非正弦周期电路分析下半年

非正弦周期电路分析下半年6-1非正弦周期信号的傅里叶级数分解在实际电气系统中，经常会遇到非正弦的激励源问题，例如电力系统的交流发电机所产生的电动势，其波形并非理想的正弦曲线，而是接近正弦波的周期性波形。即使是正弦激励源电路，若电路中存在非线性器件，也会产生非正弦的响应。在电子通信工程中，遇到的电信号大都为非正弦量，如常见的方波、三角波、脉冲波等，有些电信号甚至是非周期性的。谐波分析法将非正弦激励分解为一系列不同频率正弦量的分析方法。背景第2页,共66页，2024年2月25日，星期天分解合成非正弦周期信号分解和电路分析方法介绍:计算直流和正弦交流分析第3页,共66页，2024年2月25日，星期天1）当电路激励源为直流电源或单一频率的正弦交流电源时，可采用直流电路和正弦交流电路（相量分析）的计算方法。总结:非正弦周期信号一系列不同频率的正弦分量每一频率正弦交流电计算一系列不同频率的响应分量合成分解计算合成2）当激励源为非正弦周期电源时，分析方法为：叠加定理第4页,共66页，2024年2月25日，星期天第5页,共66页，2024年2月25日，星期天第6页,共66页，2024年2月25日，星期天第7页,共66页，2024年2月25日，星期天第8页,共66页，2024年2月25日，星期天第9页,共66页，2024年2月25日，星期天第10页,共66页，2024年2月25日，星期天第11页,共66页，2024年2月25日，星期天第12页,共66页，2024年2月25日，星期天在实际工程计算中，由于傅里叶级数展开为无穷级数，因此要根据级数展开后的收敛情况、电路频率特性及精度要求，来确定所取的项数。一般只要取前面几项主要谐波分量即可。例如，对于上述方波展开的傅里叶级数表达式，当取不同项数合成时，其合成波形画于下面的图中。由图可见，当取谐波项数越多时，合成波形就越接近于原来的理想方波，与原波形偏差越小。第13页,共66页，2024年2月25日，星期天函数对称性与系数关系第14页,共66页，2024年2月25日，星期天第15页,共66页，2024年2月25日，星期天第16页,共66页，2024年2月25日，星期天第17页,共66页，2024年2月25日，星期天指数形式的傅里叶级数第18页,共66页，2024年2月25日，星期天第19页,共66页，2024年2月25日，星期天第20页,共66页，2024年2月25日，星期天第21页,共66页，2024年2月25日，星期天第22页,共66页，2024年2月25日，星期天第23页,共66页，2024年2月25日，星期天从振幅频谱图可看出，周期信号的频谱图是一系列离散的谱线组成的，所有谱线都出现在基波频率ω1的整数倍的频率上。周期信号的这种频谱称为离散频谱。从频谱函数表达式中可看出，当脉冲重复周期增大时，基波频率将变小，谱线之间的间隔缩小，同时振幅也随之减小。当T无限增大时，谱线将趋于无限密集，即从离散趋于连续，而幅值却趋于无穷小，这时周期信号也已转化为非周期信号。第24页,共66页，2024年2月25日，星期天6-2非正弦周期信号电路的稳态计算

(1)把给定的非正弦周期激励源分解为傅里叶级数表达式，即分解为直流分量与各次谐波分量之和，根据展开式各项收敛性及所需精度确定所需谐波项数。

(2)分别计算直流分量和各频率谐波分量激励下的电路响应。直流分量用直流电路分析方法，此时电感短路、电容开路；对于不同频率的正弦分量，采用正弦电路相量分析计算方法，这时需注意电路的阻抗随频率而变化，各分量单独计算时应作出对应电路图。

(3)应用叠加定理把输出响应的各谐波分量相加得到总的响应值，注意叠加前应把各谐波响应表达成时域瞬时式(因为不同频率的相量式相加是无意义的)。计算过程的主要步骤：第25页,共66页，2024年2月25日，星期天第26页,共66页，2024年2月25日，星期天第27页,共66页，2024年2月25日，星期天基波分量第28页,共66页，2024年2月25日，星期天三次谐波分量第29页,共66页，2024年2月25日，星期天第30页,共66页，2024年2月25日，星期天最后得到流经电阻的电流值为从计算结果可看出，电路对不同频率的分量呈现不同的特性。当三次谐波激励时，入端阻抗特别大，因此产生的电流分量较小，这是由于接近电路谐振频率点的缘故。第31页,共66页，2024年2月25日，星期天非正弦周期信号的有效值和功率对于非正弦周期信号电流i(t)，可展开为傅里叶级数前面已定义了周期信号的有效值为把根号内的平方展开，可得两类表达式：一类是同频率电流分量的平方，可计算得第32页,共66页，2024年2月25日，星期天第二类为不同频率的电流乘积，由三角函数的正交性可知，不同频率的两个正弦函数乘积在[0,T]上积分为零，即有于是可得周期非正弦交流电流的有效值为式中，Ik为各次谐波的有效值。第33页,共66页，2024年2月25日，星期天同理可推得非正弦周期电压有效值为非正弦周期信号的功率为将u(t)、i(t)展开式代入，其乘积的表达式由同频率正弦量与不同频率正弦量乘积组成，考虑到三角函数在[0,T]上的正交性，可推得第34页,共66页，2024年2月25日，星期天非正弦信号的平均功率等于各谐波信号平均功率之和。第35页,共66页，2024年2月25日，星期天第36页,共66页，2024年2月25日，星期天第37页,共66页，2024年2月25日，星期天第38页,共66页，2024年2月25日，星期天第39页,共66页，2024年2月25日，星期天第40页,共66页，2024年2月25日，星期天第41页,共66页，2024年2月25日，星期天6.3对称三相电路中的高次谐波在实际的电力系统中，三相发电机产生的电压往往不是理想的正弦波。电网中变压器等设备由于磁路的非线性，其励磁电流往往是非正弦周期波形，包含有高次谐波分量。因此在三相对称电路中，电网电压与电流都可能产生非正弦波形，即存在高次谐波。下面分析对称三相电路中(电路负载为三相对称线性负载，电源为三相对称电势)的高次谐波情况。非正弦三相对称电动势各相的变化规律相似，但在时间上依次相差三分之一周期，取A相为参考起点，则三相电势为第42页,共66页，2024年2月25日，星期天非正弦周期量展开为傅里叶级数(一般情况下，发电机三相谐波均为奇谐波)第43页,共66页，2024年2月25日，星期天基波、7次谐波分量各相振幅相等，相位差各为2π/3，相序变化依次为A—B—C—A，因此构成正序对称三相系统。可推得n=6k+1(k=0,1,2,…)次谐波分量都组成正序对称三相系统。第44页,共66页，2024年2月25日，星期天各相中五次谐波分量振幅相等，相位各差2π/3，但相序变化次序为A—C—B—A，故构成对称三相负序系统。可推得n=6k-1(k=1,2,…)次谐波均组成负序系统。第45页,共66页，2024年2月25日，星期天各相中三次谐波分量振幅相等、相位相同，这样的三相系统称为对称零序三相系统。可知n=6k+3(k=0,1,2,…)次谐波均构成零序系统。这样三相非正弦周期对称电势中的各个同频率分量可分成正序、负序和零序三个不同的系统。第46页,共66页，2024年2月25日，星期天对称非正弦三相电路的求解方法Y—Y无中性线连接方式相电压与线电压的关系如果电源相电压中含有高次谐波，由于线电压为两个相电压之差，如uab=ua-ub，由前面各相展开式可以得出以下结论（2）而对于零序分量，由于其幅值相等、相位相同，在线电压中将不包含这些谐波分量。（1）对于正序和负序系统的各次谐波分量，其线电压有效值是对应相电压分量有效值的倍第47页,共66页，2024年2月25日，星期天电源相电压有效值第48页,共66页，2024年2月25日，星期天Y—Y有中性线系统基波分量激励时由于中性点间电压，计算时可采用单相图求得A相电压电流值，然后直接写出B、C相的电压电流值。同理凡是正序系统的各次谐波，均可用这种方法计算。此时中性线电流为零。第49页,共66页，2024年2月25日，星期天负序系统的五次谐波分量中性点间电压为仍然可以采用与基波分量相同的单相图计算，当得出A相电压电流后，依次写出B、C相电压电流，只是需注意相序为C相滞后A相2π/3，B相滞后C相2π/3。第50页,共66页，2024年2月25日，星期天三相三次谐波电动势可见在计算A相三次谐波电流时，A相电路等效阻抗为即包含一个3倍中性线阻抗的附加阻抗值。第51页,共66页，2024年2月25日，星期天计算三相三次谐波的单相计算图B相、C相电压电流与A相完全相同。中性线电流是相电流的3倍。零序系统中其余谐波分量的计算方法与此相同。第52页,共66页，2024年2月25日，星期天Y—Y联结无中性线电路无零序分量电流。原因：零序分量的各相电压大小相同、相位相同负载相电流与相电压均不包含零序谐波分量。由于相电压等于线电压，而线电压中不包含零序分量，所以负载相电压和相电流不含零序分量，线电流中也不含零序分量。第53页,共66页，2024年2月25日，星期天

联结的非正弦周期三相电源系统△联结的环路中存在电动势其有效值为零序谐波分量会在环路中产生一个很大的谐波电流。

在△联结的三相电源中，环流在每相绕组内阻抗上的压降等于该相零序电势的值，且方向相反，故△联结的电源线电压中不包含零序分量，可推知△一△联结的电路系统中负载上也不包含零序电压电流分量。’第54页,共66页，2024年2月25日，星期天6-4非周期信号的傅里叶变换周期信号的重复周期T无限增大周期信号就转化为非周期信号周期矩形脉冲波，当周期T趋于无穷大时，周期信号就转化为单个非周期脉冲。从例6—1—2的结果可知，此时信号频谱间隔趋于零，即谱线从离散转向连续，而其振幅值则趋于零，信号中各分量都变为无穷小。尽管各频率分量从绝对值来看都趋于无穷小，但其相对大小却是不相同的。为区别这种相对大小引入非周期函数的频谱函数。第55页,共66页，2024年2月25日，星期天进行傅里叶变换的函数需满足狄里赫里条件和绝对可积条件。第56页,共66页，2024年2月25日，星期天第57页,共66页，2024年2月25日，星期天第58页,共66页，2024年2月25日，星期天6-5电路的频率特性分析1)非正弦周期信号中的不同谐波频率分量，其电路响应有不同特征。2)相同振幅不同频率的信号，由于电路在不同频率下的特性不同，其响应信号的幅值相位都不同。3)当激励源频率变化时，输出响应与激励源的比值随频率变化的关系，称为电路的频率特性。第59页,共66页，2024年2月25日，星期天第60页,共66页，2024年2月25日，星期天第61页