上所述，点Q的坐标为（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）；故答案为：（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．16．（3分）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝AB；②S四边形ODGF＞S△ABF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S△ACD＝4S△BOG；其中正确的结论是①③④．（请填写正确的序号）【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG＝AB，故①正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确；∵OA＝OC，AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG∥CD∥AB，OG＝CD，∴S△ACD＝4S△AOG，∵S△AOG＝S△BOG，∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确；连接FD，如图：∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，∴F到△ABD三边的距离相等，∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，∴S四边形ODGF＝S△ABF，故②错误；正确的是①③④，故答案为：①③④．三、解答题（共8个小题，共72分）17．（8分）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）＝9﹣3﹣2＝4．（2）＝2×＝2×＝8．18．（8分）已知a＝3+2，b＝3﹣2，分别求下列代数式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣3ab+b2．【解答】解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2，∴a+b＝（3+2）+（3﹣2）＝6，a﹣b＝（3+2）﹣（3﹣2）＝4，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×4＝24；（2）a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab＝﹣）（3+2）（3﹣2）﹣＝32﹣1＝31．19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F在BD上，AE∥CF，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】证明：∵AE∥CF，∴∠AED＝∠CFB，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，∴，∴△AED≌△CFB（AAS），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．20．（8分）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C，D都是格点，E是AB上一点，M是AB与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线，结果用实线表示．（1）直接写出正方形的边长＝；（2）在图1中，在线段CD上找点F使得CF＝AE；（3）在图1中，在线段AD上找点Q使得AQ＝AE；（4）在图2中，在BC边上画点H，连接DH，MH，使得∠ADH＝∠DHM．【解答】（1）解：由网格可得：．故答案为：；（2）解：连接AC，BD交于点O，连接EO并延长交CD于点F，如图，∵ABCD是正方形，∴点O是正方形的中心，∴OA＝OC，OE＝OF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（SAS），∵AE＝CF，∴点F即为所求的点；（3）解：连接ED交AC于点T，连接BT并延长交AD于点Q，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，AB＝AD，∴BT＝DT，∠ABD＝∠ADB，∴∠TBD＝∠TDB，∴∠EBT＝∠QDT，在△ETB和△QTD中，，∴△ETB≌△QTD（ASA），∴EB＝QD，∴AQ＝AE，∴点Q即为所求；（4）解：将△ADM逆时针旋转90°，得到△CDN，取格点G，连接DG并延长交BC于H，连接HM，如图，由旋转性质可知：DN＝DM，由网格可知，DH平分∠MDN，∴∠MDH＝∠NDH＝45°，在△MDH和△NDH中，，∴△MDH≌△NDH（SAS），∴∠MHD＝∠NHD，∵ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠ADH＝∠NHD，∴∠ADH＝∠DHM，∴点H即为所求．21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，过点A作AE∥BC，且AE＝BD，连接BE，交AD于点F，连接CE．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）若CE＝6，求AF的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ADC＝90°，∵AE＝BD，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCE为矩形；（2）解：由（1）得：四边形ADCE为矩形，∴AD＝CE＝6，∵AE∥BC，∴∠AEF＝∠DBF，在△AEF和△DBF中，，∴△AEF≌△DBF（AAS），∴AF＝DF＝AD＝3．22．（10分）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km．（1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由；（2）若台风中心的移动速度为20km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？【解答】解：（1）农场A会受到台风的影响，理由如下：过A作AH⊥BC于H，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝500（km），∵△ABC的面积＝BC•AH＝AB•AC，∴500AH＝300×400，∴AH＝240（km），∵AH＜250km，∴农场A会受到台风的影响；（2）如图，台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接AN，AM，∴AM＝AN＝250km，∵AM＝AN，AH⊥BC，∴MH＝NH，由勾股定理得：MH＝NH＝＝70（km），∴MN＝2×70＝140（km），∵台风中心的移动速度为20km/h，∴台风影响该农场持续时间是140÷20＝7（小时）．23．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，连接CE．（1）如图1，当点E在边AD上时，填空：①BP与CE的数量关系是BP＝CE，②CE与AD的位置关系是CE⊥AD；（2）如图2，当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，在点P的移动过程中，连接AC，DE，若，PD＝1，请直接写出四边形ACDE的面积．【解答】解：（1）①如图1，连接AC，在菱形ABCD中，AB＝CB，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，∵△PAE是等边三角形，且点E在边AD上，∴AP＝AE，∠DAP＝60°，∴∠BAP＝∠BAD﹣∠DAP＝60°＝∠BAC，∴点P在AC上，在△ABP和△ACE中，，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，故答案为：BP＝CE；②由①知，点P在AC上，∵BD，AC是菱形ABCD的对角线，∴AC⊥BD，∴∠APB＝90°，由①知，△ABP≌△ACE，∴∠AEC＝∠APB＝90°，∴CE⊥AD，故答案为：CE⊥AD；（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论仍成立，理由如下：①当点P在线段BD上时，如图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE，在△BAP和△CAE中，，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE，∠PBA＝∠ACE＝30°，∵∠CAH＝60°，∴∠CAH+∠ACH＝90°，∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．②当点P在BD的延长线上时，如图3，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE．在△BAP和△CAE中，，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，∵∠CAH＝60°，∴∠CAH+∠ACH＝90°，∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．（3）由（2）知，BD⊥AC，∴∠AOB＝90°，∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD＝2OB，，在Rt△AOB中，，∴OA＝AB＝×2＝，OB＝＝＝3，∴BD＝