新教材北师大版高中数学必修第一册 第五章 函数应用 课后练习 含解析

第五章函数应用课后练习

1、利用函数性质判定方程解的存在性......................................-1-

2、利用二分法求方程的近似解............................................-6-

3、实际问题的函数刻画.................................................-11-

4、用函数模型解决实际问题.............................................-18-

1、利用函数性质判定方程解的存在性

提升练习

x<1

1.已知函数f(x)=一‘一'则函数f(x)的零点为()

1+log2x,%>1,

1

A.—,0B.-2,0

2

1

C.-D.0

2

x

【解析】选D.当xWl时，由f(x)=0,得2-l=0,所以x=0.当x>l时,由f(x)=0,得l+log2x=0,

1

所以x=-,不成立,所以函数的零点为0.

2

2.函数f(x'x'lnx-4的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.⑵3)D.(3,4)

【解析】选B.因为f(l)=]?+lnl-4=-3<0,f(2)=22+ln2-4=ln2〉0,又函数f(x)在定义域内单

调递增,所以f(x)的零点在(1.2)内.

3.函数f(x)的零点个数是()

A.0B.1C.2D.无数个

【解析】选B.作出丫=*3与丫=(弓)的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个交点,所以函

数f(x)只有一个零点.

产出

4.若函数f(x)=ax?-x+2只有一个零点,则实数a的取值集合是.

【解析】当a=0时,f(x)=-x+2,令f(析=0,解得x=2,所以函数只有一个零点2,符合题意;

11

当aHO时，由函数只有一个零点可得A=(T)9-4XaX2=0,即l-8a=0,解得a=一.综上a二一或

88

a=0.

答案:{o,m

1

5.判断方程Iog2x+x2=0在区间一,1上有没有实数根?为什么？

12」

【解析】设f(x)=log2x+x2,

/1\1/1\213

fl-)=log2-+(-I=-1+一=一<0,

\272\2744

f(l)=log/+l=l〉0,即f(g)•f(1)〈0,函数f(x)=logzx+x2的图象在区间1上是连续的,

1「1

因止匕,f(x)在区间->1上有零点，即方程Iog2x+x2=0在区间一，1上有实根.

12L2

提升练习

一、单选题(每小题5分，共15分)

1.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)•(x-a)的两个零点分别位于区间

()

A.(b,c)和(c,+°°)内B.(一8,a)和(a,b)内

C.(a,b)和(b,c)内D.(-8,a)和(c,+8)内

(解析］选C.因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,

所以f(x)的零点分别位于(a,b)和(b,c)内.

2.(2020•浙江高考)已知a,bGR且abWO,若(x-a)(x-b)(x-2a-b)NO在x20上恒成立,则

()

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0

【解析】选C.由于abWO则a#0且b#0,根据y=(x-a)(x-b)(x-2a-b)的零点为a,b,2a+b的

情况可确定是否满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)在x20上恒成立.

若a<0,b<0,则2a+b<0,满足;若a<0,b>0,则b话2a+b,不满足;若a>0,b>0,则2a+b〉0,不满足；

若a>0,b<0,则a=2a+b即a+b=O时满足,综上,只有选项C符合.

3.(2018•全国卷I)已知函数f(x)=ff''-2g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,

unx,x>0,

则a的取值范围是()

A.[-1,0)B.[0,+8)

C.[-1,+8)D.[1,+8)

【解析】选C.函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点，即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实

根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点，作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图

所示，

由图可知,-aWl,解得a》T.

【补偿训练】

(logix,%>0,

己知函数f(x)={2若关于X的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数

(2七x<0,

k的取值范围是()

A.(0,+8)B.(0,1]

C.(1,+8)D.(-°0,1)

【解析】选B.作出函数f(x)的图象，由图象知,

当(KkWl时，尸k与y=f(x)的图象有两个交点，此时方程f(x)二k有两个不等实根,所以0<k

二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

1

4.已知xo是函数f(x)=2X+----的一个零点.若xi£(1,xo),x4(xo,+8),则()

l-x2

A.f(xi)>0B.f(xi)<0

C.f(x2)>0D.f(x2)<0

1

【解析】选BC.在同一平面直角坐标系中画出函数尸2*和函数y=—的图象,如图所示,

x-l

11

由图可知函数尸2、和函数y=----的图象只有一个交点，即函数f(x)=2x+----只有一个零点Xo,

x-ll-x

且Xo>l.因为Xie(1,Xo),x2e(xo,+°°),所以由函数图象可知,f(X1)<0,f(x2)>0.

三、填空题(每小题5分，共10分)

5.若方程lx?-4x|-有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是.

【解析1由IX2-4X|-a=0,得a=|xMx，作出函数y=|x-4x|的图象,则由图象可知,

要使方程Ix-4x|-a=0有四个不相等的实根,则0<a<4.

答案:(0,4)

【补偿训练】

yV0

-若函数f(x)有且仅有1个零点，则实数a的取值范围

3%+L%>0,

是.

【解析】当x>0时,f(x)=3x+l>l,函数无零点;要使函数f(x)有且仅有1个零点，则f(x)=a-2"

在(-8,0]上有且仅有1个零点.画出函数y=a与函数y=2”(xW0)的图象,如图所示.

因为当xWO时,2*e(0,1],所以ae(0,13.

答案：(0,1]

6.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+8)上是增函数,则该函

数有个零点,这几个零点的和等于.

【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+8)上是增函数,所以f(0)=0.又因为

f(-2)=0,所以f(2)=-f(-2)=0,故该函数有3个零点,这3个零点之和等于0.

答案：30

四、解答题

e2

7.(10分)已知函数f(x)=-x+2ex+mT,g(x)=x+—(x>0).

x

(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;

(2)试确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.

e2

【解析】(1)作出g(x)=x+—(x〉0)的图象如图:

可知若g(x)=m有零点,则有m》2e.故m的取值范围为{m|m》2e}.

⑵g(x)-f(x)=0有两个相异实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.在同一平面直角坐

e2

标系中，作出g(x)=x+—(x>0)和f(x)的图象,如图.

X

因为f(x)=-x2+2ex+m-l=-(x-e)2+m-l+e2,

其图象的对称轴为直线x=e,开口向下，最大值为m-1+e2,故当m-l+e2>2e,即m>-e2+2e+l时,

g(x)与f(x)有两个不同的交点，

即g(x)-f(x)=O有两个相异实根，

所以m的取值范围是m>-e2+2e+l.

2、利用二分法求方程的近似解

基础练习

1.下列函数图象与X轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是()

【解析】选B.利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.在B中，不满足

f(a)•f(b)〈O,不能用二分法求零点，由于A,C,D中零点两侧函数值异号,故可采用二分法求零

点.

2.若函数f(x)在［a,b］上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足

f(a)f(b)<0,f(a)f>0,则)

a+b]

A.f(x)在Q,——上有零点

2J

[a+fc]1

B.f(x)在——，b上有零点

2J

a+fc

c.f(x)在a,上无零点

2

「a+b1

D.f(x)在----»07上无零点

2J

【解析】选B.由f(a)f(b)<0,f(a)f>0可知ff(b)<0,根据零点存在定理可知

a+b,］a+b

f(x)在——，b上有零点，在a,——上有无零点无法判断.

2J2J

3.用二分法求关于x的方程Inx+2x-6=0的近似解时,能确定为解所在的初始区间的是

()

A.⑵3)B.(0,2)

C.(1,2)D.(0,+8)

【解析】选A.令函数f(x)=lnx+2x-6,可判断在(0,+-)上单调递增,所以f⑴=-4<0,f(2)=ln

2-2<0,f(3)=ln3〉0,所以根据函数的零点存在定理可得:零点在⑵3)内，即方程Inx+2x-6=0

的近似解在(2,3)内.

1

4.已知函数f(x)--x3-x2+l.

3

(1)证明方程f(x)=0在区间［0,2］内有实数解；

(2)使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)=0(xe［0,2］)的实数解X。在哪个较小的区

间内.

1

【解析】(1)因为f(0)=l〉0,f(2)=—〈0,

3

所以f(0)•f(2)<0,由函数的零点存在定理可得方程f(x)=0在区间［0,2］内有实数解.

11

⑵取XL(0+2)=1,得f⑴二一〉0,

23

由此可得f(l)•f(2)<0,下一个有解区间为(1,2).

13Z3\1

再取X2=-(1+2)=-得f(一]=--<0,

22\278

所以f⑴•f(£)<0,下一个有解区间为(1,|

1一3、5

再取X3一1H-一)=-得f

224

所以f(3),f(j)<0,下一个有解区间为

rs31

综上所述,所求的实数解x。在区间一，-内.

L421

创新练习

一、单选题(每小题5分，共15分)

1.下列关于函数y=f(x),xG［a,b］的叙述中，正确的个数为()

①若xo£［a,b］且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点；

②若x。是f(x)在［a,b］上的零点,则可用二分法求xo的近似值；

③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根，但f(x)=O的根不一定是函数f(x)的零点.

A.0B.1C.2D.3

【解析】选A.①中xo£［a,b］且f(xo)=O,

所以x。是f(x)的一个零点,而不是(x。,0),故①错误；

②由于X。两侧函数值不一定异号,故②错误;③方程f(x)=O的根一定是函数f(x)的零点,故③

错误.

2.下列函数不宜用二分法求零点的是()

A.f(x)=x3-l

B.f(x)=lnx+3

C.f(x)=X2+2V2X+2

D.f(x)=-X2+4X-1

【解析】选c.f(x)=X2+2V2X+2=(X+V2)2^0,不存在小于0的函数值,所以不能用二分

法求零点.

3.用二分法求方程ln(2x+6)+2=M的根的近似值时，令f(x)=ln(2x+6)+2-3：并用计算器得到表

格：

X1.001.251.3751.50

f(X)1.07940.1918-0.3604-0.9989

则由表中的数据，可得方程ln(2x+6)+2=3*的一个近似解(精确度为0.1)为()

A.1.125B.1.3125

C.1.4375D.1.46875

【解析】选B.因为f(1.25)•f(1.375)<0,故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间

(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中点

1.3125,两个区间个25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号

相异,又区间的长度为0.0625<0.1,因此1.3125是一个近似解.

【补偿训练】

某同学在借助计算器求“方程lgx=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f(x)=lgx+x-2,

算得f(1)<0,f(2)〉0;在以下过程中，他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值的正负，

并得出判断:方程的近似解是x^l.8.那么他再取的x的4个值依次是.

【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间

(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.8125).

答案：1.5,1.75,1.875,1.8125

二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

4.函数f(x)=/ogy+x-4的零点所在的区间为()

2

A.(0,1)B.(1,3)

C.⑶4)D.(4,8)

【解析】选AD.设yi=lo^ix,y2=4-x,则f(x)的零点个数,即函数yi与y2的图象的交点个数，作

2

出两函数图象如图.

y

4

3

2

1

X

j,=iogix

由图知力与y?在区间(0,1)内有一个交点，

当x=4时，yi=-2,y2=0;当x=8时，yi=-3,

yz=-4,所以在(4,8)内两曲线又有一个交点.

即函数f(x)=/0gy+x-4的零点所在的区间为(0,1)和(4,8).

2

三、填空题(每小题5分，共10分)

5.函数f(x)=x，ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a,b的关系是.

【解题指南】函数有零点，但不能用二分法,说明函数在零点两侧同号,结合二次函数的性质，

说明函数f(x)的图象与x轴只有一个交点.

【解析】因为函数f(x)=x?+ax+b有零点，但不能用二分法,所以函数f(x)=x?+ax+b的图象与x

轴只有一个交点，所以A=a2-4b=0,所以厂二北.

答案:a?=4b

6.用二分法研究函数f(x)=x、3x-l在区间［0,1］内的零点时,第一次经计算得

f(0)<0,f(0.5)>0,f(l)>0,可得其中一个零点x„e,第二次应计算.

［解析1因为f(0)<0,f(0.5)>0,所以f(0)•f(0.5)<0,故f(x)的一个零点Xoe(0,0.5),利用

二分法,则第二次应计算f=f(0.25).

答案：(0,0.5)f(0.25)

四、解答题

7.(10分)已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=O,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方

程f(x)=O在区间［0,1］内有两个实根.

【证明】因为f(l)>0,所以3a+2b+c>0,

即3(a+b+c)-b-2c>0.因为a+b+c=O,所以--2c>0,贝卜b-c>c,即a>c.因为f(0)〉0,所以c>0,则

a>0.

1/1\331

在区间［0,1］内选取二等分点一,则fI-)=-a+b+c=-a+(-a)=一a<0.因为f(0)〉0,f⑴)0,所以

2\27444

函数f（x）在区间（0,和（1，1）上各有一个零点.又f（x）最多有两个零点，从而f（x）=0

在［0,1］内有两个实根.

3、实际问题的函数刻画

基础练习

1.某同学家门前有一笔直公路直通长城,星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了akm,觉得

有点累，就休息了一段时间,想想路途遥远,有些泄气,就沿原路返回骑了bkm（b〈a）,当他想起

“不到长城非好汉”时,便调转车头继续前进,则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象

大致为（）

【解析】选C.由题意可知,前进akm时,s是关于时间t的一次函数,所以其图象特征是直线

上升.由于中间休息了一段时间,该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段.然后原路返回b

km,图象下降且时间增加,再调转车头继续前进,则直线上升.C选项图象符合题意.

2.甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点.丁车

最后到达终点.若甲、乙两车的图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的

是（）

A.丙在III区域,丁在I区域

B.丙在I区城,丁在m区域

C.丙在II区域，丁在I区域

D.丙在in区域,丁在n区域

【解析】选A.由题图可得相同时间内丙车行驶路程最远,丁车行驶路程最近,即丙在III区域，

丁在I区域.

3.图A表示某年12个月中每月的平均气温,一般地,家庭用电量(kW•h)与

气温(℃)有一定关系.图B表示某家庭在此年12个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家

庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是()

A.气温最高时,用电量最多

B.气温最低时,用电量最少

C.5月〜7月用电量随气温增加而增加

D.8月〜12月用电量随气温降低而增加

【解析】选C.逐月分析图象的升降趋势和变化率，排除干扰选项便能确定答案.比较题干中的

两图可以发现,2月份用电量最多，而2月份气温不是最高，因此排除A.同理可排除B.8月至12

月份气温一直下降，但用电量有增有减,排除D.由5,6,7三个月的气温和用电量可得出C正确.

4.为了了解“环保型纸质饭盒”的使用情况,某研究性学习小组对本地区2005年至2007年使

用纸质饭盒的所有快餐公司进行了调查,根据表格及图象提供的信息,可以得出这三年该地区

每年平均消耗纸质饭盒_______万个.

年份快餐公司数

200530

200645

200790

【解析】结合题中两个图表可得2005年消耗纸质饭盒总数=1X30=30（万个）;

2006年消耗纸质饭盒总数=2X45=90（万个）;

2007年消耗纸质饭盒总数=1.5X90=135（万个）;

故每年平均消耗纸质饭盒总数=（30+90+135）+3=85（万个）.

答案：85

5.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为了合理利

用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上.

（1）设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;

（2）求矩形BNPM面积的最大值.

【解析】⑴如图所示，延长NP交AF于点Q,

EQEFx-441

所以PQ=(8-y)米,EQ=(x-4)米.在AEDF中，=,所以---所以y=--x+10,定义域为

PQFD8-y22

[4,8].

(2)设矩形BNPM的面积为S,

则S=xy=x(10)=--(X-10)2+50.

又xe[4,8],所以当x=8时,S取最大值48.

提升练习

一、单选题（每小题5分，共20分）

1.李明放学回家的路上,开始和同学边走边讨论问题,走得比较慢;然后他们索性停下来将问

题彻底解决;最后他快速地回到了家.下列图象中与这一过程吻合得最好的是（）

离家的距离离家的距离

AB

离家的距离离家的距离

【解析】选D.根据实际情况较吻合的应为D.

2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图所示，由图中给

出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是（）

收入/元

销售量/万件

A.310元B.300元C.290元D.280元

【解析】选B.由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y=ax+b（aW0）,将（1,800）,（2,1

300）代入得a=500,b=300.当销售量x=0时y=300.

3.某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产.如果外购,每个配件的价格是1.10元;

如果自己生产,则固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定

此配件外购或自产的转折点（即生产多少件以上自产合算）是（）

A.1000件B.1200件

C.1400件D.1600件

【解析】选D.设生产x件时自产合算，由题意得1.lx>800+0.6x,解得x》l600.

4.拟定从甲地到乙地通话mmin的电话费f（m）=l.06•（0.50M+1）,其中m〉0,[m]是大于或等

于m的最小整数（如[3]=3,[3.7]=4,[5.2]=6）,则从甲地到乙地通话时间为5.5min的通话费

为（）

A.3.71B.3.97C.4.24D.4.77

【解析】选C.5.5min的通话费为

f（5.5）=1.06X（0.50X[5.5]+1）=1.06X（0.50X6+l）=l.06X4=4.24.

二、多选题（每小题5分，共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分）

5.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元,某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包

装费用、销售价格如表所示：

型号小包装大包装

重量100克300克

包装费0.5元0.7元

销售价格3.00元8.4元

则下列说法正确的是（）

A.买小包装实惠

B.买大包装实惠

C.卖3小包比卖1大包盈利多

D.卖1大包比卖3小包盈利多

【解析】选BD.大包装300克8.4元,则等价为100克2.8元,小包装100克3元,则买大包装

实惠，故B正确,卖1大包盈利8.4-0.7-1.8X3=2.3（元），卖1小包盈利3-0.5T.8=0.7（元）,

则卖3小包盈利0.7X3=2.1（元），则卖1大包比卖3小包盈利多,故D正确.

6.某工厂8年来的产品年产量y与时间t（单位:年）的函数关系如图所示,则下面四个结论,正

确的是（）

B.前3年的年产量增长速度越来越慢

C.3年后,这种产品停止生产

D.3年后,这种产品年产量保持不变

【解析】选AD.由题干图可知,前3年中,年产量的增长速度越来越快,后5年的年产量是不变

的,所以AD正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7.已知直角梯形ABCD,如图⑴所示,动点P从点B出发，由B-C-D-A沿边运动,设点P运动

的路程为x,AABP的面积为f(x).如果函数y=f(x)的图象如图⑵所示,则4ABC的面积

为.

【解析】由题中图象可知BC=4,CD=5,DA=5,

所以AB=5+』52-42=5+3=8,所以SAABC=|X8X4=16.

答案：16

【补偿训练】

生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变

化而变化,在下图中请选择与容器相匹配的图象,A对应;B对应;C对

应;D对应.

°时间°时间°时间°时间

(1)(2)(3)(4)

【解析】A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水高度变化为

快一慢一快,应与(1)对应;C,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型，但C容器

细,D容器粗,故水高度的变化为:C容器快,与(3)对应,D容器慢,与(2)对应.

答案：⑷(1)(3)(2)

8.某商人将手机先按原价提高40%,然后“八折优惠”，结果是每部手机比原价多赚144元,那

么每部手机原价是元,实际售价为元.

【解析】设每部手机原价是X元，由题意可得（1+40%）X-0.8-x=144,解得x=l200.实际售价为

1200+144=1344（元）.

答案:12001344

四、解答题（每小题10分，共20分）

9.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月本地

网内打出的电话时间t（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图所示,当打出电话150分钟

时,这两种方式话费相差多少元？

【解析】设A种方式对应的函数解析式为s=k1t+20,B种方式对应的函数解析式为s=k2t.

1

当t=100时，100ki+20=100k2,所以k2-ki=-.

1

当t=150Ht,150k2-150k-20=150X-20=10.

5

答:这两种方式话费相差10元.

10.某地上年度电价为0.8元/度,年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55-0.75元/

度之间（包含0.55元/度和0.75元/度）,经测算,若电价调至x元/度,则本年度新增用电量y（亿

度）与（x-0.4）（元/度）成反比，且当x=0.65时,y=0.8.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）若每度电的成本为0.3元,则电价调至多少时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%?

［收益=用电量X（实际电价-成本价）］

k

【解析】⑴因为y与（X-0.4）成反比,所以可设（^0）,把X=0.65,尸。.8代入上式,

k0.21

得°解得当所以.所以y与x之间的函数关系式为

1

y=-----(0.55WxW0.75).

5k2

(2)根据题意，得(1H———j(X-0.3)=1X(0.8-0.3)X(1+20%),整理得x2-l.lx+0.3=0,解

\5x-2)

得xi=0.5(舍去)或xz=0.6,所以当电价调至0.6元/度时，电力部门本年度的收益将比上一年增

加20%.

4、用函数模型解决实际问题

基础练习

1.一等腰三角形的周长为20,底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为()

A.y=20-2x(xW10)

B.y=20-2x(x<10)

C.y=20-2x(5Wx(10)

D.y=20-2x(5<x<10)

【解析】选D.由y+2x=20得y=20-2x.

12%>y—20~2%,

又|得5<x<10.

(20-2%>0,

2.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时,交通灯由红变绿，汽

车以1米/秒2的加速度匀加速开走,那么()

A.人可在7秒内追上汽车

B.人可在10秒内追上汽车

C.人追不上汽车,其间距最少为5米

D.人追不上汽车,其间距最少为7米

1

【解析】选D.设汽车经过t秒行驶的路程为s米,则s=-t2,车与人的间距

2

11

d=(s+25)-6t=-t-6t+25=-(t-6)2+7,当t=6时，d取得最小值7.

22

3.今有一组试验数据如表所示:

t1.993.04.05.16.12

u1.54.047.51218.01

则能体现这些数据关系的函数模型是（）

A.u=log2tB.u=2t-2

t2-l

C.u=-------D.u=2t-2

2

【解析】选C.可以先描出各点（如图），并利用数据点直观地认识变量间的关系,选择合适的函

数模型来刻画它.

20•

15

10°

*

5

_____Q-*,.,「

°246______81

由图可知，图象不是直线上的点,排除选项D;图象不符合对数函数的图象特征,排除选项A;当

t2-l32-1t2-i

t=3时21-2=23-2=6,-------=-------=4,由题干中表格知当t=3时,u=4.04,模型u=-------能较好地体

222

现这些数据关系.

4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料

上截取矩形铁皮（如图中阴影部分）备用.当截取的矩形面积最大时,矩形的两边长X,y分别

为.

24^yx55

【解析】由三角形相似，即----=—,得x=-X(24-y),所以S=xy=-一(y-12)2+180,

24-82044

故当y=12时，S有最大值，此时x=15.

答案：15,12

5.某市居民生活用水收费标准如下：

用水量x/t每吨收费标准/元

不超过2t部分m

超过2t不超过4t部分3

超过4t部分n

已知某用户1月份用水量为8t,缴纳的水费为33元;2月份用水量为6t,缴纳的水费为21元.

设用户每月缴纳的水费为y元.

(1)写出y关于x的函数解析式；

(2)若某用户3月份用水量为3.5t,则该用户需缴纳的水费为多少元？

(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元,求该用户最多可以用多少吨水.

【解析】(1)由题设可得

mx,0<x<2,

2m+3,2<x<4,

2m+6+n%>4.

当x=8时，y=33;当x=6时，y=21,

(2m+6+4九=33,5,

代入得

t2m+6+2n=21,解得｛；1

1.5%,0<x<2,

3%-3,2<%<4,

%>4.

(2)当x=3.5时,y=3X3.5-3=7.5.1

故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.

⑶令6X-15W24,解得xW6.5.

故该用户最多可以用6.5t水.

提升练习

一、单选题(每小题5分，共25分)

1.某厂原来月产量为a,一月份增产10%,二月份比一月份减产10%,设二月份产量为b,则

B.a>b

C.a<bD.无法比较a,b的大小

【解析】选B.因为b=a(1+10%)(1-10%),

所以b=a：l-(10%)^a(l-烹)所以出义言,所以a>b.

2.用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长

度为()

A.3B.4C.6D.12

【解析】选A.设隔墙长度为x,如图所示，

24-4x

则与隔墙垂直的边长为-----=12-2x,

2

所以矩形面积S=x•(12-2x)=-2X2+12X=-2(X-3)2+18,0<X<6,所以当x=3时,S则=18.

3.据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次,其中变速车存车费是每辆一次

0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元,若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元，则y

关于x的函数关系式是()

A.y=0.3x+800(0WxW2000)

B.y=0.3x+l600(0WxW2000)

C.y=-0.3x+800(0WxW2000)

D.y=-0.3x+l600(0WxW2000)

【解析】选D.依题意存车费总收入:y=0.5x+0.8(2000-x)=-0.3x+l600.

4.我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番,设平均每年增长率为x,则()

A.(1+X)19=4B.(1+X)20=3

C.(1+X)20=2D.(1+X)20=4

【解析】选D.翻两番,即从1变成4,从2000年到2020年共经过20年，即(l+x)为=4.

【误区警示】翻番问题,要特别注意翻一番是由1变为2,翻两番是由1变为4.

5.(2020•全国卷III)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据

公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模

型:I(t)=---------------,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫

情，则t*约为(In19g3)()

A.60B.63C.66D.69

K

【解析】选C.因为I(t)

1+/023(t-53>

K

所以I(t*)==0.95K,

l+g-O23.53)

则0°23t-S3'=I9,所以0.23(t*-53)=in19=3,

3

解得t-----+53^66.

023

二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

6.甲乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是

A.甲比乙先出发

B.甲比乙跑得快

C.甲、乙两人的速度相同

D.甲先到达终点

【解析】选BD.由题图可知两人跑的路程相同，甲比乙跑的时间少，甲比乙跑得要快，比乙先到

达终点.

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.四个变量yby2,y3>y”随变量x变化的数据如表:

X151015202530

yi226101226401626901

1.053.361.07

Y2232102437768

X106X107X109

Y32102030405060

Y424.3225.3225.9076.3226.6446.907

关于x呈指数型函数变化的变量是.

【解析】以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量yby2,y3）y,均是从

2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y?的增长速度最快,画出它们的图

象（图略），可知变量yz关于x呈指数型函数变化.

答案:y2

8.（2019•北京高考）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、

西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水

果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,

李明会得到支付款的80%.

（1）当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元；

（2）在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值

为.

【解析】（1）顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60+80=140（元），超过了120元可以优

惠，所以当x=10时,顾客需要支付140-10=130（元）.

（2）由题意知,当x确定后,顾客可以得到的优惠金额是固定的,所以顾客支付的金额越少，优惠

的比例越大.而顾客要想得到优惠,最少要一次购买2盒草莓,此时顾客支付的金额为（120-x）

元，所以（120-x）X80%>120X0.7,所以xW15.即x的最大值为15.

答案：（1）130（2）15

四、解答题（每小题10分，共20分）

9.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程,如

图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关

系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）.根据图象提供的信息解答下列问题：

（1）由已知图象上的三点坐标,求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数关系式;

（2）求截至第几月末公司累积利润可达到30万元；

（3）求第八个月公司所获得的利润是多少万元.

【解析】（1）可设S与t的函数关系式为S=at12+bt+c.由题意，

(a+b+c=5,(a+b+c=5,

得J4a+2b+c=-2,或J4a+2力+c=~2,

125a+5力+c=2.51c=0

(a+b+c=-1,5,

或J16a+4b+c=0,

(c=0.

1

无论哪个均可解得a=一,b=-2,c=0,

2

1

所以所求函数关系式为S=-t2-2t.

2

1

(2)把S=30代入,得30=-t-2t,

2

解得匕=10,t?=-6(舍去)，所以截至第10个月末公司累积利润可达到30万元.

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