2023-2024学年甘肃省兰州市教育局第四片区联考高二（上）期中数学试卷

2023-2024学年甘肃省兰州市教育局第四片区联考高二（上）期中数学试卷一、单选题。本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）在数列，，，，…，，…中，是它的（）A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项2．（5分）数列，，，，，……的一个通项公式为（）A． B． C． D．3．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A为掷出向上为小于5的偶数点，事件B为掷出向上为3点，则P（A⋃B）＝（）A． B． C． D．4．（5分）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升．”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升．”在该问题中前7天共分发多少升大米？（）A．1170 B．1440 C．1785 D．17725．（5分）已知直线l1的方程是y＝mx+n，l2的方程是y＝nx﹣m（mn≠0，m≠n），则下列各图形中，正确的是（）A． B． C． D．6．（5分）若数列{an}满足，a1＝2，则a2023＝（）A．﹣1 B．1 C．2 D．7．（5分）在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若a5，a7是方程x2+10x﹣16＝0的两个根，那么S11的值为（）A．88 B．﹣88 C．110 D．﹣558．（5分）已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝0.3，P（C）＝0.6，则P（A∪B）＝（）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.9二、多选题。本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）过点A（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A．3x﹣2y＝0 B．2x﹣3y＝0 C．x+y＝5 D．x﹣y＝﹣1（多选）10．（5分）下列结论正确的是（）A．若{an}为等比数列，Sn是{an}的前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等比数列 B．若{an}为等差数列，Sn是{an}的前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等差数列 C．若{an}为等差数列，且m，n，p，q均是正数，则“m+n＝p+q”是“am+an＝ap+aq”的充要条件 D．满足（n∈N*且q≠0）的数列{an}为等比数列（多选）11．（5分）口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A＝“取出的两球同色”，B＝“取出的2球中至少有一个黄球”，C＝“取出的2球中至少有一个白球”，D＝“取出的两球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（）A．事件A与D为对立事件 B．事件B与C是互斥事件 C．事件C与E为对立事件 D．事件P（C∪E）＝1（多选）12．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝﹣n2+7n，则（）A．{an}是递增数列 B．a10＝﹣12 C．当n＞4时，an＜0 D．当n＝3或4时，Sn取得最大值三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）直线y＝2x+1的一个法向量＝．14．（5分）甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响．甲乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率为．15．（5分）在正项等比数列{an}中，若a4a8＝2，则log2a2+2log2a6+log2a10＝．16．（5分）已知{an}数列满足a1＝2，，则数列{an}的通项公式为．四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率也为，试求得黑球、黄球、绿球的概率分别为多少？18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+n．（1）求S4，a4；（2）求这个数列的通项公式an．19．（12分）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．（1）求经过A（﹣1，5）、B（2，1）两点的直线方程；（2）求在x轴、y轴上的截距分别是﹣3、﹣1的直线方程；（3）求经过点Q（﹣1，2）且斜率为﹣2的直线方程．20．（12分）设数列{bn}的各项都为正数，且．（1）证明数列为等差数列；（2）设b1＝1，求数列{bnbn+1}的前n项和Sn．21．（12分）直线l的方程为．（1）证明：直线l恒经过第一象限；（2）若直线l一定经过第二象限，求a的取值范围．22．（12分）已知等差数列{an}满足a2＝4，2a4﹣a5＝7，公比不为﹣1的等比数列{bn}满足b3＝4，b4+b5＝8（b1+b2）．（1）求{an}与{bn}的通项公式；（2）设cn＝anbn，求{cn}的前n项和Sn．

2023-2024学年甘肃省兰州市教育局第四片区联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题。本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【分析】根据题意，由数列的通项公式可得关于n的方程，解可得答案．【解答】解：根据题意，数列的通项公式为an＝，故＝，解可得n＝9．故选：B．【点评】本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．2．【分析】直接利用数列的通项公式的求法求出结果．【解答】解：数列，，，，，……的一个通项公式为．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3．【分析】根据事件的运算，结合古典概型的概率计算公式加以运算，即可得到本题的答案．【解答】解：由题意可知：样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，B＝{3}，则A⋃B＝{2，3，4}，可得n（Ω）＝6，n（A⋃B）＝3，所以．故选：C．【点评】本题主要考查样本空间与事件、古典概型的概率计算公式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．4．【分析】建立等差数列模型，根据等差数列求和公式可求得结果．【解答】解：由题意得，每天分发的大米升数构成等差数列{an}，设公差为d，则d＝7×3＝21，记第一天共分发大米为a1＝64×3＝192（升），则前7天共分发大米（升）．故选：C．【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．5．【分析】直接利用直线中m和n的取值范围判断函数的图象．【解答】解：根据直线l1的方程是y＝mx+n，l2的方程是y＝nx﹣m（mn≠0，m≠n），①当m＞0时，﹣m＜0，n＞0，﹣n＜0，选项A错误；②当n＞0，﹣m＜0，则m＞0，故D正确；③当m＞0，n＞0时，﹣m＜0，故B错误；④由于两直线的交点在y轴上，故m＝﹣n，故m和n异号，故C错误．故根据函数的图象只有A符合答案．选项ABC都不对．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：直线和图象的关系，主要考查学生视图能力和数学思维能力，属于基础题．6．【分析】通过an+1＝及a1＝2计算出a2，a3，a4，••••••，进一步发现{an}的周期即可求解．【解答】解：由题意，a1＝2，a2＝＝＝﹣1，a3＝＝＝，a4＝＝＝2＝a1，••••••，所以{an}是以3为周期的周期数列，所以a2023＝a3×674+1＝a1＝2．故选：C．【点评】本题考查数列的周期性，考查学生归纳推理和运算求解的能力，属于中档题．7．【分析】利用韦达定理得a5+a7＝﹣10，由等差数列前n项和得S11＝（a1+a11）＝（a5+a7），由此能求出结果．【解答】解：在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，a5，a7是方程x2+10x﹣16＝0的两个根，∴a5+a7＝﹣10，∴S11＝（a1+a11）＝（a5+a7）＝＝﹣55．故选：D．【点评】本题考查韦达定理、等差数列前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．【分析】利用互斥事件概率加法公式直接求解．【解答】解：因为P（C）＝0.6，事件B与C对立，所以P（B）＝0.4，又P（A）＝0.3，A与B互斥，所以P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.3+0.4＝0.7，故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、多选题。本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．【分析】当横截距a＝0时，纵截距b＝0，此时直线过点（2，3），（0，0），由此能求出直线方程为；当横截距a≠0时，纵截距b＝a，设直线方程为，把A（2，3）代入能求出直线方程．【解答】解：当横截距a＝0时，纵截距b＝0，此时直线过点（2，3），（0，0），直线方程为：，整理得3x﹣2y＝0，当横截距a≠0时，纵截距b＝a，设直线方程为，把A（2，3）代入得，解得a＝5，∴直线方程为＝1，整理得x+y＝5．故选：AC．【点评】本题考查直线方程的求法，考查两点式方程、截距式方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．【分析】根据等差数列前n项和性质及等比数列定义判断，利用特例判定其余错误选项．【解答】解：若{an}为等比数列，设公比为q，q≠0，Sn是{an}的前n项和，设，当n＝2时，S2＝0，S4﹣S2＝0，S6﹣S4＝0，Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n不是等比数列，所以A选项错误；若{an}为等差数列，Sn是{an}的前n项和，设公差为d，则Sn＝a1+a2+⋅⋅⋅+an，所以，，所以Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等差数列，所以B选项正确；{an}为等差数列，考虑an＝1，a1+a2＝a3+a4，1+2≠3+4，所以C选项错误；根据等比数列定义，数列{an}，（n∈N*且q≠0）的数列{an}为等比数列，所以D选项正确．故选：BD．【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的性质的应用，属于中档题．11．【分析】由对立事件与互斥事件的定义及事件的运算依次求解判断即可．【解答】解：∵事件A＝“取出的两球同色”，D＝“取出的两球不同色”，∴件A与D为对立事件，故A对，事件BC＝“取出的2球为一个黄球，一个白球”，故事件B与C不是互斥事件，故B错，事件CE＝“取出的2球有且只有一个白球”，故事件C与E不是对立事件，故C错，事件C∪E为必然事件，故P（C∪E）＝1，故D对，故选：AD．【点评】本题考查了事件的运算及对立事件与互斥事件的定义，属于基础题．12．【分析】推导出an＝﹣2n+8，再由Sn＝﹣n2+7n＝﹣（n﹣）2+，由此能求出结果．【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝﹣n2+7n，∴a1＝S1＝﹣1+7＝6，n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（﹣n2+7n）﹣[﹣（n﹣1）2+7（n﹣1）]＝﹣2n+8，当n＝1时，﹣2n+8＝6＝a1，∴an＝﹣2n+8，∴{an}是递减数列，故A错误；a10＝﹣2×10+8＝﹣12，故B正确；当n＞4时，an＝﹣2n+8＜0，故C正确；∵Sn＝﹣n2+7n＝﹣（n﹣）2+，∴当n＝3或4时，Sn取得最大值12，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【分析】根据给定直线方程求出其方向向量，再由法向量的意义求解作答．【解答】解：直线y＝2x+1的方向向量为，而，所以直线y＝2x+1的一个法向量．故答案为：（﹣2，1）（答案不唯一）．【点评】本题考查了直线的方向向量，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14．【分析】由已知结合相互独立事件及互斥事件的概率公式可求．【解答】解：设甲投篮命中的为事件A，乙投篮命中的为事件B，则P（A）＝，P（B）＝，A，B相互独立，甲乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率为P＝P（A+）＝P（A）P（）+P（）P（B）＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了互斥事件及相互独立事件的概率公式，属于基础题．15．【分析】根据等比数列的性质，得到，结合对数的运算性质，即可求解．【解答】解：在正项等比数列{an}中，因为a4a8＝2，可得，则．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的性质、对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．【分析】将条件式两边同时除以2n+1得数列{}是等差数列，从而求出数列{an}的通项公式．【解答】解：∵，∴两边同时除以2n+1得：，又∵，∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查已知数列的递推式求通项公式和等差数列的定义，还考查了计算能力和转化思想，属中档题．四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．【分析】设事件A表示“取到红球”，事件B表示“取到黑球”，事件C表示“取到黄球”，事件D表示“取到绿球”，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率也为，列出方程组，能求出取得黑球、黄球、绿球的概率．【解答】解：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，设事件A表示“取到红球”，事件B表示“取到黑球”，事件C表示“取到黄球”，事件D表示“取到绿球”，∵得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率也为，∴，解得P（B）＝P（D）＝，P（C）＝，∴取得黑球、黄球、绿球的概率分别为．【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．【分析】（1）n＝4代入可得S4，由a4＝S4﹣S3可得a4；（2）由an与Sn的关系可得数列通项公式．【解答】解：（1）因为数列{an}的前n项和为Sn＝n2+n，所以S4＝16+2＝18，a4＝S4﹣S3＝18﹣（9+）＝；（2）当n＝1时，a1＝S1＝，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+﹣（n﹣1）2﹣＝2n﹣，当n＝1时，上式也满足，故数列的通项公式an＝2n﹣．【点评】本题考查了已知Sn求an的求通项的方法，属于基础题．19．【分析】（1）由两点式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案；（2）由截距式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案；（3）由点斜式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案．【解答】解：（1）由两点式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为4x+3y﹣11＝0．（2）由截距式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为x+3y+3＝0．（3）因为经过点Q（﹣1，2），由点斜式方程可得：y﹣2＝﹣2（x+1），化为一般式方程为2x+y＝0．【点评】本题考查了直线方程的几种形式，是基础题．20．【分析】（1）对已知等式两边取倒数，结合等差数列的定义，即可得证；（2）由等差数列的通项公式可得，所以，再由数列的求和方法：裂项相