2022-2023学年四川省雅安市高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年四川省雅安市高二(下)期末数学试卷(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知z(l-2。=3-3则复数z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知向量五=(m,1,3),b=(2,71,1)，若五〃3，则:=()

A.2B.18C;D.三

3.已知命题p：3x£7?,ex=0.1；命题q：直线匕：x-ay=0与％：2x+ay-l=0相互

垂直的充要条件为a=「，则下列命题中为真命题的是()

A.pAqB.pA(-q)C.(*)VqD.(-p)A(-q)

4.下列说法中正确的是()

A.“a>b”是“a?>炉”成立的充分不必要条件

XX

B.命题p：VxeR,2>0,则->p：3x0eR,20<0

C.在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r越接近于1

D.已知样本点=1,2,3…10)组成一个样本，得到回归直线方程y=2x-0.4,且工=

2,剔除两个样本点(-3,1)和(3,-1)得到新的回归直线的斜率为3,则新的回归方程为y=3x-

5.已知X〜8(珥p),且3E(X)=10D(X),则p=()

A.0.3B,0.4C.0.7D,0.8

6.当x=0时，函数/'(久)=aex+bx取得最小值1,则f'(l)=()

A.e—1B.e+1C.-e—1D.—e+1

7.经过点(2,0)作曲线y=/蜻的切线有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

8.小明通过调查研究发现，网络游戏任者荣耀》每一局时长X(单位：分钟)近似满足

X〜1V(20,25).根据相关规定，所有网络游戏企业仅可在周五、周六、周日和法定节假日每日20

时至21时向未成年人提供1小时网络游戏服务.小明还未成年，他在周五晚上20：45想打一

局游戏，那么根据他的调查结果，他能正常打完一局比赛的概率为()

(参考数据：P(〃-er<X<〃+。)=0.6827,P(〃-2。<X<〃+2。)=0.9545,PQi-3cr<

X<〃+3(r)=0.9973)

A.0.8414B.0.1587C.0.9773D.0.0228

9.某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名

男医生参加的概率为()

A噂B.TC.flD.|

10.已知ABC—4遇1的是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CO1的中点，则点的到平面

的距离为()

AD「八

A.—V2aB.V—2aC.—3V2aD.V—2a

11.V%i，%2£[l，e]，当时，都有<以%1一%2),则实数a的最大值为()

入2

A.勺B.-C.2D.1

ezee

12.已知a仇a=be",b>0,则刍的最大值为()

A.e2B.4C.-D.T

2eeez

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.二项式。-表K的展开式的常数项等于.

14.若/(尤)=/+2支((1),则((0)等于.

15.已知函数/(x)=+2/-4%+5,若函数f(x)在区间(m-6,m)上存在最大值，则实

数小的取值范围是.

16.如图，在棱长为2的正方体—4/165中，E,尸，G,D3__________C,

”，p均为所在棱的中点，则下列结论正确的序号是.A/:-----4

①棱4B上一定存在点Q,使得QC1OiQ；

②三棱锥F—EPH的外接球的表面积为8兀；f~~P-IZC

③过点E,F,G作正方体的截面，则截面面积为3丁而；A-----B

④设点M在平面BBiQC内，且〃平面4G”,则为M与4B所成角的余弦值的最大值为雪.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

在(l-x)(l+无尸的展开式中，含/项的系数是b.

(1)求b的值；

73

(2)若(2—bx)7=a0+arx+—I-a7x,求(a。+a2+a4+a6)+(a1+a3+a5+a7)3的值.

18.(本小题12.0分)

某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了

分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本,

产品的质量情况统计如表：

一等品二等品合计

设备改造前12080200

设备改造后15050200

合计270130400

(1)判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为该企业生产的这种产品的质量与设备

改造有关；

(2)按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二

等品.现从这5件产品中任选3件，记所选的一等品件数为X,求X的分布列及均值E(X).

附.=w(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

P(K2>ko)0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

19.(本小题12.0分)

已知meR,p：“函数=ln(m函—+1)的定义域为R”,q："三配e[0,3],使得瞪一

2x0—m>0成立”.

(1)若q为真命题，求实数机的取值范围；

(2)若“pVq”为真命题，“pAq”为假命题，求实数m的取值范围.

20.(本小题12.0分)

在四棱锥P—4BCD中，四边形4BCD为等腰梯形,=DC=1,AB=2,AC1PC.

(1)证明：平面ABC。_L平面PBC.

(2)若PB1BC,PB=2，百，求直线24与平面PCD所成角的正弦值.

p

21.(本小题12.0分)

2023年5月17日，318•川藏线零公里自驾游大本营旅游推介暨“5・17我要骑”雅安站活动在

雨城区拉开帷幕，318•川藏线零公里自驾游大本营再次成为关注焦点318・川藏线零公里自

驾游大本营项目以“此生必驾318,首站打卡在雅安”，“世界第三极，雅安零公里”的交

旅/P为文化指引，利用雅安交通区位和品牌资源优势，创新打造吸引力体验项目，提高雅安

川藏游的话语权和影响力.某骑行爱好者在近段时间在专业人士指导下对骑行情况进行了统

计，各次骑行期间的身体综合指标评分%与对应用时y(单位：小时)如下表：

身体综合指标评分(X)12345

用时(y/小时)9.58.67.876.1

(1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与久的关系，请用相关系数加以说明;

(2)建立y关于x的回归方程.

参考数据和参考公式：相关系数7=0——79

J£忆1(石-5)2次=1(兀一亍)2'骞11（阳-%）2a=y—bx

V7060x84

22.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=Inx—mx2+(1—2rn)x+1.

(1)若zn=1,求f(%)的极值;

(2)讨论f(%)的单调性;

(3)若对任意%>0,有/(%)<0恒成立，求整数TH的最小值.

答案和解析

1.【答案】A

(3-Q(l+2t)5+5i1.

【解析】解：因为z(l—2。=3—K贝!Jz=F；=1+I,

(l-2i)(l+2i)

复数Z在复平面内对应的点为(1,1),在第一象限.

故选：A.

先解出复数z,由复数的几何意义判定.

本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

2.【答案】B

rm=2k

【解析】解：因为方〃后，则存在实数k使得方=k另，即1=kzi,

\3=k

m=6

n=1,所以%=6+,=18.

3n3

{k=3

故选:B.

根据空间向量平行的坐标表示求解即可.

本题主要主要考查空间向量共线的性质，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：令尤="0.1,则靖=0.1,所以p为真命题,

若。与％相互垂直，贝弦—a2=0,

解得a=+^/~2＞故q为假命题，

所以只有pA(「q)为真命题.

故选：B.

确定命题p,q的真假，然后由复合命题的真值表判断.

本题主要考查了复合命题真假的判断，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：对于4a=0,b=—1满足a>b,但a?=0<b2,所以“a>b”不是“a?>b2"成

立的充分条件，故A错误；

XX

对于B,命题p：V%£R,2>0,则*:3x0eR,2«<0,故8错误；

对于C,相关关系越强，相关系数|r|越接近于1,当负相关时，相关系数r越接近于-1,相关关系

越强，故C错误；

对于D,已知回归直线方程y=2X-0.4,且1=2,则亍=3.6,别除两个样本点(-3,1)和(3,—1)得

到新的回归直线的斜率为3,

新样本平均数9=智=25,7=要竺=4.5,则新的回归方程为y=3x—3,故。正确.

ooJ

故选：D.

对于4利用特殊值进行排除；对于B,根据命题的否定定义进行判断；对于C,相关关系越强，

相关系数惘越接近于1;对于。，求出剔除两个样本点(-3,1)和(3,-1)得到新的样本的平均数，再

进行求解.

本题主要考查了充分条件和必要条件的定义,考查了全称命题的否定，以及线性回归方程的性质，

属于中档题.

5.【答案】C

【解析】解：由题设，E(X)=np,D(X)=即(1一p),贝1J3np=10即(1一p),

所以P=A，

故选：C.

根据二项分布期望、方差公式及已知列方程求P即可.

本题主要考查二项分布的期望与方差公式，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：•.,当久=0时，函数/(%)=aex+b%取得最小值1,

•••/(0)=a=1,/'(0)=0,

因为/'(%)=aex+b,

所以r(0)=a+b=0,解得b=-1,

故/'(%)=ex-1,可得f'(l)=e-1.

故选：A.

根据已知条件求得a,b,进而求解结论.

本题考查了导数的综合应用，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能

力，是中档题.

设出切点坐标，求出原函数在切点处的切线方程，代入已知点的坐标，求得切点个数得答案.

【解答】

解：设切点P®),瞪靖。)，

由y=x2ex,得y'=2x-ex+x2-ex=(x2+2x)ex,

y'\x=x0=(瞪+2*o)e，。，

xx

则过切点的切线方程为y-x^e°=(就+2%0)e°(%-x0),

x

把(2,0)代入,可得一盼e*。=(%o+2x0)e°(2-%0),

x

整理得，xoe°(XQ-x0-4)=0.

%o=0或瑶-x0-4=0,

方程以-%0-4=0的判别式^=17>0,方程有两个不等非0根，

则经过点(2,0)作曲线y=/蜻的切线有3条.

故选：C.

8.【答案】B

【解析】解：因为X〜N(20,25),故〃=20,<1=5,因为小明的游戏时间最多15分钟，

故需求P(X<15)=P(X<20-5)=—(“寿X.+")=0.1587.

故选：B.

根据题意，小明最多有15分钟的游戏时间，结合〃=20,。=5,即求P(XW15)的值，结合P(〃-

X<4+。)=0.6827即可求解.

本题考查正态分布的性质及应用，属于基础题.

9.【答案】C

【解析】解：依题意，从7名医生中抽调3人的所有可能结果共有的=35（种）,

至少有1名男医生参加的事件包含的结果共有戏量+ClCl+废=31（种），

所以至少有1名男医生参加的概率为

故选：C.

据题意，由组合数公式计算从7名医生中抽调3人的所有可能结果，计算至少有1名男医生参加的

事件包含的选法，由古典概型公式计算可得答案.

本题考查古典概型相关知识，属于基础题.

10.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查点到平面的距离的求法，是中档题.解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理

运用.

以4为原点，以垂直4c的直线为无轴，以2C为y轴，以441为z轴，建立空间直角坐标系，则同=

（孕a=a,a）,同=（0,aJ）,西=（0,0,9，设平面的法向量元=（x,y,z）,由元•福=0,元.

AD=0,知元=由向量法能求出C1到平面4B1D的距离.

【解答】

解：以4为原点，以垂直4C的直线为x轴，以4C为y轴，以441为z轴，建立空间直角坐标系，

ABC-是各条棱长均等于a的正三棱柱，。是侧棱CG的中点,

Z(0,0,0)，(~Y~见]，o),。(°，a>2),

C](0,CL,a)，

.•.鬲=(?a/a,a)，前=(0,a,沙西二(0,0,今，

设平面ABi。的法向量元=(%,y,z),

vn•AB；=0,n-AD=0,

yT3aa

-y-x+-y+az=n0

(ay+=0

:.n=(Vs,1,-2)

Q到平面的距离d=噜生

a_V_2a

―V3+1+4—4

故选A.

11.【答案】B

【解析】解：因为V%1，x6[l,e]当均<%2时，都有ln?<矶的一刀2),

2f儿2

所以V%],到W[Le],当％i<%2时，都有—lnx2<Q%i—a%2.

所以V%i，&e[Le],当％i<%2时，都有ETI%I—axr<lnx2—ax2»

令尸(%)=Inx—ax,xE[l,e],

所以V%i，x2E[l,e],当％i<%2时，都有产(%i)VF(%2)，

所以玖%)在[l,e|上单调递增，

所以任意工F'Cx)>0,

——、1

所以任意x€[l,e],--a>0,

所以任意％6[l,e],a<(：)加71，

又x€[l,e],(^)min=

所以a4工，

e

所以a的最大值为工，

e

故选:B.

由V%〉X2W[l，e]，当％1<血时，都有InmVa(%i-％2),得V%>x2E[1,e],当％i<%2时，都

人2

有仇%i—axr<lnx2—ax2f令F(x)=Inx—ax,xG[1,e],则V%i，x2G[Le]，当汽i<外时，

都有尸(石)〈尸(女)，可得F(%)在[l,e]上单调递增，即任意久W[l,e],Fz(x)>0,即可得出答案.

本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题.

12.【答案】B

【解析】解：因为=Inaxelna,所以,axelna=beb,

构造函数/(%)=xex,则/(伍a)=Inaxelna,f(b)=bxeb,

即"a)=/(b),

xx

f(x)=xe+e9显然当％>0时,/'(%)>0,即f(%)在％W(0,+8)上单调递增;

因为b>0,又alna=beb,所以ma>0.

因为/(ma)=f(b),

所以"a=b.

则刍=粤，即求粤的最大值，

azazaL

因为b>0,且b=Ina,所以a>1.

构造函数g(a)=瞿，a>1.

则g(a)=F^=F-

令1-2"a=0,解得a

当可时，g'(a)>。，g(a)单调递增，

当aE[，~^,+8)时,g^a)<0,g(a)单调递减.

所以。=北时，g(a)取最大值，

gO='

故选:B.

因为abta=Inaxelna,所以"axelna=beb,通过构造函数求导可知，b=Ina,则刍=粤，

azaL

再构造函数求导即可.

本题考查了导数的综合应用，解题时要注意先统一变量，再求最值，属于中档题.

13.【答案】13

【解析】解：二项式(工—七)6的展开式的通项公式为：图+]=C式

令6—，r=0,求得r=4,

所以展开式的常数项为盘(-I]=15.

故答案为：15.

在二项展开式的通项公式中，令x的事指数等于0,求出r的值，即可求得常数项.

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.

14.【答案】—4

【解析】

【分析】

根据题意，计算可得/(乃=2%+2/(1),令x=l分析可得尸(1)=—2,即可得/0)=2x—4,

将x=0代入计算可得答案.

本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题.

【解答】

解：根据题意，f(x)=x2+2xf(l),则f'(x)=2久+2f'(l),

令％=1可得：尸(1)=2+2尸(1),解可得「(1)=-2,

则((%)=2%-4,

则((0)=-4;

故答案为：-4.

15.【答案】(—2,2]

【解析】解:因为/'(X)=/+2/-4%+5,

所以((%)=3X2+4X-4=(3X-2)(久+2),

令尸(%)>0,可得工<一2或%>|；令尸⑸<0,可得—2〈尤<|,

所以函数/。)的单调递增区间为(一8,-2)、(|,+8),单调递减区间为(—2月，

所以的极大值为f(—2)=13,

令/(%)=13,即％3+2x2—4%—8=0,即(％+2尸(％—2)=0,解得％=±2,

作出函数/(%)的大致图象如下图所示：

由题意可得｛鲁-6<-2<m；解得一2<小<2,

所以实数机的取值范围为(-2,2].

故答案为:(-2,2].

利用导数可得到函数/(%)的单调性和极值，作出其图象，根据图象可得关于血的不等式组，解出

即可.

本题考查导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】②③④

【解析】解：建立如图空间直角坐标系,

设Q(2,a,0),其中0WaW2,C(0,2,0),(0,0,2),

所以近=(-2,2-a,0),D^Q=(2,a,-2),

若棱AB上存在点Q,使得QCLDiQ,则近•员"=0,

整理得(a-1/+3=0,此方程无解，①不正确；

设2B的中点为K,则四边形PHKE是边长为小的正方形，其外接圆的半径为「=1,

又FK，底面4BCD,所以三棱锥F-EPH的外接球的半径为R=Vr2+1=C，

所以其表面积为8兀，②正确；

过点E,F,G作正方体的截面，截面如图中六边形所示，

因为边长均为。，且对边平行，所以截面六边形为正六边形,

1

其面积为S=2-xV2xV2xsm60°=3V3,③正确;

点M在平面BBiGC内，设M(爪,2,几)，

则4(2,0,2),4(2。0),G(0,2,1),"(1,2,0),B(2,2,0),

A^M=(jn-2f2fn-2)fAG=(-2,2,1),丽=(1,0,—1),通=(0,2,0)

设五=Q,y,z)是平面4GH的一个法向量，贝啦,亚=0,

m-GH—0

11

令z=1可得％=l,y=即元=(1,-,1),

因为〃平面/GH,所以不羽•元=0,即血+九=3,

设与4B所成角为凡贝ijcos。=对篦=./：

V2m2-6m+9

2cQ

当m=5时，y=2m2—6m+9取最小值,，

所以与AB所成角的余弦值的最大值为亨，故④正确；

故答案为：②③④.

根据题意，建立空间直角坐标系，设出Q点坐标，求出满足题意的位置即可，经计算可知Q点不存

在，可判断①；根据三棱锥F-EPH的几何特征，可计算出其外接球半径为可判断②；由

图可知，过点E,F,G的截面为边长是，攵的正六边形，即可计算其面积，可判断③；利用空间

向量写出与2B所成角的余弦值的表达式求其最值即可，可判断④.

本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题.

17.【答案】解：(1)在(1—x)(l+x)4的展开式中，含/项的系数是依

/的项可分成前式取/项后式取常数项，前式取%项后式取x项，

则b=C4—C4=2.

(2)根据(1)知,b=2,

7

(2—2x)7=a0+arx+—Fa7x,

令％=1,则0=CLQ++…+(I7，(J)

令》=—1,贝！］4‘=a。一a1+…一的，(2)

(T)+得：劭+。2+。4+。6=5X4，，

①—②得：+的+。5+@7=X(-47),

11

故(。0+g+。4+怒>++03+05+电)^=(-X47)3—(―X47)3=0.

【解析】(1)，的项可分成前式取久2项后式取常数项，前式取久项后式取%项，即可求出R

(2)通过赋值法分别求解00++。4+。6，%.+。3+。5+。7，再代入式子计算即可.

本题考查二项式定理的应用，属于基础题.

18.【答案】解：(1)零假设“°：产品的质量与设备改造无关，

2_400(120x50—150x80)2

—200x200x270x130

400

=鳌右10.256>6,635,

根据小概率值0.01的独立性检验，推断％不成立，即认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下,

该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；

(2)由题意得X的可能值为1,2,3,

z-'l/"»2Q/"*2Z-'lZ-Z->3Z->0]

P（X=1）=黄=m，P（X=2）=^=mP（X=3）=^=-1

・•.X的分布列为:

X123

361

P

101010

故数学期望E(X)=lx^+2x^+3x^=1.

【解析】(1)先计算K2,再根据独立性检验思想，即可得出答案；

(2)根据超几何分布的性质可得分布列，根据期望公式，即可得出答案.

本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中

档题.

19.【答案】解：⑴当q为真命题时，m<xl-2%在无。e［0,3］上有解,

所以m〈(就一2%o)max，当X=3时，y=就一2%0有最大值3,

所以m<3,

所以实数m的取值范围为(-8,3］；

(2)当p为真命题时，

当7n=0时，y=Ini=0,定义域为R,满足题意；

当m。0时,要使y=ln(mx2—mx+1)的定义域为R,

则｛7>°2/解得0<血<4,

综上可知：山的取值范围是［0,4),

因为pvq为真命题且pAq为假命题，

所以p，q一真一假，

当P真q假时，解得3<m<4,

当P假q真时，或小24,此时巾<o,

综上，m的取值范围是(一8,0)u(3,4).

【解析】(1)分离参数，转化为求函数的最大值问题，从而求出小的取值范围；

(2)当命题q为真时根据m=0,m40进行分类讨论，注意借助/与0的大小关系，求出m的取值范

围，然后通过含逻辑联结词的复合命题的真假判断出p,q的真假，由此求解出m的取值范围.

本题主要考查复合命题及其真假，属于基础题.

20.【答案】解：(1)证明：过点C作CE1AB于点E,如图所示:

••・四边形4BCD为等腰梯形，AB\\CD,AD=DC=1,

1

・・.BE=p

又BC=AD=1,^CEB=90°,贝此ABC=60。，

0

itAABC中，由余弦定理得=AB2+CB2-2AB-CB-COSZ60=1+4—2=3,

：.AC2+CB2=AB2,即△ABC是直角三角形,

•••AC1BC,

XXC1PC,BCCPC=C,BCu平面PBC,PCu平面P8C,

•••AC1•平面PBC,

又ACu平面ABC。，则平面48CD_L平面PBC；

(2)由⑴得AC1平面PBC,PBIBC,则建立以C为原点的空间直角坐标系C—xyz,如图所示:

AD=DC=1,AB=2,则a(C,O,O),B(O,1,O),P(0,l,2C),£>(?,—^,0)，

.•・丽=(?，6，0)，而=(0，1，2",成=C，-1,-2「)，

设平面PC。的一个法向量为元=(x,y,z),

则回•元=?7y=。，取％=i,则y=),zT

CP•n=-y—2y/~~3z=0

・•・平面PCD的一个法向量为元=—

设直线PA与平面PCD的夹角为a,

•••sina=|cos<PA,几>|=-737=,

4X--

故直线pa与平面PCD所成角的正弦值为第；

34

【解析】(1)利用线面垂直和面面垂直的判定定理，即可证明结论；

(2)由(1)得4C，平面PBC,PB1BC,则建立以C为原点的空间直角坐标系C-xyz,利用向量法，

即可得出答案.

本题考查直线与平面垂直和直线与平面的夹角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能

力和运算能力，属于中档题.

1+2+34-4+59.5+8.6+7.8+7+6.1

21.【答案】解：(1女==3,y==7.8,

55

E?=i(爸—%)2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5—3)2—10,

-y)2=(9.5-7,8)2+(8.6-7.8)2+(7.8-7,8)2+(7-7.8)2+(6.1-7,8)2=7.06,

Sf=1(Xj-x)(y；-y)=-8.4,

r=/—842_1

V10x7.06

相关系数近似为-1,说明y与％负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合y与％的关

系；

(2)由(1)中数据，得b=逞2=寺=一0.84,