八年级数学下册专项训练：中位线定理和直角形三角形斜边上的中线（30题）（解析版）

【专项训练】中位线定理和直角形三角形斜边上的中线（30题）1．如图，在△ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．【答案】解：如图，延长BD交AC于点F．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠FAD．∵BD⊥AD，∴∠ADB=∠ADF=90°．∴∠ABD=∠AFD．∴AB=AF，BD=DF．∴D是BF的中点．∵AC=10，AB=6，∴FC=AC-AF=AC-AB=10-6=4．∵E为BC的中点，∴DE为△BFC的中位线．∴DE=1【解析】【分析】做辅助线，根据等腰三角形三线合一的性质可得D是BF的中点，通过线段的加减可得FC，再根据中位线定理即可解得DE。2．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AC=20，BC=18，求四边形DECF的周长．【答案】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AC=20，BC=18，∴DE=CF=12AC=10∴四边形DECF的周长=DE+CF+DF+CE=10+10+9+9=38．【解析】【分析】利用三角形中位线的性质可得DE=CF=12AC=103．如图，在▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是BE、DF的中点，试判断四边形MFNE的形状，并证明之．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，又∵AE＝CF，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF，∴M、N分别是BE、DF的中点，∴EM＝12BE＝1而EM∥NF，∴四边形MFNE是平行四边形．【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC，易求DE＝BF，结合DE∥BF可证四边形BEDF是平行四边形，利用平行四边形的性质可得BE＝DF，利用线段的中点可求出EM＝NF，结合EM∥NF，根据平行四边形的判定即证.4．如图，已知等边△ABC的边长为4，点D、E分别是AC、BC的中点，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，求DF的长．【答案】解：∵等边△ABC的边长为4，∴AC=BC=AB=4∵点D、E分别是AC、BC的中点，∴DE∥AB∴∠DEC=∠B=60°∵DE⊥DF∴∠F=30°∴DF=【解析】【分析】利用等边三角形的性质，可求出AB的长及∠B=60°，再利用三角形的中位线定理可证得DE∥AB及DE的长，利用平行线的性质可求出∠DEC=60°，然后根据含30°角直角三角形的性质求出DF的长.5．已知：如图，在△ABC中，CF平分∠ACB，CA=CD，AE=EB.求证：EF=1【答案】证明：∵CA＝CD，CF平分∠ACB，∴CF为AD边上的中线，∴F为AD的中点，又AE＝EB，∴E为AB中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF＝12【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得F为AD的中点，由AE＝EB可得E为AB中点，则EF为△ABD的中位线，然后根据三角形中位线的性质进行证明.6．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=55°，求∠ADC的度数。【答案】解：连结BD.

∵点E，F分别是边AB，AD的中点，∴BD=2EF=12，EF∥BD，∴∠ADB=∠AFE=55°∵BD2+CD2=225，BC2=225，∴BD2+CD2=BC2∴∠BDC=90°

∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=145°。【解析】【分析】连接BD，利用已知可证得BD是△ABD的中位线，利用三角形的中位线定理可证得EF∥BD，同时可求出BD的长；利用平行线的性质可求出∠ADB的度数，再利用勾股定理的逆定理证明∠BDC=90°，然后根据∠ADC=∠ADB+∠BDC，代入计算可求出结果.7．如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作等腰△ABM和等腰△CAN，AM=ABAC=AN，∠MAB=∠CAN.D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF.求证：DE=EF。【答案】证明：如图，连结BN，CM.∵AM=AB，AC=AN，∠MAB=∠CAN，∴∠MAB+∠CAB=∠CAN+∠CAB，即∠MAC=∠BAN.∴△MAC≌△BAN（SAS）.∴MC=BN.又∵D，E，F分别为MB，BC，CN的中点，∴DE=12MC，EF=12BN，

【解析】【分析】连结BN，CM，利用等腰三角形的性质及等边对等角可推出∠MAC=∠BAN，利用SAS可证得△MAC≌△BAN，利用全等三角形的性质可证得MC=BN；再利用三角形的中位线定理及等量代换可证得结论.8．如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC，BD于点F，G，连结AC交BD于点O，连结OF。求证：AB=2OF。【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF又∵CE=DC，∴AB=EC在△ABF和△ECF中，∵∠BAF=∠CEF∴△ABF≌△ECF（ASA），∴BF=CF又∵OA=OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB=2OF【解析】【分析】利用平行线的性质可推出AB=CD，AB∥CD，OA=OC，可推出∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF，再利用ASA证明△ABF≌△ECF，利用全等三角形的对应边相等可证得BF=CF，由此可得到OF是三角形的中位线，利用三角形的中位线定理可证得结论.9．加图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE=2，CD=25【答案】解：∵在RtΔABC中，∠ACB=90∴DE∥BC，∵点D为AB中点，∴DE为△ABC的中位线，又DE=2，∴BC=4，在RtΔDCE中，DE=2，CD=25由勾股定理得CE=C∴在RtΔBCE中，由勾股定理得：BE=B【解析】【分析】先证明DE∥BC，根据平行线性质可证得DE为△ABC的中位线，求得BC，再根据勾股定理求得CE和BE即可.10．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC上的点，连接BE、DE，∠ADE=∠AED，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点.求证：FG=FH.【答案】证明：∵∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∵AB=AC，∴AB-AD=AC-AE，即DB=EC.∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点，∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，∴FG=12BD∴FG=FH【解析】【分析】由∠ADE=∠AED，可得AD=AE，由AB=AC，利用等式的性质求出DB=EC，根据三角形中位线定理可得FG=12BD，FH=11．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，求MN的长度．【答案】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，在△BNA和△BNE中，∠ABN=∠EBNBN=BN∴△BNA≌△BNE，∴BA=BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），∴MN是△ADE的中位线，∴MN=12∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12，∴DE=BE+CD﹣BC=5，∴MN=12DE=5【解析】【分析】先利用“ASA”证明△BNA≌△BNE可得BA=BE，证出△BAE是等腰三角形，同理证出△CAD是等腰三角形，利用线段的和差可得DE=BE+CD﹣BC=5，再利用中位线的性质可得MN=12DE=512．如图，在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD的中点，连接EF交BD、AC于P、Q，取BC中点G，连EG、FG，求证：OP＝OQ.【答案】证明：∵E，G为AB、BC中点，∴EG＝12∴∠FEG＝∠OQP，同理，FG＝12∴∠EFG＝∠OPQ，∵AC＝BD，∴EG＝FG，∴∠FEG＝∠EFG，∴∠OPQ＝∠OQP，∴OP＝OQ.【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到EG=12AC，EG∥AC，FG=113．如图，依次连接四边形ABCD四边的中点E,F,G,H，得到的新四边形EFGH是什么四边形？请证明．【答案】解：四边形EFGH是平行四边形，理由如下：连接BD∵E，H分别是AB，AD的中点∴EH∥BD，EH=1同理FG∥BD，FG=1∴EH∥FG且EH=FG∴四边形EFGH是平行四边形【解析】【分析】连接BD，根据三角形中位线定理，再判定平行四边形即可．14．已知：在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE相交于G，求证：GF=GC.【答案】证明：如图所示：取BE的中点H,连结FH、CH，是AE的中点，H是BE的中点,∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH∥AB且FH=12又∵点E是DC的中点，∴EC=12∴FH=EC，又∵AB∥DC，∴FH∥EC，∴四边形EFHC是平行四边形，∴GF=GC.【解析】【分析】取BE的中点H,连结FH、CH，根据三角形中位线的判定和性质可得FH∥AB且FH=12AB，再由点E是CD的中点，可得EC=115．如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．【答案】解：在△AGF和△ACF中，∠GAF=∠CAFAF=AF∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG=AC=6，GF=CF，则BG=AB﹣AG=8﹣6=2．又∵BE=CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF=12【解析】【分析】根据角平分线的定义得出∠GAF=∠CAF，然后利用ASA判断出△AGF≌△ACF，根据全等三角形对应边线段得出AG=AC=6，GF=CF，根据线段的和差，由BG=AB﹣AG算出BG的长，然后根据三角形的中位线等于第三边的一半得出EF=1216．如图，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝l2，AD＝13，点E是AD的中点，求CE的长．【答案】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∵AB＝3，BC＝4，∴AC=AB∵CD＝12，AD＝13，∵AC2+CD2＝52+122＝169，AD2＝169，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠C＝90°，∴△ACD是直角三角形，∵点E是AD的中点，∴CE＝12AD=1【解析】【分析】由勾股定理求出AC=5，再利用勾股定理的逆定理可判断△ACD是直角三角形且∠C=90°，根据直角三角形斜边中线的性质可得CE＝1217．如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠BAC=72°，过C作CF∥AB，连接AF与BC相交于点G，若GF=2AC，求∠BAG的度数．【答案】解：取FG的中点D，连接CD，如图所示．设∠F=x°，∵∠B=90°，CF∥AB，∴∠BAG=x°，∠BCF=90°，∴DC=DF=DG．又∵GF=2AC，∴AC=DC=DF=DG，∴∠ADC=∠DAC=2x°．∵∠BAC=72°，∴3x°=72°，∴∠BAG=∠F=x°=24°．【解析】【分析】取FG的中点D，连接CD，设∠F=x°，利用平行线的性质可表示出∠BAG的度数，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得DC=DF=DG，结合已知条件得AC=DC=DF=DG，利用等边对等角及三角形的外角和定理可表示出∠ADC，∠DAC，然后利用∠BAC=72°，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出∠BAG的度数.18．如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点．求证：FM⊥DE。【答案】证明：如图，连接EM、DM，

∵∠BEC=90°，

∴EM=12BC，

同理DM=12BC，

∴EM=DM，

∴△DME为等腰三角形，

∵F是DE的中点，

∴【解析】【分析】连接EM、DM，根据直角三角形斜边中线的性质得出EM=12BC，DM=119．如图，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED=∠B，求证：AE=BC.【答案】证明：延长CD到F使DF=CD，连接AF，如图∵CD是△ABC的中线，∴AD=BD，在△ADF与△BCD中，AD=BD∠ADF=∠BDC∴△ADF≌△BDC（SAS），∴∠F=∠BCD，BC=AF，∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，又∵∠AED=∠B∴∠AED=∠BCD，∵△ADF≌△BDC，∴∠F=∠BCD，∴∠AED=∠F，∴AE=AF，∵BC=AF，∴AE=BC.【解析】【分析】延长CD到F使DF=CD，连接AF，根据中线的性质可得AD=BD，证明△ADF≌△BDC，得到∠F=∠BCD，BC=AF，根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=BD，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠BCD，结合已知条件可得∠AED=∠BCD，根据全等三角形的性质可得∠F=∠BCD，推出AE=AF，然后结合BC=AF进行证明.20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD＝3∠BCD，点E是AB的中点．求∠CED的度数．【答案】解：设∠BCD=x，则∠ACD=3x∵∠ACB=90°∴x+3x=90°解得x=22.5°∵CD⊥AB∴∠BDC=90°∴∠B=90°-22.5°=67.5°∵点E是AB的中点∴BE=CE∴∠B=∠BCE=67.5°∴∠CED=180°-2×67.5°=45°答：∠CED的度数为45°【解析】【分析】设∠BCD=x，则∠ACD=3x，根据∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°列出方程，解之即得∠BCD的度数，利用∠B=90°-∠BCD的度数，由线段的中点可得BE=CE，利用等边对等角可得∠B=∠BCE，根据三角形的内角和即可求出∠CED的度数.21．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，DE=23，求FC【答案】解：∵AF⊥BC，点D是AB的中点，DF＝3∴AD=BD=DF=3∴AB=6∵点D、E是AB、AC的中点，DE=2∴BC=2DE=43且∵∠ADE=30°∴∠ABC=∠ADE=30°∴AF=∴BF=∴FC=BC-BF=【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理得到BC//DE，得到∠ABC=∠ADE=30°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可。22．如图，在四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，∠BAD=90°，AO=2，CD=3，BC=7.ΔBCD【答案】解：ΔBCD是直角三角形.在ΔABD中∵∠AED=90°，点O是BD的中点，AO=2∴BD=2AO=4又∵∴C∴ΔBCD是直角三角形且∠BCD=90°，【解析】【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BD=2AO=4，再根据勾股定理的逆定理即可得到△BCD是直角三角形.23．如图，RtΔABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，点E是AD的中点，求CE的长.【答案】解：在RtΔABC中，∠B=90°∵∴AC===5∵∵AA∴A∴∠C=90°∴ΔACD是直角三角形∵点E是AD的中点，∴CE=【解析】【分析】首先在Rt△ABC中，应用勾股定理求出AC的值，然后利用勾股定理逆定理推出△ACD为直角三角形，最后根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半求解即可.24．如图，在□ABCD中，BC=2AB，M是AD的中点，CE⊥AB，垂足为E，求证：∠DME=3∠AEM.【答案】解：如图，设CM与BA相交于点N∵四边形ABCD是平行四边形，M是AD的中点∴△CMD≌△NMA∴AN=CD，∠ANM=∠MCD，又BC=2AB∴BC=BN即∠BNC=∠BCN又∠EMD是△AEM的外角，∠EAM=∠BCD∴∠DME=∠AEM+∠EAM=∠AEM+∠BCD=∠AEM+∠BCN+∠DCM=∠AEM+∠BNC+∠DCM=∠AEM+2∠BNC又CE⊥AB∴EM是Rt△CEN中斜边上的中线∴EM=MN∴∠AEM=∠BNC∴∠DME=3∠AEM【解析】【分析】设CM与BA相交于点N，证明△CMD≌△NMA，得到AN=CD，∠ANM=∠MCD，根据BC=2AB，得到BC=BN，根据等边对等角有∠BNC=∠BCN，根据三角形外角的性质得到∠DME=∠AEM+∠EAM=∠AEM+2∠BNC，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到EM=MN则∠AEM=∠BNC，即可证明.25．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E为AC中点，点F为BD中点.求证：EF⊥BD【答案】证明：如图，连接BE、DE，∵∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E是AC的中点，∴BE=DE=12∵点F是BD的中点，∴EF⊥BD【解析】【分析】连接BE、DE，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=DE=1226．如图，在△ABC中，E点是AC的中点，其中BD＝2，DC＝6，BC＝210，AD＝26【答案】解：∵BD2+CD2＝22+62＝（210）2＝BC2，∴△BDC为直角三角形，∠BDC＝90°，在Rt△ADC中，∵CD＝6，AD＝26，∴AC2＝（26）2+62＝60，∴AC＝215，∵E点为AC的中点，∴DE＝12AC＝【解析】【分析】由题目给的数值可得到BD2+DC2=BC2，根据勾股定理逆定理可得△BDC为直角三角形且∠BDC=90°，则在△ADC中根据勾股定理得到AC的长，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得到DE的长。27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=13【答案】解：连接CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中点，∴CM=12∵M、N分别是AB、AC的中点，∴MN=12∵CD=13∴MN=CD，又MN∥BC，∴四边形NDCM是平行四边形，∴DN=CM=3．【解析】【分析】连接CM，根据直角三角形的性质求出CM，根据三角形中位线定理得到MN=1228．已知，如图，∠ABC=∠ADC=90°，M，N分别是AC，BD的中点．求证：①BM=DM；②MN⊥BD．【答案】①证明：如图，连接BM、DM，∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，∴BM=DM=12∴BM=DM；②∵点N是BD的中点，BM=DM，∴MN⊥BD．【解析】【分析】①连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM=12AC；②29．如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB的距离为0.7米，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移动多少距离？（2）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．【答案】解：（1）在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BO=0.7m，则由勾股定理得：AO=2.5∴OC=2m，∵直角三角形CDO中，AB=CD，且CD为斜边，∴由勾股定理得：OD=