近代教案资料

环与域环是具有两种代数运算的代数系，它是近世代数中一个重要分支，本章介绍环的一些初步理论。加群与环的定义抽象群的代数运算到现在为止我们都用乘法的符号来表示，但是我们知道，一个代数运算作什么符号来表示是没有关系的，一个交换群的代数运算，在某种场合之下，用加法的符号来表示更为方便。定义一个交换群叫做加群.假如我们把这个群的代数运算叫做加法,并且用符号+来表示。因此加群的加法适合结合律，个元的和有意义，这个和我们有时用符号来表示：一个加群的唯一的一个单位元我们用0来表示，并把它叫做零元。元的逆元我们用来表示，并且把它叫做的负元，元我们简写成。由这两个群的定义及交换群的性质，有以下计算规则：是加群，那么是子群。定义一个集合叫做一个环。满足下列条件：（，+）是一个加群;是半群;两个分配律成立。记例1整数集关于数的加法、乘法作成一个环，称为整数环。偶数集2关于数的加法、乘法也作成一个环，称为偶数环。同样有理数集Q，实数集，复数集C关于数的加法、乘法都作成一个环。我们通常把数集关于数的加法、乘法所作成的环称为数环。例2数环上全体阶矩阵所组成的集合关于矩阵的加法、乘法作成一个环，称为R上的阶全阵环。例3数环上全体一元多项式组成的集合[x]关于多项式的加法、乘法作成一个环，称为上的一元多项式环。例4设是一个加群，0是其零元，规定：，则作成一个环，这个环称为零环。例5设是虚数单位}，证明；Z{i}关于数的加法、乘法作成一个环。此环称为高斯整环。例6证明：商集关于加法运算与乘法运算作成一个环。此环称为模的剩余类环。下面给出环的一些基性质：因为环是一个加群，所以上面关于加群的性质都成立，即由于两个分配律及负元的定义,还有:。交换律、单位元、零因子、整环下面我们讨论一些特殊的环。一、交换环定义一个环R叫做一个交换环，如果。在一个交换环里，对于任意正整数及任意元都有定义一个环R有一个元叫做单位元，若。则称R是有单位元的环。一般情况下，一个环不一定是交换环，也不一定存在单位元，如上述的全阵环是一个非交换环，偶数环是一个无单位元的环。而整数环是一个交换环且有单位元。即存在可交换的有单位元的环。一个环如果有单位元，则单位元是唯一的，记1（区别于数1）。如果R有两个单位元,则。在有单位的环里，规定。同时规定一个元（对乘法来说）的逆元如下.定义一个有单位元的环，如果。则叫做的逆元。一个有逆元的逆元是唯一的（如果有的话）。如果有两个逆元，则有,。一个有单位元的环中的元未必有逆元,如整数环是一个有单位的环,但除外其它的元都没有逆元。全阵环的可逆阵有逆元,非可逆阵则没有逆元。如果元有逆元,那么这个唯一的逆元用表示。且规定:,则有下列公式成立,。二、零因子在整数环中，有即，而在全阵环中，同理在中，当不是素数时，，则，但。定义在一个环R里,存在但有,则称是环R的一个左零因子,是R的一个右零因子。当R是一个交换环时,左零因子也是右零因子,在非交换环中,左零因子不一个定是右零因子。如整数环不存在零因子,当是素数时,也不存在零因子.如果一个环R存在零因子,则称R是有零因子环,当R不存在零因子时,称R是无零因子环.如全阵环是非交换且有零因子的环。零因子是否存在与消去律是否成立有直接关系。定理无零因子环满足左(右)消去律证明:如果,设因为是无零因子环,所以,即。如果,设有。反之,如果,则由消去律成立有,所以是无零因子环。推论在一个环里,如果有一个消去律成立,则另一个消去律也成立。证明:由一个消去律成立,得是无零因子环,因此有另一个消去律成立.三、整环以上我们讨论了一个环可能附加的三种条件:可交换;有单位元;无零因子,当然一个环不一定同时具有三种附加条件,但也有一些环同时具有上述三种条件,如整数环。定义一个环满足下列条件:乘法适合交换环;有单位元1;无零因子,则叫做一个整环。如整数环;数域;数域上的一元多项式环都是整环,而偶数环;整数环上的全阵环、模12的剩余类环都不是整环.例P895证明:(R,+)是加群(对加法运算:封闭;结合律;有0元;有负元;可交换);是半群(对乘法运算:封闭;结合律);两个分配律是环.对乘法有:交换律;有单位元;无零因子是整环。作业:P892,3除环、域一个环的任一个元不一定有逆元,下面讨论的除零以外的元都有逆元的环.如={},规定:.则是一个环,且的唯一的一个元有逆元。但当环至少含有两个元时,则情况就不同了。中存在的非零元,且有,所以0没有逆元。而Q对普通的加法与乘法来说作成的环除0元以外,其余的任一元都有逆元。一、除环定义一个环满足下列条件:至少含非零元;有一个单位元;的每一个非零元都有逆元.则称是除环(体,斜域)。定义一个交换除环称为域。除环与域具有下列性质:1、设环至少含有两个元素,则是除环则中全体非零元素组成的集合关于乘法作成群;2、根据除环的定义,是除环对加法是一个交换群(加群);对乘法是群;两个分配律成立。3、除环是无零因子环;(因为,若,则)4、在除环中中,,方程都有解;(因为当时,上述方程中都有唯一解,而0不是上述方程的解;当时,上述方程只有零解)5、一个至少含有两个元素的且没有零因子的有限环是除环(证明留作习题);6、一个交换除环是域,是加群;分配律成立；7、一个有限整环是域。例一个模的剩余类环是域是素数;证明:若是素数,要证是域。因为是有单位元[1]的有限交换环,所以只要无零因子。,设,则,于是,因为是素数,所以即,因此无零因子。若,则||=1,从而不是域。若不是素数而是合数,则有零因子,从而不是域,因此若是域,则是素数。在域中,,我们将这两个相等的元素记作,并称除以的商。这样可以得到域中元素的一些计算方法:设则;;;例P931(由定义证明)证明满足：加群;有非零元;有单位元1;交换律、结合律、分配律成立;每个非零元都有逆元.各种环之间的关系:域以后我们用的最多的是整环和域。无零因子环的特征在一个环、域中,是否存在,使。如,若是素数,则是一个除环,因此也是域,在这个域里有,但在中,这样的元不存在在。这是因为,一个环,对加法运算是加群,因此是一个群,每一个元都有阶,若元的阶很大,则,都有,若的阶是有限整数,则。对于一个环的非零元是否有是由的阶而定的。而一个群的不同的元的阶是不同的。可能是有些元是有限的,有些是无限的,但在一个没有零因子的环里就不同了。定理1在一个无零因子环里,所有的非零元对加法来说阶都是一样的。证明如果的每个非零元的阶都是无限的,则结论成立。若有某个非零元的阶是有限整数,另一个非零元,则,,而是无零因子环,,即:的阶的阶。同理的阶的阶.所以中所有非零元的阶均相等。定义一个无零因子环的非零元的相同(对加法来说)阶叫做环的特征,记。(若环的每个元的阶都是无限的,则称的特征为零,即,因为对于一个环来说非零元的特征不可能是零)定理2设是一个环，且，则：当是有单位元的环时，是满足的最小正整数；当是无零因子环时，是素数。证明设是使的最小正整数，则，，所以是满足足条件的最小正整数。设,那么对的一个非零元有,,而,与是无零因子环矛盾。推论整环、除环、域的特征或是无限(0)或是一个素数。在一个特征是的交换环里,。作业：P932,3,P971子环、环的同态定义一个环(除环、整环、域)的一个非空子集对于环(除环、整环、域)的加法与乘法运算来说构成环(除环、整环、域),则称是环的子环(子除环、子整环、子域),是的扩环,记。对于任意的环,都有两个子环:{0}与。这两个子环称为的平凡子环,且,则称是的非平凡子环.若,且则称是的真子环,记作。由子环的的定义与子群,子半群的判别方法,我们得到:定理1设是一个环,是的非空子集,则是的子环；设是一个子除环(域),是的非空子集,则是的子除环(域)。例1。例2实数域上的一元多项式环中,所有常数组成的集合是的一个子环;所有常数项为零的一元多项式组成的集合也是的子环。例3在实数域上的2阶全阵环中,则及都是的子环。例4一个环的可以同每一个元可交换的元作成的集合构成一个子环(证明留作习题).这个子环称为环的中心。由子环的定义,有定理2设是的子环,是的子环,则是的子环.注意:当是的子环时,与在：是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不完全一致。当是交换环时,是交换环,当是交换环时,未必是交换环,如例3中的环是非交换环,而其中心是可交换环;当是无零因子环时,则也是无零因子环,当有无零因子环时,未必是有零因子环,如例4中是有零因子的环,而其子环是无零因子环;当有单位元时,可以没有单位元,如整数环有单位元1,便其子环(偶数环)没有单位元;而例3的全阵环有单位I,但其子环没有单位;当有单位元时,可以没有单位元,如例3中没有单位元,但其子环有单位元;当与都有单位元时,它们的单位元可以不同,如例3中全阵环有单位元I,但其子环有单位元。例5一个环的两个子环的交是子环。定义设都是环,是环到环1的映射,若保持运算,即有则称是到1的同态映射。若是单射,则称是单同态;若满射,则称是满同态,并称与1同态,记～1;若是双射,则称同构,并称与1同构,记。特别,当1=时,与同态(同构)又称自同态(自同构).例1如是环到1的同态,称零同态;是Z到的满同态;是到的满同态。定理3设是到1的满同态。(1)是环，则也是环；(2)若是环，0是的零元，则是1的零元；(4)若是环，(课本定理1为它的特例);(5)若是环，则；(6)若环可交换，则1可交换；(7)环有单位元，则1有单位元，且1的单位元为。其余性质不一定保持,如零因子等。若两个环是同构的,则它们的代数性质完全一样,我们有定理4若两个环,则：是整环(除环、域)1是整环(除环、域)引理设在集合与1之间存在一个一一映射,并且有加法和乘法运算,那么可替1规定加法和乘法,使与1同构。证明设在给定的映射之下,的元与1的元对应,规定:若,则,若,则,则这样规定的法则是1的加法和乘法运算,且是到1的同构映射,所以与1同构。定理5(挖补定理)设是环的一个子环,在里的补足集合(-S)与另一个环没有共同元素,且。则存在一个与同构的环,且是的子环。证明设,,,在同构映射之下,令,则易证是到的同构映射,因为是环,由定理3得也是环,且是的子环。作业,P1011,2补充题:1、设是交换环,令,证明是的子环。2、证明，是整数环Z的子环，并求。多项式环设是有单位元的交换环(整环),是的子环(子整环)且含有的单位元.在中取出一个元,有意义且是的一个元。定义设是有单位元1的交换环(整环),，一个可以写成形式的的元叫做上的的一个多项式,叫做多项式的系数。表示上的的多项式组成的集合,在上规定加法、乘法运算如下:则构成一个环。定义叫做上的的多项式环。的计算正是高等代数中多项式的计算,那么对于任意的来说,不全为零,可能有。定义设是有单位元的交换环(整环),的一个元叫做上的一个未定元,如果在里找不到不全为零的元使。若是上的未定元,则称为上的一元多项式环。称为上的一元多项式。叫做这个多项式的次数(零多项式没有次数)。对于给定的来说,未必含有的未定元。如或为整数环,是高斯整环,则的任意元有,所以在上无未定元。定理1给定了一个有单位元的交换环,一定存在上的未定元,因此也就有上的多项式环存在。证明(分三步证明这个定理)令,并规定:易证作成一个有单位元的交换环.零元是,的负元是,单位元是。2、令,则是到的一个映射,且,若,即,于是,从而是单射。又有：因此是到的单同态。令,则是的子环,且。由构造知,。由挖补定理,存在环使。由于环是有单位的交换环,从而也是有单位的交换环,且的单位元就是的单位元。3、令,用归纳法可证:下面证明是上的未定元。设在中，，，则在中有：即，从而。因此是上的未定元。以上所说的多项式的概念可加以推广。我们看一个有单位元的环和它的一个子环,包含的单位元,我们从中取出个元来,那么我们可以作上的的多项式环,然后作上的的多项式环。这样下去,可以得到,这个环包含所有可以写成:(1)(但只有有限个)形式的元。定义一个可以写成(1)形式的元叫做上的的一个多项式.叫做多项式的系数。环叫做上的的多项式环。这个环我们也用符号表示。在环里,两个多项式相加、相乘与数域上多元多项式的运算相同。因此我们可以类似的定义元多项式与多项式环.定义的个未定元叫做上的无关未定元。如果任何一个上的的多项式都不会等于零,除非这个多项式所有的系数都等于零。定理2给定了一个有单位元的交换环同一个整数,一定有上的无关未定元存在,因此也就有上的多项式环存在。此定理可用归纳法证明。定理3设与都是有单位元的交换环上的多项式环,是上的无关未定元,是上的任意元,那么与同态。证明令,可证明是到的同态映射。例1设F是一个域,证明:是上的向量空间。例2设是模11的剩余类环,在中计算:([5]3+[2]-[7])([7]4-[6]3+[3]+[4])。解([5]3+[2]-[7])([7]4-[6]3+[3]+[4])=[3]+[3]+[2]4+[7]3+[6]2-[2]+[5]作业:P1091,2理想我们已经知道什么叫做子环,这一节我们要讨论一种特别重要的子环,就是理想子环。这种子环在环论里的地位同不变子群在群论中地位类似。定义设是一个环,是的子加群(),若有,则称是的左理想;若有,则称是的右理想;若即是的左理想,也是的右理想,则称是的(双侧)理想。记。若,且,则称是的真理想。由理想的定义可知,理想一定是子环,而子环不一定是理想.例1是的右理想,而不是左理想;是的左理想而不是右理想;即不是左理想也不是右理想。(P1136)例2任一个环都有两个理想:{0}(零理想)与(称为单位理想)。有的环除了这两个理想外没有其它的理想,如定理1一个除环只有两个理想,就是零理想与单位理想。证明设是的一个理想而不是零理想,那么,因为是理想,由定义,因而的任意元,也就是说。因此理想这个概念对于除环与域没有多大用处。一般来说,一个环除了以上两个理想外还有其它的理想。例3一个交换环,那么一个固定的元的所有倍数作成的一个理想。时，；等于环上的多项式环,时，。以上两个理想不是零理想也不是单位理想,一个只有零理想和单位理想的环称为单环。所以除环和域就是单环。例4设,则,。证明由，所以，从而，，存在使得，从而有，由是理想，所以有，可得给了一个环,我们可以用以下的方法来作一些的理想。我们在里任意取出一个元来,利用我们作一个集合:则是的一个理想,且是包含的最小的理想。证明,,,有,所以是的理想.设也是的一个包含的理想,则,,所以,即,所以是最小的。定义称为一个由生成的主理想,记.1、当是交换环时:；2、当有单位元时:；3、当有单位元的交换环时:；上述例3的,例4的。例5证明：整数环Z的每个理想都是主理想。证明设，且，则存在，则，若是中所有正整数组成的集合，则是自然数集的一个非空子集，则最小数原理存在最小数，对任意，由带余除法有，因，所以，由的假设有，从而。即任一个理想都是主理想。主理想推广:,是的任意个元,则是包含的最小理想。证明由例4知是理想,设也是的包含的理想,所以,从而,即。定义若,则称是由生成的理想。记4、当是有单位元的交换环时:；例6设是整数环,则中不是主理想,而有理数域上多项式环的理想是主理想。证明设,那么,所以,由,由,所以。但是有单位元的交换环,所以由4应有,显然此等式不成立。而,所以。例7设是交换环,令,证明:。证明因为，所以，有,所以;,由是交换环,有,所以,即。例8P1135证明由已知,因的理想是一个子环,所以对加法来说也是子群,又因为对于加法来说是一个循环群,所以的子环对加法来说是一个循环群。即的理想只能是:；；；；易证都是的理想.所以的所有理想都是主理想.作业:P1131,2,4剩余类环、同态与理想给了一个环与环的一个理想，就加法来说是一个加群，所以是可换群。是的一个不变子群，由第二章的讨论，可将的陪集记，作为一个分类，我们把这些类叫做模的一个剩余类。由这个类决定了的元间的一个等价关系，这个等价关系用符号，因为是一个加群，所以一个类，即。把所有的剩余类组成一个集合记并规定以下两个运算：，，可证明这两个运算是的两个代数运算。由此规定的运算可得一个与群论中平行的3个定理。定理1设是一个环，是的一个理想，是所有模的剩余类作成的集合，那么按上述的代数运算也是一个环，且与同态。证明设自然映射：，则易证(在群论中已证明自然映射是满射且保持加法运算，由定义有，即保持乘法运算。从而是同态满射)是到的同态满射。所以与同态。因为一个环，所以也是环。定义叫做环的关于模的剩余类环；称为R模A的剩余类。推论若R是变换环，则也是变换环；若R是的单位元的环，则也的单位元[1]。例1求整数环Z关于主理想的商环。解由商环的定义得此商环为例2求实数域上一元多项式环关于主理想的商环。解若,则有相同的常数项，而当有相同的常数项时有,可得此商环为。即所有常数项相同的多项式属于同一类，常数项不同的不属于同一类。例3求高斯整环关于主理想的商环。解设，则而同奇偶，所以有同奇偶；反之，若同奇偶，则存在整数使得，从而。所以当同奇偶时，；当一奇一偶，则，而所以。由此可得此商环为定理2一个环R与它的每一个商环同态。定理3(同态基本定理)设与1是两个环，且～1，则同态映射的核是的一个理想，且1。证明（是的一个理想），有，，所以，设，则，所以，即是的一个理想。（1）令，因为由，所以有，即，映射与代表选择无关。即是到1的一个映射，是满射，，即使，所以是满射，因有又因，有，所以到1的一个同构映射。即1例1证明:证明令,容易证明是到的满同态,且,于是,由同态基本定理,证明二令,则由例2可知是到的自然同态映射,而其中的理想是,也就是说映射的核是,由同态基本定理得结论成立.定理4设是环到1的同态满射，则：的子环的像1是1的子环；的理想的像是1的理想；1的子环1的逆像是的子环；1的理想的逆像是的理想。证明设是的像,那么使，即，因是子环，所以，即，同理有，因，所以，所以是子环。设是的像,那么由上述的证明,有，又，是满射，，使，所以，因，所以，同理，所以是1的理想。设是的逆像,那么,有,即,有,即,所以是的子环。设是的逆像,那么由上述的证明,,有,有,所以有,,因是理想,,有,所以是的理想。设是环到环的同态,由高代中已证明的有:是单同态;是满同态。例3除环到任意环的非零同态都是单同态。证明由定理3,除环到任意环的同态核都是除环的理想,而除环只有平凡理想,因此同态核是零理想,从而同态是单同态。作业:最大理想定义一个环的一个不等于的理想叫做一个最大理想,如果除了同自己以外,没有其它包含的理想。或定义设是环的一个真理想,若对于的理想,,则称是的最大理想。由定义,中包含最大理想的理想只有两个与。注意,环本身不是的最大理想。又若只有平凡理想,则零理想是的最大理想。例1(例1)设,是素数,证明:是最大理想。证明设,又,且,所以存在但,即,所以,从而使,因,又,所以,即,所以。由例1可见,一个环可以有多个理想。而除环与域只有唯一的一个最大理想。引理1设是环的一个理想,则是的最大理想当且仅当剩余类环只有平凡理想。证明设是环到的同态满射。是的最大理想,是的理想,且,那么由上一节定理3,在之下的的逆像是的理想,因为,而的逆像正好是,即,由有,所以,也就是。所以只有平凡理想。反之,设是包含的一个理想,且,因为是的一个理想,是到的同态满射,由上一节定理3,的像是环的一个理想,由,得.因为只有平凡理想,所以,即=。引理2一个有单位元的交换环只有平凡理想,那么是一定是域。证明,有不是的零理想,由假设。因而,但的元都可以写成的形式,所以,即的每个非零元都有逆元,所以是一个域。由引理1,引理2可得下列定理定理设是一个有单位元的交换环,是的一个理想,是域是最大理想。证明若是域，则只有平凡理想，由引理1，是最大理想；反之，若I是最大理想，由引理1，只有平凡理想，而环R的单位元1所在的类[1]是剩余类环的单位，由R可交换得剩余类环可交换，由引理2，是域。这样,给了一个有单位元的交换环,只要找到的一个最大理想,就可以得到一个域。例2证明:是实数上一元多项式环的最大理想。证明由上一节例1