微专题比较大小讲义高三数学一轮复习

专题比较大小作商、差比较【方法】若两个待比较的代数式为同类型，可直接利用作差法，作商法，比较大小.【例1】若a=log23，b=log4A.a=b=c B.a<b<c C.b<c<a D.c<b<a解：2a=log23，2b=log∵3>6，2c又c，b都大于0，∴c<b．∴c<b<a，

故选：D．【例2】已知a=logπe2，b=lnπeA.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<b<a解：a=logπ⁡e2=lne2lnπ=2lnπ，

b=lnπe=lnπ−ln⁡e=lnπ−1，

c=ln【例3】已知a=log53，b=log138A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a解：∵a−34=log53−34=4log53−34=log581−log51254<0，∴a<34，

【例4】已知a=5，b=15(ln 4−ln 3)，A.a<c<b B.c<b<a C.b<a<c D.a<b<c解：先比较a与b大小，即比较1与3ln43大小，

比较13与ln43大小，比较e13与43大小，比较e与(43)3大小，

e>2.5，(43)3<2.5，∴e>(43)3，∴a>b，

比较b与c大小，先比较【练习】1．(2014高考数学四川理科·第4题)若，则一定有 ()A． B． C． D．2.(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第11题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则 ()A． B．C． D．二．基本不等式法比较大小【方法】利用基本不等式及其变形,比较大小.【例1】.设a=log53，b=logA.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b解：∵ab=log53log85=log53⋅log58<(log53+log58)24【例2】.设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是(

)A.2aba+b≥ab B.(a+b)1a解：对于A，因为a>0，b>0，所以

a+b≥2ab，当且仅当a=b时取等号，

所以a+b⋅ab≥2ab，

所以2aba+b≤ab，故A中不等式不成立；

对于B，a+b1a+1b=2+ba+ab≥2+2ba⋅ab≥1−3ab22a2·2b2+5ab=1−【练习】3.设f(x)=lnx，0<a<b，若p=f(ab)，q=f(a+b2)A.q=r<p B.p=r<q C.q=r>p D.p=r>q4.已知a>0,b>0，且2a+8b=1，则A.3a−4b>33 B.a三、性质法比大小【方法】1.直接利用不等式的性质、指数函数、对数函数与幂函数的性质比较大小.2.化为同分母或同底数、同指数、同真数的对数式和指数式，利用其单调性进行比较.3.借助中间值进行比较：函数类型、底数和真数都不一样,直接比较或利用函数性质判断有一定困难时,可以借助一个恰当的中间变量比较大小.4.借助对数运算的性质比较大小：对数的底数和真数都是较小的正整数,或者对数的真数和底数存在一定的倍数关系,则可采用对数运算的性质，进行化简变形，再比较大小.【例1】设a=0.540.45，b=0.450.54，A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.c>a>b解：因为f(x)=0.54x在R上递减，

所以1=0.540>0.540.45>0.540.54，

又因为ℎ(x)=x0.54在(0,+∞)上单调递增，所以0.540.54>0.450.54>0，

由1=0.540>0.540.45>0.【例2】已知定义在R上的函数fx=x⋅2x,a=flogA.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>b>a解：因为定义在R上的函数fx对于∀x∈R，都有f(−x)=−x⋅2所以函数fx=x⋅2当x∈(0,+∞)时，函数f(x)=x⋅2x，则所以函数f(x)=x⋅2x在因为a=f(log5由对数函数y=log5x(x>0)所以f(log52)>f(lo又因为ln72>lne=1>lo所以b>c>a，故选：B．【练习】5.已知x，y均大于0，ex+x=ey+2yA.log3x<log3y B.x−6.已知0<a<b，logax+logby<logA.当logab>0时，x>y B.当logab>0时，x<y

C.当logab<0时，x<y D.当四、构造函数比较大小（包含放缩法）【方法】1.单调性构造法：构造相同函数，比较不同函数值.2.作差、作商构造法：构造不同函数，比较相同函数值.通过作差、作商构造函数，研究单调性，比较函数值与0或1的大小关系.3.放缩法比较大小：放缩法与构造函数法相结合，利用等式两边形式上接近的特点，利用相关结论，进行适当放缩，使其在形式上一致，从而构造函数.常用结论：=1\*GB2⑴与指数型函数有关的常见不等式有：=1\*GB3①ex≥x+1，=2\*GB3②ex≥ex，=3\*GB3③当x∈0,1时，ex<11−x，=4\*GB3④ex≥1+x+12=2\*GB2⑵与对数型函数有关的常见不等式有：=1\*GB3①lnx≤x−1，=2\*GB3②lnx≥1−1x，=3\*GB3③lnx<x，=4\*GB3④当x∈0,1时，12x−1x<lnx<x−1；当x∈=3\*GB2⑶与三角函数有关的常见不等式有：=1\*GB3①当x∈0,π2时，sinx<x<tanx，=2\*GB3②当x∈0,+∞时，sinx<x，=3\*GB3③1−12x2【例1】若2a−A.3a−b>1 B.(13)b解：由2a−2b>lnb−lna，可得2a+lna>2b+lnb，

由于函数f(x)=2x+lnx在(0,+∞)上单调递增，

∴f(a)>f(b)，∴a>b>0，

∴3a−b>30=1，故A正确；

∵y=(13【例2】设a=e0.01，b=1.01，c=ln1.01，其中e为自然对数的底数，则(

)A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b解：令f(x)=ex−(x+1)，则f'(x)=ex−1，

当x≥0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以f(0.01)=e0.01−1.01>f(0)=0，即e0.01>1.01，

令g(x)=lnx−x，则g'(x)=1x−1=1−xx，

当x≥1时，【练习】7.设a=ln1.1,b=e0.1−1,c=A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<a<c8.若7a=5，8b=6，e2c=2+e2，则实数a，A.a>c>b B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c9.已知a，b，c满足a=sin13，b=e−13A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.a<c<b【解析】1.【答案】D解析：由，又，由不等式性质知：，所以2.【答案】ABD解析：对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD3.【答案】B设f(x)=lnx，0<a<b，即有a+b2>ab，

则p=f(ab)=lnab=12ln【答案】ABC对于A，因为a>0，b>0，且2a+8b=1，

所以2a−8b=2a−(1−2a)=4a−1>−1，

所以32a−8b>3−1=对于B，(2a+8b)2=2a+8b+22a∙8b=1+22a∙8b≤1+(2a+8b)=2，

当且仅当2a=8b，即对于C，log2(2a)+log2(8b)=log2(2a·8b)≤log2(2a+8b2)2=log对于D，已知a>0，b>0，且2a+8b=1，

所以(2a+8b)2≤2(2a)2+(8b)2，

即1≤8a2故选ABC．【答案】BD∵x，y均大于0，ex+x=ey+2y>ey+y，而f(x)=ex+x是增函数，∴x>y>0，

对于A，y=log3x在(0,+∞)上是增函数，∴log3x>log3y，故A错误；

对于B，y=x−23在(0,+∞)上是减函数，∴x−23<y−23【答案】B由0<a<b，logax+logby<logay+logbx，可得logaxy1−1loga又y>0，则x<y;

若0<a<1，则0<a<b<1，所以logab<1，则1−1logab<0,

所以logaxy>0=loga1,

所以0<xy<1，又y>0，则x<y，故B正确，A错误；

当logab<0时，又0<a<b，所以0<a<1，【答案】C令fx=ex−x+1，所以f'x=ex−1，

当x>0时f'x>0，当x<0时f'x<0，

即函数fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，

所以fxmin=f0=0，

即ex≥x+1，当且仅当x=0时取等号，

令x=0.1，可得b=e0.1−1>0.1，

令ℎ(x)=tanx−x，x∈(0,π2)，则ℎ'(x)=1cos2x−1>0，

∴ℎ(x)=tanx−x在x∈(0,π2)上单调递增，

∴ℎ(x)>tan0−0=0，∴x∈(0,π2)时，tanx>x．∴c=tan0.1>0.1，

令gx=lnx−x+1，则g'x=1x−1=1−xx，

所以当0<x<1时，g'x>0，当x>1时，g'x<0，

即函数gx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，

所以gxmax=g1=0，

即lnx≤x−18【答案】B∵7a=5，8b=6，

∴a=log75,b=log86，

∵

e2