新教材2021秋高中数学苏教版必修第一册学案：第3章从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

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3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

3.3.1从函数观点看一元二次方程

io

京会结合二次函数的图然判断一元二次方程实根的存在性及根的个数.了解函数的零点与方程根的关系.

。基础认知•自主学习《

概念认知

1.二次函数的零点

一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0（aw0）的根就是二次函数y=ax2

+bx+c（awO）当函数值取零时自变量x的值,即二次函数y=ax2+bx

+c（awO）的图象与x轴交点的横坐标,也称为二次函数y=ax2+bx

+c（a，O）的零点.

2.一元二次方程ax2+bx+c=0（aw0）的根、二次函数y=ax2+bx+

c（a，O）的图象、二次函数y=ax2+bx+c（a，O）的零点之间的关系（当

a>0时）

△=g—4ac△〉0△=0△<0

有两个相异的有两个相等的

方程a，+

实数根/1.2=实数根X1=JC

Zu、+c=()的2没有实数根

一〃士___b_

根VK

2a~~2a

二次函数.V

'/>.1

Vx\\r)\I//xx

+(•的图象2k

二次函数)有两个零点有一个零点

■ci.r2+b.r——〃士b无零点

VA7、=

+c的零点八一2a2cl

自我小测

1.若b2-4ac=0，则二次函数y=ax2+bx+c(awO)零点的个数为()

A.0个B.1个

C.2个D.无法确定

选B.因为b2-4ac=0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等

的实数根，所以二次函数y=ax2+bx+c有一个零点.

2.(教材二次开发：习题改编)二次函数y=(2x+l)(x-5)的零点为

11

A.5，-5B.-2,5

11

C.2,-5D.-2，m

1

以

-=5所

选B.因为方程（2x+1）（x-5）=0的两个根为xi=2X2

二次函数y=（2x+1）（x-5）的零点为J,5.

3.二次函数y=x2-2的零点所在的区间为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

选B.角星方程x2-2=0彳导，x=/,

其中1<啦<2.

4.若关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0无解，则a的取值范围

是（）

A.（-1,+°°）B.（-8,-1）

C・[-1,+8）D・（-1,0）U（0,+8）

选B.当awO时,只需△=4+4a<0,解得a<-1.故aG（-,-1）.

5.已知二次函数的图象如图所示，则此函数的零点为.

因为二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为-1,1,所以此函数

的零点为-1,1.

答案：-1,1

6.二次函数y=x2-ax的一个零点为2,则a=.

由题意,x=2是方程x2-ax=0的根,所以4-2a=0,解得a=2.

答案：2

7.若函数y=ax2-x-1仅有一个零点，求实数a的值.

⑴若a=0,则y=-X-1为一次函数，易知函数只有一个零点.

（2）若awO,则函数为二次函数，

若其只有一个零点，则方程ax2-x-1=0仅有一个实数根.故判别

1

式△=1+42=0,得2=--.

1

综上所述，当2=0或2=时，函数仅有一个零点.

会学情诊断•课时测评《

基础全面练

一、选择题

1.函数y=x2的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.无法判断

选B.由X?=0得,x=0.

建

铝0【加固训练】

函数y=x2-X-6的零点为（）

A.-2,3B.-3,2C.2,3D.-2,-3

选A.解方程x?-X-6=0,得Xi=-2,x2=3,所以-2,3是函数y

=x2-x-6的零点.

2.函数y=5x2+4x-1的零点的个数为（）

A.0个B.1个

C.2个D.无法确定

选C.考察方程5x2+4x-1=0,因为△=42-4x5x（-1）=36>0,所以

方程5X2+4X-1=0有两个不相等的实数根，所以二次函数有两个零

点.

3.函数y=9x2-12x+4的零点所在的区间为（）

A.（-2,-1）B.（-1,0）

C.（0,1）D.（1,2）

2

选c.由求根公式可得一元二次方程9X2-12X+4=0的根为x=§，所

以函数y=9x2-12x+4的零点所在的区间为（0,1）.

4.（多选）下列函数存在零点的是（）

A.y=x2-/x+1B.y=3x2-3x-1

C.y=x2+ax-2D.y=x2-4x+4

选BCD在A选项中,△=2-4<0,函数没有零点；B选项中,A=9+

12>0,函数有两个零点；C选项中，A=a?+8>0,函数有两个零点；

D选项中A=16-16=0,函数有一个零点.

5.已知函数y=x2+x-a的一个零点为2,则另一个零点是()

A.-3B.-2C.3D.6

选A.设函数的另一个零点为t，根据题意得2+1=-1,解得t=-3,

即另一个零点是-3.

6.二次函数y=£x2-ax+a-l(aeR)零点的个数为()

A.0个B.1个

C.2个D.无法判断

选C.考察方程51x2-ax+a-1=0,因为△=(-a)2-4x51(a-1)=a2

-2a+2=(a-1)2+l>0,所以方程5x2-ax+a-l=O有两个不相等

的实数根，所以二次函数有两个零点.

二、填空题

7.函数y=3x2-2x的零点为.

2

解方程3x2-2x=0,得x=0或x=§

答案：。，|

8.若二次函数y=ax?+2x+3(a/0)没有零点，则实数a的取值范围为

由题意,方程ax2+2x+3=O(awO)没有实数根,所以A=4-12a<0,

1

所以a>3.

(1、

答案：+-J

9.函数y=x2+2x-1的零点在区间(n,n+l)(nEZ),则n的取值集

合为.

由x2+2x-1=0

解得Xi=-1-y/2,X2=-1+啦,

因为-i-啦e(-3,-2),-1+^2e(o,I),

所以n的取值集合为{-3,0}.

答案：{-3,0}

10.函数y=x2+3x+m的两个零点都是负数，则m的取值范围为

因为函数y=x2+3x+m的两个零点都是负数,

△=32-4m>0,

所以<Xi+x2=-3<0,

、XiX2=m>0,

9

解得0<mq.

答案：［(。，"9、

三、解答题

11已知函数y=x2+ax+b的图象与x轴分别交于点(1,0)(2,0),

求函数y=x2+bx+a的零点.

由题意，1,2是函数y=x2+ax+b的零点，

fl+a+b=0

2

所以Xi=1,x2=2是方程x+ax+b=0的根，所以彳,

[4+2a+b=0

fa=-3

2

所以4,所以方程X+2X-3=0的两个根为x1=l,x2=-3,

[b=2

即函数y=x2+2x-3的零点为1,-3.

12.求下列函数的零点.

(l)y=3x2-2x-1；

(2)y=ax2-x-a-l(aGR)；

(3)y=ax2+bx+c,其图象如图所示.

⑴由3x2-2x-1=0

1

解得Xi=1,x2=-3,

1

所以函数y=3x2-2x-l的零点为1和二.

(2)(i)当a=0时，y=-x-1,

由-x-1=0得x=-1,

所以函数的零点为-1.

(ii)当awO时，由ax?-x-a-1=0

得(ax-a-l)(x+1)=0,

a+1

解得xi=-^—,x2=-1.

a+12a+1

又da-(-1)d=~o-/

1

①当a二-万时，xi=X2=-1,函数有唯一的零点-L

1a+1

②当aw-5且awO时，Xi称,函数有两个零点-1和7--

£-d

1

综上：当”0或-5时，函数的零点为-L

1a+1

aw-5awO1

当Z.且时，函数有两个零点d-和二一.

⑶因为函数的图象与X轴的交点的横坐标为-1和3,所以该函数的

零点为-1和3.

综合突破练

一、选择题

1.二次函数y=ax2+bx+c(awO)的图象开口向下，与y轴正半轴相交,

则函数的零点个数是()

A.1B.2

c.0D.无法确定

选B.因为二次函数y=ax2+bx+c(awO)的图象开口向下，所以a<0,因

为图象与V轴正半轴相交，所以c>0，所以a-c<0，所以A=b2-4ac>0,

所以方程ax2+bx+c=0有两个根，故函数有两个零点.

2.若二次函数y=x2+x-a有一个大于0的零点一个小于0的零点,

则实数a的取值范围是()

A.RB.(0,+可

C.(-g,3)D.(-3,7)

选B.由题意得,02+0-a<0,所以a>0.

戮师

专用【加固训练】

下列函数在区间(0,1)上存在零点的是()

A.y=x2-3x+3

B.y=-2x2+x+1

C.y=ax2-x(O<a<l)

D.y=4x2-3

选D.函数y=x2-3x+3没有零点，

1

函数y=-2x2+x+1的零点为1,-21

函数y=ax?-x(O<a<l)的零点为0，由于0<a<l,所以:>1,故A,

B,C选项中函数均不存在区间（0,1）上的零点.函数y=4x2-3的零

点为士坐，其中o唐<1.

3.若函数y=ax2+b(awO)的零点为啦,那么函数y=bx2-ax的零点

是()

11

A.0,B.0,-

C.0,2D.0,-2

选B.由题意可知2a+b=0,BPb=-2a.

所以y=bx2-ax=-2ax2-ax=-ax(2x+1),

1

因为方程-ax(2x+1)=0的解是x=0或x=-],

1

所以函数y=bx2-ax的零点是0,.

4.（多选）二次函数y=3x2-12x+5的零点所在的区间为（）

A.-1,0B.0,1

C.2,3D.3,4

选BD.由求根公式可得一元二次方程3X2-12X+5=0的两个根分别是

、运、运

Xi=2-3/x2=2+3

因为W（冬＜,所以-

33亨<4

5VH44运<2+$

故2-§<2-芋

<2-§,2+§<2+3~3，

所以0<Xi<l,3<X2<4.

二、填空题

5若函数f(x)=x2+x-a的一个零点是-3则实数a的值为,

函数f(x)其余的零点为.

由题意知f(-3)=0,即(-3产-3-a=0,a=6.所以f(x)=x2+x-6.

解方程x2+x-6=0,得x=-3或2.所以函数f(x)其余的零点是2.

答案：62

x2-4_

6.函数f(x)=--------的零点是_______.

x-2

由x2-4=0求出x=±2,但是当x=2时函数无意义，所以函数的零

点是_2.

答案：-2

【误区警示】本题易认为函数的零点有两个，即由X?-4=0求出x

=±2.

7.已知二次函数y=x2+ax-b(a,b£R)的两个零点分别为-1,3,

贝Ua二,b=

由题意得，-1+3=-a,(-1)x3=-b,所以a=-2,b=3.

答案：-23

8.已知函数y=2ax-a+3在(-1,1)上有零点，则实数a的取值范

围是_________•

当a=0时，函数y=3,无零点，当awO时，由2ax-a+3=0得，x

a-3a-3

二W，所以-<1，当a>0时-2a<a-3<2a