复数与复变函数重点省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

11/44一、重点与难点重点：难点：1.复数运算和各种表示法2.复变函数以及映射概念1.复数方程表示曲线以及不等式表示区域2.映射概念22/44二、内容提要复数复变函数极限连续性代数运算乘幂与方根复数表示法几何表示法

向量表示法三角及指数表示法复球面复平面扩充曲线与区域判别定理极限计算33/44

1.复数概念44/441)两复数和2)两复数积3)两复数商2.复数代数运算55/444)共轭复数实部相同而虚部绝对值相等符号相反两个复数称为共轭复数.共轭复数性质66/443.复数其它表示法（1）几何表示法77/44（2）向量表示法复数模(或绝对值)88/44模性质三角不等式复数辐角99/44辐角主值1010/44（3）三角表示法利用欧拉公式复数能够表示成称为复数z指数表示式.（4）指数表示法利用直角坐标与极坐标关系复数能够表示成1111/444.复数乘幂与方根1)乘积与商两个复数乘积模等于它们模乘积;两个复数乘积辐角等于它们辐角和.则有1212/44

几何意义复数相乘就是把模相乘,辐角相加.从几何上看,两复数对应向量分别为1313/44两个复数商模等于它们模商;两个复数商辐角等于被除数与除数辐角之差.则有1414/442)幂与根(a)n次幂:1515/44

(b)棣莫佛公式1616/445.复球面与扩充复平面南极、北极定义(1)复球面1717/44球面上点,除去北极N外,与复平面内点之间存在着一一对应关系.我们能够用球面上点来表示复数.我们要求:复数中有一个唯一“无穷大”与复平面上无穷远点相对应,记作.因而球面上北极N就是复数无穷大几何表示.球面上每一个点都有唯一复数与之对应,这么球面称为复球面.复球面定义1818/44包含无穷远点在内复平面称为扩充复平面.不包含无穷远点在内复平面称为有限复平面,或简称复平面.对于复数

来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它模要求为正无穷大.(2)扩充复平面定义1919/446.曲线与区域（1）邻域（2）内点2020/44假如G内每一点都是它内点,那末G称为开集.(4)区域假如平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(a)D是一个开集；(b)D是连通,即D中任何两点都能够用完全属于D一条折线连结起来.(3)开集2121/44(5)边界点、边界

设D是复平面内一个区域,假如点P不属于D,但在P任意小邻域内总有D中点,这么P点我们称为D边界点.(7)有界区域和无界区域D全部边界点组成D边界.(6)区域D与它边界一起组成闭区域.

闭区域

2222/44

没有重点曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).(8)简单曲线2323/44(9)光滑曲线由几段依次相接光滑曲线所组成曲线称为按段光滑曲线.任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交点集.简单闭曲线性质2424/44(10)单连通域与多连通域复平面上一个区域B,假如在其中任作一条简单闭曲线,而曲线内部总属于B,就称为单连通域.一个区域假如不是单连通域,就称为多连通域.

从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕域.2525/447.复变函数概念(1)复变函数定义2626/44(2)映射定义2727/44函数极限定义注意:

8.复变函数极限2828/44极限计算定理2929/44与实变函数极限运算法则类似.极限运算法则3030/44（1）连续定义

9.复变函数连续性3131/44连续充要条件连续性质3232/44有理整函数(多项式)有理分式函数特殊:在复平面内使分母不为零点也是连续.3333/44三、经典例题3434/443535/44

其几何意义是三角形任意一边长大于其它两边边长之差绝对值.3636/443737/44解3838/44解3939/44解4040/44例6满足以下条件点组成何种图形?是不是区域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.解

是实数轴,不是区域.

是以为界带形单连通区域.解4141/44

是以为焦点,以3为半长轴椭圆闭区域,它不是区域.

不是区域，因为图中解解在圆环内点不是内点.4242/44例7函数将