2023-2024学年上海市高三（上）月考数学试卷（9月份）

2023-2024学年上海市高三（上）月考数学试卷（9月份）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．（4分）函数的定义域为．2．（4分）函数y＝x2﹣1的零点是．3．（4分）若幂函数f（x）＝xk的图像过点，则f（9）＝．4．（4分）如果，α为第三象限角，则＝．5．（4分）已知函数f（x）＝ex，则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．6．（4分）函数y＝2x+2x﹣1，x∈[2，+∞）的值域为．7．（5分）若，则cos2α＝．8．（5分）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x）＝f（x+4），当x∈[0，2）时，f（x）＝ln（x+1），则f（2023）＝．9．（5分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinB•sinC，则A的取值范围是．10．（5分）已知y＝f（x+1）是定义在R上的偶函数，当x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2时，总有＜0，则不等式f（﹣3x+1+1）＜f（4）的解集为．11．（5分）已知函数f（x）＝x4+2alog2（|x|+2）﹣a﹣1的零点有且只有一个，则实数a的取值集合为．12．（5分）已知函数f（x）＝cosx，若对任意实数x1，x2，方程|f（x）﹣f（x1）|+|f（x）﹣f（x2）|＝m（m∈R）有解，方程|f（x）﹣f（x1）|﹣|f（x）﹣f（x2）|＝n（n∈R）也有解，则m+n的值的集合为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题只有一个正确答案，选对得5分）13．（5分）“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要14．（5分）下列函数中，既是（0，+∞）上的增函数，又是偶函数的是（）A．y＝ B．y＝2x C．y＝1﹣|x| D．y＝lg|x|15．（5分）已知△ABC的三边分别为，，且a2+b2＝c2，则△ABC是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定16．（5分）对于函数y＝f（x），若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A，则称函数y＝f（x）为“可等域函数”，区间A为函数y＝f（x）的一个“可等域区间”．给出下列3个函数，则存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”个数为（）①f（x）＝2x2﹣1；②f（x）＝|1﹣2x|；③f（x）＝log2（2x﹣2）．A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤．17．（14分）已知点（﹣2，1）是角α终边上一点．（1）求的值；（2）若将角α终边绕着坐标原点逆时针旋转得到角β的终边，求cosβ的值．18．（14分）已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a＝2，b＝3c．（1）若，求△ABC的面积；（2）在（1）条件下，若sinB+sinC＝1，求△ABC的周长．19．（14分）已知某电子公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元，设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R（x）万美元，且R（x）＝．（1）写出年利润W（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式（利润＝销售收入﹣成本）；（2）当年产量为多少万部时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20．（16分）函数．（1）若a＝0，是否存在实数c，使得y＝f（x）是奇函数；（2）若c＝2，且y＝f（x）的图像与x轴的正半轴有两个交点，求实数a的取值范围；（3）若a＝0，c＞0，，已知对任意的x1∈（0，+∞），都存在使得不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数c的取值范围．21．（18分）记y＝f'（x），y＝g'（x）分别为函数y＝f（x），y＝g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）＝g（x0）且f'（x0）＝g'（x0），则称x0为函数y＝f（x）与y＝g（x）的一个“好点”．（1）判断函数f（x）＝x与g（x）＝x2﹣x+1是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵由：（2）若函数f（x）＝ax3﹣1与g（x）＝lnx存在“好点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）＝﹣x2+a，，若存在实数a＞0，使函数y＝f（x）与y＝g（x）在区间（2，+∞）内存在“好点”，求实数b的取值范围．

参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：1+＞0，解得：x＞0或x＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）⋃（0，+∞）．【点评】本题考查了求对数函数的定义域问题，是基础题．2．【分析】解方程，求出函数的零点即可．【解答】解：令y＝x2﹣1＝0，解得：x＝±1，故函数的零点是1，﹣1，故答案为：1，﹣1．【点评】本题考查了函数的零点的定义，求函数的零点问题，是基础题．3．【分析】代入点的坐标，求出f（x）的解析式，求出f（9）的值即可．【解答】解：若幂函数f（x）＝xk的图像过点，则＝8，解得：k＝﹣，故f（x）＝，f（9）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了幂函数的性质，考查函数求值问题，是基础题．4．【分析】由三角函数的诱导公式求解即可．【解答】解：已知，α为第三象限角，则＝，则＝﹣cosα＝．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的诱导公式，属基础题．5．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数值，再求出f（1），利用直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）＝ex，得f′（x）＝ex，∴f′（1）＝e，又f（1）＝e，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e＝e（x﹣1），即y＝ex．故答案为：y＝ex．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．6．【分析】根据指数函数和一次函数的单调性得出原函数在[2，+∞）上是增函数，然后即可得出原函数的值域．【解答】解：y＝2x和y＝2x﹣1在[2，+∞）上都是增函数，∴原函数在[2，+∞）上是增函数，且x＝2时，y＝7，∴原函数的值域为[7，+∞）．故答案为：[7，+∞）．【点评】本题考查了指数函数和一次函数的单调性，增函数值域的求法，是基础题．7．【分析】由诱导公式，结合二倍角公式求解．【解答】解：已知，则，则cos2α＝．故答案为：．【点评】本题考查了诱导公式，重点考查了二倍角公式，属基础题．8．【分析】先根据周期性，转化为计算f（﹣1），再根据奇偶性求值即可．【解答】解：f（x）＝f（x+4），则T＝4，则f（2023）＝f（506×4﹣1）＝f（﹣1），由于y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，2）时，f（x）＝ln（x+1），则f（2023）＝﹣f（1）＝﹣ln2．故答案为：﹣ln2．【点评】本题考查函数的周期性，奇偶性，属于基础题．9．【分析】利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出cosA，将得出的不等式变形后代入表示出的cosA中，得出cosA的范围，由A为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出A的取值范围．【解答】解：利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC得：a2≤b2+c2﹣bc，变形得：b2+c2﹣a2≥bc，∴cosA＝≥＝，又A为三角形的内角，则A的取值范围是（0，]．故答案为：（0，]．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．10．【分析】根据题意即可得出f（x）的图象关于x＝1对称，并得出f（x）在（﹣∞，1）上单调递曾，并且得出f（﹣2）＝f（4），从而根据原不等式得出﹣3x+1+1＜﹣2或﹣3x+1+1＞4，解出x的范围即可．【解答】解：因为当x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2时，总有＜0，所以f（x）在[1，+∞）上单调递减，因为y＝f（x+1）是定义在R上的偶函数，所以f（x）关于x＝1对称，所以f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，因为f（﹣3x+1+1）＜f（4），且f（﹣2）＝f（4）所以﹣3x+1+1＜﹣2或﹣3x+1+1＞4，解得x＞0，即不等式的解集为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．【点评】本题考查了偶函数的定义，偶函数的图象对称性，图象的平移变换，函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．11．【分析】根据解析式先得函数f（x）为偶函数，则只能是f（0）＝0，代入求解即可．【解答】解：由题可得，函数f（x）为偶函数，又因为函数零点有且只有一个，故函数零点只能为x＝0，即f（0）＝2alog22﹣a﹣1＝0，解得a＝1．故答案为：{1}．【点评】本题考查函数零点的条件，考查函数奇偶性的应用，是基础题．12．【分析】根据题意，不妨设cosx1≤cosx2，分类讨论当cosx≥cosx2，cosx≤cosx1，cosx1＜cosx＜cosx2三种情况下，结合方程有解以及余弦函数的图象和性质，从而求出m和n的值，即可得出m+n的值的集合．【解答】解：由题可知f（x）＝cosx，不妨设cosx1≤cosx2，对于m，对任意实数x1，x2，方程|f（x）﹣f（x1）|+|f（x）﹣f（x2）|＝m（m∈R）有解，当cosx≥cosx2时，方程可化为m＝2cosx﹣（cosx1+cosx2）有解，所以m≥cosx2﹣cosx1恒成立，所以m≥2；当cosx≤cosx1时，同上；当cosx1＜cosx＜cosx2时，方程可化为m＝cosx2﹣cosx1有解，所以m∈[0，2]，综上得：m＝2；对于n，对任意实数x1，x2，方程|f（x）﹣f（x1）|﹣|f（x）﹣f（x2）|＝n（n∈R）也有解，当cosx≥cosx2时，方程可化为n＝cosx2﹣cosx1有解，所以n∈[0，2]；当cosx≤cosx1时，同上；当cosx1＜cosx＜cosx2时，方程可化为n＝2cosx﹣（cosx1+cosx2）有解，所以cosx1﹣cosx2＜n＜cosx2﹣cosx1恒成立，所以n＝0，所以m+n的值的集合为{2}．故答案为：{2}．【点评】本题考查函数与方程的综合问题，考查余弦函数的图象和性质，通过设cosx1≤cosx2，以及分类讨论cosx与cosx1，cosx2的大小情况，并将方程有解转化为恒成立问题是解题的关键，考查学生的分类讨论思想和逻辑分析能力．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题只有一个正确答案，选对得5分）13．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“2a＞2b”得a＞b，由“log2a＞log2b”得a＞b＞0，则“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据指数不等式和对数不等式的性质是解决本题的关键．14．【分析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性，以及函数图象的翻折变换法则逐一判断每个选项即可．【解答】解：函数在（0，+∞）上是减函数，且是奇函数，即A不符合题意；函数y＝2x是非奇非偶函数，即B不符合题意；函数y＝1﹣|x|在（0，+∞）上是减函数，即C不符合题意；对于函数y＝lg|x|，当x＞0时，有y＝lgx，单调递增；而f（﹣x）＝lg|﹣x|＝lg|x|＝f（x），所以f（x）是偶函数，即D正确．故选：D．【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性和函数图象的变换法则，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．15．【分析】先得到a+b＞c，且c为最大边，再利用余弦定理求解即可．【解答】解：∵a2+b2＝c2，∴（a+b）2﹣c2＝a2+b2+2ab﹣c2＝2ab＞0，∴a+b＞c，且c为最大边，则cosC＝＞0，∴C为锐角，则△ABC是锐角三角形．故选：B．【点评】本题考查三角形形状的判断，考查余弦定理的运用，属于基础题．16．【分析】根据存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A，，则称函数y＝f（x）为“可等域函数”，区间A为函数的一个“可等域区间”，对三个函数逐一判断，即可得到答案．【解答】解：在①中，y＝2x2﹣1≥﹣1，且f（x）在x≤0时单调递减，在x≥0时单调递增，若0∈[m，n]，则﹣1∈[m，n]，于是m＝﹣1，又f（﹣1）＝1，f（0）＝﹣1，而f（1）＝1，故n＝1，[﹣1，1]是一个可等域区间；若n≤0，则，解得m＝﹣，n＝＞0，不合题意；若m≥0，则2x2﹣1＝x有两个非负解，但此方程的两解为1和﹣，也不合题意；故函数f（x）＝2x2﹣1只有一个等可域区间[﹣1，1]，故①成立；在②中，函数f（x）＝|1﹣2x|的值域是[0，+∞），所以m≥0，函数f（x）＝|1﹣2x|在[0，+∞）上是单调递增函数，考察方程2x﹣1＝x，由于函数y＝2x与y＝x+1只有两个交点（0，1），（1，2），即方程2x﹣1＝x只有两个解0和1，因此此函数只有一个等可域区间[0，1]，故②成立；在③中，函数f（x）＝log2（2x﹣2）在定义域（1，+∞）上是单调递增函数，若函数有f（x）＝log2（2x﹣2）等可域区间[m，n]，则f（m）＝m，f（n）＝n，但方程log2（2x﹣2）＝x无解（方程x＝log2x无解），故此函数无可等域区间，故③不成立．综上只有①②正确．故选：C．【点评】本题考查了函数的新定义，解题关键是理解所给的函数新定义：“可等域区间”的“可等域函数”，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤．17．【分析】（1）利用任意角三角函数、诱导公式求解；（2）利用余弦函数加法公式求解．【解答】解：（1）点（﹣2，1）是角α终边上一点，∴x＝﹣2，y＝1，r＝，∴sinα＝＝＝，cosα＝＝﹣，∴＝＝＝﹣3；（2）将角α终边绕着坐标原点逆时针旋转得到角β的终边，∴cosβ＝cos（）＝cos﹣sin＝﹣﹣＝．【点评】本题考查任意角三角函数、诱导公式、余弦函数加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．【分析】（1）直接利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果；（2）利用（1）的结论，根据正弦定理求出三角形的周长．【解答】解：（1）在△ABC中，满足a＝2，b＝3c，利用余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccosA，故，解得，所以．（2）由（1）得：由于b＝3c，所以sinB＝3sinC，故sinB+sinC＝4sinC＝1，解得sinC＝，利用正弦定理：，解得，故b＝3c＝4，所以三角形的周长为a+b+c＝2+4+＝．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和三角形的面积公式，正弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．19．【分析】（1）分段分别求出利润W（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式，再写为分段函数的形式即可．（2）当0＜x≤40时，W＝﹣6x2+384x﹣40，利用二次函数的性质求出W的最大值，当x＞40时，W＝﹣，利用基本不等式求出W的最大值，再比较两者的大小，取较大者即为W的最大值．【解答】解：（1）当0＜x≤40时，W＝xR（x）﹣（16x+40）＝﹣6x2+384x﹣40，当x＞40时，W＝xR（x）﹣（16x+40）＝﹣，∴W＝﹣．（2）①当0＜x≤40时W＝﹣6x2+384x﹣40，∴当x＝32时，Wmax＝W（32）＝6104，②当x＞40时，W＝﹣，当且仅当，即x＝50时，等号成立，即当x＝50时，Wmax＝5760，综上所述，当x＝32时，W取得最大值为6104万美元，即当年产量为32万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万美元．【点评】本题主要考查根据实际应用选择合适的函数模型，属于中档题．20．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可判断；（2）依题意可得函数y＝f（x）有2个正的零点，即方程有2个不等正根，可