衍射原理及分析

衍射原理及分析衍射原理与分析§3-1晶体学知识回顾§3-2劳埃方程式简介§3-3简单点阵的衍射分析§3-4复杂点阵的衍射分析第2页,共52页，2024年2月25日，星期天晶体学知识回顾

均匀性：晶体内部各个部分的宏观性质是相同的。各向异性：晶体在不同的方向上具有不同的物理性质。固定熔点：晶体具有周期性结构，熔化时，各部分需要同样的温度。规则外形：理想环境中生长的晶体应为凸多边形。对称性：晶体的理想外形和晶体内部结构都具有特定的对称性。1.晶体性质：第3页,共52页，2024年2月25日，星期天

刚玉

邻苯二甲酸氢锗酸铋电气石第4页,共52页，2024年2月25日，星期天2.晶体结构与空间点阵（术语回顾）晶体(crystal)

：内部质点在三维空间作规则排列的物质。空间点阵（Lattice）：一种表示晶体内部质点排列规律的几何图形。空间点阵的要素：1）结点（points）：空间点阵中的点，它代表晶体结构中的原子、分子等相同点。2）行列：结点在直线上的排列。它相当晶体上的晶棱或晶向。3）面网：结点在平面上的排列。它相当于晶体上的晶面4）单位点阵（平行六面体）：空间点阵中的一个最小重复单元。5）点阵参数或晶体常数：三个晶轴上的结点间距a,b,c三条晶轴之间的夹角α,β,γ第5页,共52页，2024年2月25日，星期天根据6个点阵参数(a、b、c、α、β、γ)间的相互关系，可将全部空间点阵归属于7种类型，即7个晶系。按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，布拉菲用数学方法推导出能够反映空间点阵全部特征的单位平行六面体只有14种。这14种空间点阵也称布拉菲点阵。第6页,共52页，2024年2月25日，星期天7大晶系布拉菲点阵晶系布拉菲点阵晶系简单三斜三斜简单六方六方简单单斜底心单斜单斜简单菱方菱方简单正交底心正交体心正交面心正交正交简单四方体心四方四方简单立方体心立方面心立方立方第7页,共52页，2024年2月25日，星期天

The14possibleBRAVAISLATTICES

{note:thatspheresinthispicturerepresentlatticepoints,

notatoms!}立方正方斜方六方单斜三斜菱方4种单元结构简单、体、面、底7大晶系14种布拉菲点阵第8页,共52页，2024年2月25日，星期天3、晶体学指数结点：晶体中原子的位置晶向：晶体中原子列的方向晶面：原子构成的平面结点指数：[[mnp]]晶向指数：[uvw]晶面指数:(hkl)Miller（密勒）指数：统一标定的晶向指数和晶面指数第9页,共52页，2024年2月25日，星期天结点指数结点指数：[[mnp]]任意阵点P的位置可以用矢量或者坐标来表示。OP=m+n+p第10页,共52页，2024年2月25日，星期天晶向指数正交晶系一些重要晶向的晶向指数双击显示晶向指数的确定方法：A、过坐标原点找一条平行于待定晶向的行列。B、在该行列中任选一个结点，量出它在三个坐标轴上的坐标值（用a,b,c度量）C、将它们化为简单的整数u,v,w，并用方括号括起来，便构成晶向指数[uvw]。第11页,共52页，2024年2月25日，星期天晶面指数正交点阵中一些晶面的面指数

确定方法：A、量出待定晶面在三个晶轴的截距，并用点阵周期a,b,c度量它们。B、取三个截距系数的倒数C、把它约简化为最简的整数（hkl）。第12页,共52页，2024年2月25日，星期天阵点的坐标表示●以任意顶点为坐标原点，以与原点相交的三个棱边为坐标轴，分别用点阵周期（a、b、c）为度量单位四种点阵类型简单体心面心底心◆简单点阵的阵点坐标为000第13页,共52页，2024年2月25日，星期天◆底心点阵，C除八个顶点上有阵点外，两个相对的面心上有阵点，面心上的阵点为两个相邻的平行六面体所共有。因此，每个阵胞占有两个阵点。阵点坐标为第14页,共52页，2024年2月25日，星期天◆体心点阵，I除8个顶点外，体心上还有一个阵点，因此，每个阵胞含有两个阵点，第15页,共52页，2024年2月25日，星期天◆面心点阵。F除8个顶点外，每个面心上有一个阵点，每个阵胞上有4个阵点，其坐标分别为第16页,共52页，2024年2月25日，星期天晶带：空间点阵中，所有平行于某一直线的一组晶面的组合称为一个晶带。该直线称为晶带轴。已知一晶面（hkl）和它所属的晶带（uvw），有下式成立：hu+kv+lw=0-----晶带定律已知：两晶面，求两晶面相交的晶带轴；两晶带，求两晶带决定的晶面。4、晶带、晶面间距和晶面夹角第17页,共52页，2024年2月25日，星期天晶面间距的计算正交晶系：a≠b≠c正方晶系：a=b≠c立方晶系：a=b=c

将布拉格方程2dhklsinθ=nλ改写为2（dhkl/n）sinθ=λ，令dHKL=dhkl/n，则2dHKLsinθ=λ这样就把反射级数n隐含在dHKL之中，布拉格方程变为永远是一级反射的形式。第18页,共52页，2024年2月25日，星期天晶面夹角的计算立方晶系：第19页,共52页，2024年2月25日，星期天§3-3简单点阵的衍射分析简单点阵：单胞中只含一个原子的点阵。衍射分析：衍射线的分布特点与晶体结构的关系分析。如果被测物质具有简单立方结构，那么由各衍射线对求出的sin2θ或1/d2

的比例数列==干涉指数平方和(H2+K2+L2)的比例数列，这一比例数列为整数比例数列。而其它晶系的点阵，均不具备这个特点第20页,共52页，2024年2月25日，星期天§3-4复杂点阵的衍射分析是否有衍射，关键在于是否干涉？衍射（Diffraction）又称为绕射，光线照射到物体边沿后继续在空间发射的现象。如果采用单色平行光，则衍射后将产生干涉结果。相干波在空间某处相遇后，因位相不同，相互之间产生干涉作用，引起相互加强或减弱的物理现象。衍射的结果是产生明暗相间的衍射花纹，代表着衍射方向（角度）和强度。

干涉(interference)为两波重叠时组成新合成波的现象。

第21页,共52页，2024年2月25日，星期天复杂点阵：单胞中含有两个以上原子的点阵一、复杂点阵与简单点阵衍射的异同

1、任何复杂点阵都是由相同并平行的若干简单点阵组合而成的。如BCC包含两个简单立方点阵，FCC包含四个简单立方点阵，而每个简单立方点阵可能的衍射方向是完全相同的。所以复杂点阵的衍射可看作是各个简单点阵相同方向的衍射线干涉的结果。

2、由于各个简单点阵的衍射方向完全相同，合在一起，当然不会增加新的方向。所以复杂点阵的衍射方向不会多于简单点阵衍射方向，却可能在某些方向上正好发生相消干涉，使其衍射方向减少。第22页,共52页，2024年2月25日，星期天实际遇到的一个晶胞中常常有多个不同的原子，它们对X射线产生的散射波频率是相同的，但由于不同原子产生的散射波振幅不同，原子在晶胞中的相对位置不同产生的散射波位相也不同。而整个晶胞的对X射线的散射波是晶胞中所有原子对X射线散射波的合成。在运算上，用复数的方法更为简单一些。二、复杂点阵的衍射第23页,共52页，2024年2月25日，星期天在复平面上，用一个向量的长度A代表波的振幅，用向量与实轴的夹角φ表示波的位相。于是这个波向量可用三角函数形式表示为：

E=Acosφ+iAsinφ根据欧拉公式，也可以用更简单的指数函数形式写为

E=Aeiφ于是多个向量的合成的新向量就可写成：第24页,共52页，2024年2月25日，星期天假定一个晶胞中有n个原子，它们的坐标分别为u1v1w1、u2v2w2……unvnwn；每个原子的原子散射因子分别为f1、f2、f3……fn

；它们的散射波的振幅为Aef1、Aef2、Aef3……Aefn各原子散射波与入射波的位相差分别为φ1、φ2、φ3、……φn

则n个原子的散射波互相叠加合成的整个晶胞的散射波的振幅Ab为：第25页,共52页，2024年2月25日，星期天以一个电子散射波的振幅作为单位来度量一个晶胞的散射波的振幅，则有：FHKL称为结构因子(结构振幅)，即晶体结构对衍射的影响因子。它的大小由晶胞中原子的种类、数目及排列方式决定。第26页,共52页，2024年2月25日，星期天

把按欧拉公式展开,则

X射线衍射中衍射线的强度正比于振幅的平方,即I∝|F|2第27页,共52页，2024年2月25日，星期天§4-2结构因子FHKL电子对X射线的散射作用包括相干散射（汤姆逊散射）和非相干散射相（康普顿散射）。由于电子是散射X射线的最小单元第28页,共52页，2024年2月25日，星期天一、一个电子对X射线的散射（极化因子）

2θRPZYX入射X射线I0电子O一束强度为I0的X射线沿OX方向传播，在O点碰到电子发生散射，那么距O点距离为R、OX与OP夹2

角的P点的散射强度为：汤姆逊公式Ie-一个电子散射的X射线的强度;I0-入射X射线的强度E-电子电荷m-电子质量，c-光速R-电场中任一点P到发生散射电子的距离2θ-散射线方向与入射X射线方向的夹角第29页,共52页，2024年2月25日，星期天一束射线经电子散射后，其散射强度在各个方向上是不同的：沿原X射线方向上散射强度（2

＝0或2

＝π时）比垂直原入射方向的强度（2

＝π/2时）大一倍。

说明X射线经电子散射后，散射线被偏振化了，偏振化的程度取决于2θ角，所以把称为偏振因子（极化因子）。

公式讨论：第30页,共52页，2024年2月25日，星期天二、一个原子对X射线的散射（原子散射因子）

原子是由电子及原子核组成的，原子核也具有电荷，所以原子核也应该散射X射线。从汤姆逊公式可知，散射强度与引起散射的粒子质量的平方成反比。原子核的质量是电子质量的1840倍（则一个原子的散射强度只有电子的1/18402

），所以原子核引起的散射线的强度极弱，可以忽略不计。原子散射仅指原子中所有电子对X射线的散射。第31页,共52页，2024年2月25日，星期天假定原子中的电子都集中在一点同时振动，则它们的质量为Zm，总电荷为Ze。其散射线强度为：一个原子的散射即一个原子对X射线的散射强度是一个电子对X射线的散射强度的Z2倍。第32页,共52页，2024年2月25日，星期天结论：

一个电子对X射线散射后空间某点强度可用Ie表示，那么一个原子对X射线散射后该点的强度：

f―原子散射因子第33页,共52页，2024年2月25日，星期天三、单胞对X射线的散射及结构因子

对于简单晶胞，每个晶胞只含有一个原子，所以简单晶胞的散射强度与一个原子的散射强度相同。对于复杂晶胞，由于原子的位置及种类影响衍射线强度，某些衍射线可能消失，或使其强度减弱。第34页,共52页，2024年2月25日，星期天1、系统消光(a)(b)(a)简单点阵（001）面的剖面图(b)体心点阵（001）面的剖面图CCAABBEFDθθθθ11223第35页,共52页，2024年2月25日，星期天由于原子在晶体中位置不同或原子种类不同而引起的某些方向上衍射线消失的现象---系统消光。事实再次说明，并不是所有满足布拉格方程的反射面都有衍射线存在，即：产生衍射必须满足布拉格方程，但是在满足布拉格方程的方向上，却不一定都有衍射线存在。根据系统消光的结果以及通过测定衍射线的强度变化就可以推断出原子在晶体中的位置。引入结构因子--即晶体结构对衍射线强度的影响因子。第36页,共52页，2024年2月25日，星期天2、结构因子（结构因数）复杂点阵中，各原子占据不同的坐标位置，它们的散射振幅和位相各不相同，单胞中所有原子散射的合成振幅不可能等于各原子散射振幅的简单代数相加，为此，引入参量FHKL2--结构因数来表征单胞相干散射与单电子散射间的对应关系：定量表征原子排布及原子种类对衍射线的强度影响规律的参数---结构因子。第37页,共52页，2024年2月25日，星期天应用上式计算结构因数时，必须知道原子的种类，以求fj，晶胞中各类原子的数目及坐标位置。第38页,共52页，2024年2月25日，星期天现在我们通过合成波的强度公式来讨论复杂点阵的衍射问题。第39页,共52页，2024年2月25日，星期天（一）简单立方点阵

简单点阵单胞中只有一个原子，基点坐标为[[0、0、0]]，原子散射因数为f。则：

可见,简单点阵的结构因数与HKL无关,即HKL为任意整数时均能产生衍射,例如(100)、(110)、(111)、(200)、(210)、(211)、(220)等都有衍射线存在。第40页,共52页，2024年2月25日，星期天结论：对于简单立方点阵，HKL为任意整数时均能产生衍射因此，在依次增大的面指数（100）、（110）、（111）、（200）、（210）、（211）、（220）、（221）、（300）、（310）中都有衍射线存在.第41页,共52页，2024年2月25日，星期天（一）体心立方点阵

由两个简单点阵镶成，基点为，各简单点阵衍射波振幅相等，用f表示。则：1、当H+K+L=奇数时，I=0，无衍射线存在。如对（210）面，H+K+L=3，I=0，两个简单点阵衍射波在该方向上产生相消干涉，合成波强度为零，无衍射线产生。2、当H+K+L=偶数时，I=4f2

有衍射线存在。如对（420）面，H+K+L=6，I=4f2

，两个简单点阵衍射波在该方向上产生相长干涉，合成波强度为4倍的简单点阵的强度，即存在（420）衍射线。第42页,共52页，2024年2月25日，星期天结论：对于体心立方点阵，当H+K+L=偶数时，衍射线存在；当H+K+L=奇数时，衍射线不存在。因此，在依次增大的面指数（100）、（110）、（111）、（200）、（210）、（211）、（220）、（221）、（300）、（310）等顺序中存在衍射线的有（110）、（200）、（211）、（220）、（310）等，其比例数列sin2θi/sin2θ1=2:4:6:8等，或1：2：3：4等。其中缺14、30等数值。第43页,共52页，2024年2月25日，星期天（二）面心立方点阵面心立方点阵由四个简单点阵镶成，基点各简单点阵衍射波振幅相等，用f表示。则：I=f2{1+cosπ（H+K）+cosπ（H+L）+cosπ（K+L）}21、若H、K、L为同性数时，即同时全为奇数或同时全为偶数时，则由于H+K、H+L、K+L全为偶数，余弦项均为1，则I=16f2，即四个简单点阵衍射波在这些方向上产生相长干涉，使面心立方点阵的衍射波强度为简单点阵的16倍。2、若H、K、L为异性数时，即1奇2偶或1偶2奇时，则由于H+K、H+L、K+L总有两个是奇数，使余弦项之和为-1，则I=0，即发生相消干涉，合成波强度为零，无衍射线产生。第44页,共52页，2024年2月25日，星期天结论：对于面心立方点阵，H、K、L为同性数时，衍射线存在；H、K、L为异性数时，衍射线不存在。

“0”作为偶数。第45页,共52页，2024年2月25日，星期天

因此，在(H2+K2+L2)依次增大的面指数顺序中：（100）、（110）、（111）、（200）、（210）、（211）、（220）、（221）、（300）、（310）等中，存在衍射线的有（111）、（200）、（220）等，其比例数列sin2θi/sin2θ1=3:4:8:11等，或1：1.33：2.67：4等。第46页,共52页，2024年2月25日，星期天各点阵的特征比例数列简单点阵1：2：3：4：5：6：8：9：10：…体心立方1：2：3：4：5：6：7：8：9：…面心立方1：1.33：2.67：3.67：4：…