新编人教A高中数学选修2-1全册导学案

人教版高中数学选修2-1

全册导学案

S徵酎

目录

1.1.1命题及其关系

1.1.2四种命题的关系

1.2.1充分条件

1.2.2充要条件

1.3.1逻辑联结词1

1.3.2简单的逻辑联结词2

1.4全称量词与存在量词

2.1.1曲线与方程(1)学案

2.1.2曲线与方程(2)学案

2.2.1椭圆及其标准方程(1)学案

2.2.1椭圆及其标准方程(2)学案

2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)学案

2.2.2椭圆及其简单几何性质(2)学案

2.3.1双曲线及其标准方程学案

2.3.2双曲线的简单几何性质(1)学案

2.3.2双曲线的简单几何性质(2)学案

2.4.2抛物线的简单几何性质(1)

2.4.2抛物线的简单几何性质(2)

2.5曲线与与方程学案

第二章圆锥曲线与方程复习学案

3.1.1空间向量及其加减运算

3.1.2空间向量的数乘运算

3.1.3空间向量的数量积运算

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.5空间向量运算的坐标表示

3.1空间向量及其运算

3.2立体几何中的向量方法一

3.2立体几何中的向量方法二一利用向量方法求距离

3.2立体几何中的向量方法三一利用向量方法求角

3.2立体几何中的向量方法一一平行与垂直关系的向量证法

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§1.1.1命题及四种命题

一.自主学习

预习课本2—6页完成下列问题

1、命题：；

2、真命题：假命题：一_____________________________。

3、命题的数学形式。：c

4、四种命题：o

(1)互逆命题：o(2)互否命题：O

(3)互为逆否命题：»

注意：数学上有些命题表面上虽然不是“若p,则q”的形式，但可以将它的表述作适

当的改变，写成“若p,则q”的形式，从而得到该命题的条件和结论。

二、自主探究：

R例13判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？.

(1)空集是任何集合的子集；(2)若整数a是素数，则a是奇数；

(3)2小于或等于2；(4)对数函数是增函数吗？

(5)2x<15；(6)平面内不相交的两条直线一定平行；

(7)明天下雨；(8)3>12

K例21将下列命题改写成“若p,则q”的形式。

(1),两条直线相交有且只有一个交点；(2)对顶角相等；(3)全等的两个三角形面积

也相等；(4)负数的立方是负数。

K例32把下列命题改写成“若p则£”的.形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否

命题：

(1)两直线平行，同位角相等；(2)负数的平方是正数；(3)四边相等的四边形是正

方形。

课堂小结

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三、巩固练习：

1、下列语句中是命题的是（）

A、周期函数的和是周期函数吗？B.sin45°=1

C.X2+2X-1>0D、梯形是不是平面图形呢？

2、在命题“若抛物线y=加+6%+。的开口向下，则,皿2+Z?x+c<0}H。”的逆命

题、否命题、逆否命题中结论成立的是（）

A、都真B、都假C、否命题真D、逆否命题真

3、设",N是两个集合，则下列命题是真命题的是（）

A、如果M=那么McN=MB、如果M=那么McN=M

C、如果MqN,那么=MI）、如果A/DN=M,那么M=N

4、下列命题中为真命题的是

A、命题“若x>y,则x>|y|"的逆命题B、命题“若％〉1,则/>1”的逆命题

C、命题“若x=l,则/+%-2=0”的否命题

D、命题“若f>0,则x〉l”的逆否命题

5、命题：“若不为零，则a功都不为零”的逆否命题

是。

6、命题“分2一2改一3不成立”是真命题，则实数。的取值范围是。

7、原命题：已知函数“X）为R上的增函数，a力均为实数，若a+b20,则

，+f-%

（1）判断原命题的真假，并证明；（2）写出它的逆命题，判断其真假，并证明。

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§1.1.2四种命题间的相互关系

一、自主学习

预习课本6-8页完成下列问题

1、四种命题间的相互关系：

2、反证.法证题的步骤:

3、常见的反设:

词语大于(＞)是都是所有的…任意一个…至少一个•••

否定不大于(W)不是不都是至—•^•彳、・・・某个不…一个也没有•••

二、自主探究：

K例原命题：“若x=y，则62=y2”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判

断它们的真假。

K例2也判断下列命题的真假：

(1)命题“当机＜1时，抛物线丁=炉+2%+机与无轴存在交点”的逆否命题。

(2)若xwy且xr-y,则/。丁。

K例33：若x,y都为正实数，且x+y＞2。求证：匕二＜2和史上＜2中至少有一个

yX

成立。

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课堂小结

三、羽固练习：

1、命题力都是r奇数，.则4+人是偶数”的逆否命题是（）

A、都不是奇数，则5是偶数B、。+人是偶数.，都是奇数

C、a+匕不是偶数,。力都不是奇数D、不是偶数，不都是奇数

2、用反证法证明命题："a,bwN,。"能被5整除，那么。力中至少有一个能被5整除”

时，假设的内容是（）

A、都能.被5整除B、a,b都不能被5整除

C、a/不都能被5整除D、a不能被5整除，或b不能被5整除

3、若命题p的逆命题是4,命题r是命题q的否命题，则p是r的（）

A、逆命题B、否命题C、逆否命题D、以上都不正确

4、设原命题：若a+bN2,则。力中至少有一个不小于1。则原命题与其逆命题的真假情

况是（）

A、原命题真，逆命题假B、原命题假，逆命题真

C、原命题与逆命题均为真命题D、原命题与逆命题均为假命题

5"AABC中，若NC=90°,则ZA,ZB都是锐角

为:

6、"若「=卜|凶<1},则OeP”的等价命题

是:

7、分别写出命题“若幺+丁=（）,则x,y全为0”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断

真假。

8、已知下列三个方程：炉+4以一4<7+3=0,%2+（。-l）x+t?=（）62+2公一2。=0至少

有一个方程有实数根，求实数a的取值范围。

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§1.2.1充分条件与必要条件

自主学习

预习课本9-10页，完成下列问题

1.一般地，“若p,则q"为真命题，是指由p通过推理可以得出q.我们就说，由p推出小

记作pnq，并且说P是q的条件，q是0的条件。

注意：所谓的“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了；所谓的必“要"，即q是p成立

的必不可少的条件，缺其不可。

2.若p=>q,但夕Np,则称p是,q的条件，q是p的条件。

注意：判断充分、必要条件的关键是分清谁是条件，谁是结论，若由条件p推出结论q成立,

则条件p是结论q的充分条件;若由结论q推出条件p成立,则条件p是结论q的充分条件。

思考:如何从集合的角度去理解充分条件、必要条件概念？

自主探究：

K例下列''若尸，则q”的形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；

(2)若x>5,则x>10

k例2》下列“若〃，则形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件？

(1)若尤=y，则Y=y2；

(2)若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；

(3)若a>b,则“c>be

k例3』不等式(a+x)(l+x)〈0成立的一个充分不必要条件是-2〈x〈T,则a的取值范围是()

A.a<-2B.a>2C.a<-2D.a>2

变式：设非空集合A^{x\2a+\<x<3a-5},8=卜卜=J(3—x)(x—22)}则AqB的

一个充分不必要条件是()

A.l<a<9B.6<a<9C.a<9D.6<a<9

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课堂小结:

巩固练习：

1.在平面内，下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？().

A.平行四边形对角线相等B.四边形两组对边相等

C.四边形的对角线互相平分D.四边形的对角线垂直

2.x,yeR,下列各式中哪个是''肛H0"的必要条件？().

A.x+y=0B.x2+y2>0C.x-y=0D.x3+y30

3.平面a〃平面夕的一个充分条件是().

A.存在一条直线a,a〃a,a〃夕B.存在一条直线a,aua,a〃力

C.存在两条平行直线ua,Aup,all/3,bHa

D.存在两条异面直线a,6,aua,6u?,a〃f3,blla

4.p:x-2=0,q：(x-2)(x-3)=0,p是q的条件.

5.p-.两个三角形相似；q：两个三角形全等，p是q的条件.

6.判断下列命题的真假

(1)ua>bn是"/>〃,,的充分条件；

(2)u\^b"是"/>/"的必要条件.

7.已知A={x|x满足条件p},7={》|%满足条件4}.

(1)如果A=8,那么p是《的什么条件？

⑵如果BqA,那么p是4的什么条件？

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§1.2.2充要条件

自主学习：

预习课本11-12页，完成下列问题

1.一般地，如果既有p=>4，又有gnp,就记作：pog,这时P既是q的充分条

件，又是q的必要条件，则p是q的条件，简称条件。其中O

叫做等价符号。p<=>q表示p=<7且q=p

2.传递性：若pOq,q=>r,则。

思考：判断充耍条件关系的主要方法有哪些？

自主探究：

【题型一】充要条件的判断

例1下列各题中，哪些p是q的充要条件？

(1)P：方=0，4：函数/(工)=办2+/ZT+C是偶函数；

(2)p:x>0,y>0,q:xy>0

(3)p:a>b,q:a+c>b^c

变式：下列各题中，哪些〃是q的充要条件？

(I)在aABC中，p：NA>NB,q:BC>AC；

(2)p:a+b<0,且ab>0,q:a<0,b<0；

【题型二】充要条件的证明

已知A,B是直线L上任意两点，O是L外一点。

求证：点在直线上的充要条件是=+其中且x+y=l。

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课堂小结:

巩固练习:

1.下列命题为真命题的是().

A.a>6是a2>b2的充分条件8.|0>|加是巳>从的充要条件

C./=1是x=1的充分条件D.a=/7是tana=tan£的充要条件

2.ux&MN”是“xeM汽”的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.设/?：b2-4ac>0(a0),q：关于x的方程of+bx+c=0(a=0)有实根，则p是q的

().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.2%2-5x-3<0的一个必要不充分条件是().

A.—<x<3B.—<x<0C.—3<x<—D.—1<x<6

222

5.用充分条件、必要条件、充要条件填空.

(l).x>3是x>5的

(2).x=3是f-2x_3=0的

(3).两个三角形全等是两个三角形相似的

6.求证：\ABC是等边三角形的充要条件是a?+b2+c2=ab+ac+bc,这里”,b,c是A/ABC的

三边.

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§1.3.1简单的逻辑联结词

自主学习

预习课本14-18页，完成下列问题

I“且,，或”“非”逻辑联结词的含义：

1.一般地,用逻辑联结词“且”把命题p和命题g联结起来就得到一个新命题，记作

“"，读作““

2.一般地,用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作

“”,读作“”.

3.一般地，对一个命题的全盘否定就得到一个新命题，记作“”,读作“”

或“”.

注意(1)不含逻辑联结词的命题叫简单命题，含逻辑联结词的命题叫复合命题。

(2)命题夕Ag、pvq、力与集合的交、并、补运算联系密切，可以借助集合的关

系理解他们的含义。

II命题p\/q、—jp的真假判断：

pqpr\qq-p

真真

真假

假真

假假

思考数学中的联结词或、且、非与日常生活中的或、且、非有哪些区别？

自主探究

【题型一】用逻辑联结词构成新命题

例1.分别写出有下列各组命题构成的〃Aq、pvq、力形式的复合命题:

(1)p:正是无理数q:、历大于1(2)p:NqZq:OwN

(3)p:X2+1>x-4:X24-1<x-4

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【题型二】判断复合命题的构成

例2.指出下列命题的形式及构成它的简单命题：

（1）方程3=0没有有理根；

（2）两个角是45度的三角形是等腰直角三角形；

（3）如果xy<0,则点（x,y）的位置在第二、四象限。

课堂小结

巩固练习

1.“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.命题尸：在AA8C中，/（7>/8是$访。>$布8的充要条件；命题q：。>6是的

充分不必要条件，则（）.

A.p真q假B.p假q假C."p或为假D."p且q”为真

3.命题：（1）平行四边形对角线相等；（2）三角形两边的和大于或等于第三边；（3）三角

形中最小角不大于60。；（4）对角线相等的菱形为正方形.其中真命题有（）.

A.lB.2C.3D.4

4.命题p：0不是自然数，命题q：乃是无理数，在命题“。或q”“〃且“非p”“非q”

中假命题是,真命题是.

5.已知p：|x2-x|>6,q：、€2,/7人4，-14者|5是假命题，则x的值组成的集合为

6.写出下列命题，并判断他们的真假：

（1）p7q,这里p：4e{2,3},q：2e{2,3}；（2）p/\q,这里p：4e{2,3},q：2w{2,3}；

（3）pvq,这里p：2是偶数，q：3不是素数

（4）pAq,这里p：2是偶数，q：3不是素数.

7.判断下列命题的真假：

（1）5>2且7>3（2）7>8（3）3>4或3<4

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§1.3.2简单的逻辑联结词

自主学习

预习课本14-18页，完成下列问题

1.若pA4为真，则p,q必为;若p/\q为假，则p,q必有一个为

2.若pvq为真,则p,q必有一个为；若pvq为假，则p,q必为

3.力形式的命题与命题p的真假.

思考：力形式的命题叫命题的否定，注意将其与否命题进行区别

自主探究

【题型一】由复合命题的真假判定简单命题的真假

例1.若pvq为假命题，贝IJ()

A.命题「p与「4的真值不同B.命题「p与「q至少有一个假命题

C.命题「〃与的真值相同D.命题「〃与「夕都是真命题

【题型二】两命题之间的关系

14

例2.设p：/(%)=2r+/nx+l在(0,+8)内单调递增，q：m则-1〃是-1夕的()

A.充分不必要Bo必要不充分Co充分必要Do既不充的分也不必要

【题型三】利用命题的真假求参数的取值范围

例3.已知命题p:-2WxW10,q:x2-2x+l-a2>0(a>0),若「p是q充分不必要条

件，求a的取值范围.

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课堂小结

巩固练习

1.如果为真，—ip为假命题，那么()

A.p真q假B。p真q真C°p假q真D。p真q可真可假

2.已知条件〃：-3<x<2,条件4：5%—6>尤2,则p是「4的()

A.充分不必要B。必要不充分Co充分必要D。既不充分也不必要

3.设p,q是两个命题，则复合命题pvq为真，pA夕为假的充要条件是()

A.p,q中至少有一个真B.p,q中至少有一个假

C.p,q中有且只有一个是真D.p真，q假

4.若命p,q中至少有一个真题一i(pvq)为假命题，则()

A.p,q均为真B.p,q均为假

C.p,q中至少有一个真Dp,q中至多有一个真.

5.如果p是q的充分不必要条件，I•是q的必要不充分条件；那么().

A.rB.-'/JCZ_1r

rD.por

6.命题p：方程x2+胆+1=0有两个不等的正实数根,命题q：方程+4(m+2)x+1=()

无实数根，若〃vq为真命题，求m的取值范围.

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§1.4全称量词与存在量词

自主学习

预习课本21-25页，完成下列问题

1.短语“”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符

“表示，含有的命题，叫做全称命题.其基本形式为：

VxeM,p(x),读作：

2.短语“”在逻辑中通常叫做存在量词，并用

“表示，含有的命题，叫做特称称命题.

其基本形式叫€",p(Xo),读作：

3.一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论：

全称命题p:Vx€p,p(x),它的否定-p:

4.一般地，对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论：

特称命题p：toWM,p*。)，它的否定力：。

思考：如何对含有一个量词的命题进行否定？

自主探究

【题型一】全称命题、特称命题的判断

例1.判断下列命题是不是全称命题或者存在命题

(1)对数函数都是单调函数(2)有一个实数%,使用2+2%+3=0

(3)任何一个实数除以1,仍等于这个实数；

(4)存在两个相交垂直于同一条直线

变式：判断下列命题的真假：

(1)Vxe(5,8),/(x)=x2-4x-2>0(2)3aeZ,a2=3«-2

【题型二】全称命题、特称命题的否定及真假判断

例2.写出下列全称命题、特称命题的否定，并判断真假

(1)p：Vxe/?,x2-x+—>0(2)p：所有的正方形都是矩形

4

(3)p-.3xeR,x2+2x+2<0；(4)p■.至少有一个实数x,使丁+1=0

【题型三】利用命题的真假性解决问题

例3.若r(x):sinx+cosx>/s(x)+znr+l>0,如果对于IteR,r(x)为假命题,

且VxeR,s(x)为真命题，求实数m的取值范围.

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课堂小结

巩固练习

1.下列命题为特称命题的是（）.

A.偶函数的图像关于y轴对称B.正四棱柱都是平行六面体

C.不相交的两条直线都是平行线D.存在实数大于等于3

2.下列命题中假命题的个数（）.

（l）Vxe/?,x2+l>l；（2）3xe/?,2x+l=3；

（3）IreZ,x能被2和3整除；（4）Hxe+2x+3=0

A.0个B.1个C.2个D.4个

3.命题“对任意的xeR,V-d+ivo”的否定是（）.

A.不存在xeR,/一炉+140B.存在xe-Y+140

C.存在工€凡/_/+1>0D,对任意的工€凡/一+1>0

4.下列命题中

（1）有的质数是偶数；（2）与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；（3）有的三角形

三个内角成等差数列；（4）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中全称命题是一

特称命题是.

5.用符号“V”与“三”表示下列含有量词的命题.

（1）实数的平方大于等于0：（2）存在一对实数使2x+3y+3<0成立：

6.平行四边形对边相等的否定是

7.命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是。

8.把下列命题写成含有量词的命题：

（1）余弦定理；（2）正弦定理.

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§2.1.1曲线与方程(1)

2学习目标

1.理解曲线的方程、方程的曲线；

2.求曲线的方程.

2学习过程

一、课前准备

(预习教材理P34~心6,找出疑惑之处)

复习1：画出函数y=2f(-14x42)的图象.

复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程.

二、新课导学

X学习探究

探究任务一：

到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程.

问题：能否写成)，=凶，为什么？

新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C与一个二元方程F(x,>)=0

之间，

如果具有以下两个关系：

1.曲线C上的点的坐标，都是的解；

2.以方程尸(x,y)=0的解为坐标的点，都是

的点，

那么，方程"x,>)=0叫做这条曲线C的方程；

曲线C叫做这个方程F(x,y)=0的曲线.

注意：1。如果……，那么……；

2°"点”与“解”的两个关系，缺一不可；

3。曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法;

4°曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的.

试试：

1.点尸(1,。)在曲线/+2.-5y=0上，则.=.

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2.曲线丁+2孙-勿=0上有点Q(l,2),则匕=.

新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程.

派典型例题

例I证明与两条坐标轴的距离的积是常数©k>0)的点的轨迹方程式是孙=±入

变式：到X轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是y-5=0吗?

例2设A8两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段的垂直平分线的方程.

变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是A(0,3),8(-2,0),C(2,0).中线A。(。为

原点)所在直线的方程是x=0吗？为什么？

反思：BC边的中线的方程是x=0吗？

小结：求曲线的方程的步骤：

①建立适当的坐标系，用M(x,y)表示曲线上的任意一点的坐标;

②写出适合条件P的点M的集合尸={M|p(M)}；

③用坐标表示条件P,列出方程/(x,y)=0;

④将方程f(x,y)=0化为最简形式；

⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.

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X动手试试

练1.下列方程的曲线分别是什么？

2

x—2

(1)y=—(2)⑶y=

X

练2.离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？

三、总结提升

派学习小结

1.曲线的方程、方程的曲线；

2.求曲线的方程的步骤：

①建系，设点；

②写出点的集合；

③列出方程；

④化简方程；

⑤验证.

派知识拓展

求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法）,

交轨法等.

派自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A.很好B.较好C.一般D.较差

X当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.与曲线y=x相同的曲线方程是（）.

A.y=—B.y=\[^

x

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C.y=般D.y=2够*

2.直角坐标系中，已知两点A(3,l),5(-1,3).若点C满足OC=e0A+夕08,其中a,

/?£/?.a+p=\,则点C的轨迹为().

A.射线B.直线C.圆D.线段

3.A(l,0),2(0,1),线段AB的方程是().

A.x-y+l=0B.x-y+l=0(0<x<l)

C.x+y-l=0D.x-y+l=0(0<x<l)

4.已知方程依2+勿2=2的曲线经过点4(0,6和点则。=,b=.

PA1

5.已知两定点A(-l,0),8(2,0),动点°满足。=L,则点p的轨迹方程

PB2

是.

课后作业

1.点A(l,-2),5(2,-3),C(3,10)是否在方程

xy+2y+l=0表示的曲线上？为什么？

2求和点。(0,0),A(c,0)距离的平方差为常数c的点的轨迹方程.

人教A版高中数学选修2-1导学案

§2.1.2曲线与方程(2)

士空刈国冠

1.求曲线的方程；

2.通过曲线的方程，研究曲线的性质.

2学习过程

一、课前准备

(预习教材理pi6~P37,找出疑惑之处)

复习1：己知曲线C的方程为y=2x2,曲线C上有点A(l,2),A的坐标是不是y=2V的

解？点(0.5,。在曲线C上，则片.

复习2：曲线(包括直线)与其所对应的方程/(x,y)=O之间有哪些关系?

二、新课导学

派学习探究

引入：

圆心C的坐标为(6,0),半径为/*=4,求此圆的方程.

问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程.

探究：若|AB|=4,如何建立坐标系求Afl的垂直平分线的方程.

派典型例题

例1有一曲线，曲线上的每一点到x轴的距离等于这点到A(0,3)的距离的2倍，试求曲线的

方程.

人教A版高中数学选修2-1导学案

变式：现有一曲线在x轴的下方，曲线上的每一点到x轴的距离减去这点到点40,2),的距

离的差是2,求曲线的方程.

小结：点P(a,b)到x轴的距离是；

点尸(。/)到y轴的距离是；

点P(l,b)到直线x+y-1=0的距离是

例2己知一条直线/和它上方的一个点尸，点尸至心的距离是2,一条曲线也在/的上方，它

上面的每一点到F的距离减去到/的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方

程.

派动手试试

练1.有一曲线，曲线上的每一点到x轴的距离等于这点到直线x+y-l=0的距离的2倍,

试求曲线的方程.

人教A版高中数学选修2-1导学案

练2.曲线上的任意一点到4-3,0),8(3,0)两点距离的平方和为常数26，求曲线的方程.

三、总结提升

派学习小结

1.求曲线的方程；

2.通过曲线的方程，研究曲线的性质.

X知识拓展

圆锥曲线的统一定义：

到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e的点的轨迹是圆锥曲线.

0<e<l：椭圆；

e=l：抛物线；

e>i：双曲线.

2学习评价

及自我评价你完成本节导学案的情况为().

A.很好B.较好C.一般D.较差

派当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：

57

1.方程(3x-4y-12)[log2(x+2y)-3]=0的曲线经过点A(0,-3),8(0,4),C(4,0),

中的().

人教A版高中数学选修2-1导学案

A.0个B.1个C.2个D.3个

2.已知4(1,0),8(-1,0),动点满足

|必-四可=2,则点用的轨迹方程是().

A.y=0(-l<x<l)B.y=0(x>l)C.y=0(x<-l)D.^=0(|^>l)

3.曲线y=与曲线y+W=0的交点个数一定是().

A.0个B.2个C.4个D.3个

4.若定点A(1,2)与动点2。，历满足^^^①二%则点2的轨迹方程是

5.由方程+=l确定的曲线所围成的图形的面积是.

,课后作业〜

1.以。为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？

2.已知点C的坐标是(2,2),过点C的直线CA与x轴交于点A,过点C且与直线CA垂直

的直线CB与y轴交于点8.设点〃是线段的中点，求点”的轨迹方程.

人数A版高中数学选修2-1导学案

§2.2.1椭圆及其标准方程⑴

i.从具体情境中抽象出椭圆的模型;

2.掌握椭圆的定义；

3.掌握椭圆的标准方程.

一、课前准备

(预习教材理心8~匕0,文心2~心4找出疑惑之处)

复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程.

复习2：方程(x-3>+(>+1)2=4表示以—为圆心,为半径的.

二、新课导学

X学习探究

取一条定长的细绳，

把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画

出的轨迹是一个.

如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子,

移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

思考：移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？

\FlF2)

经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的保持不

变，即笔尖等于常数.

新知1:我们把平面内与两个定点斗心的距离之和等于常数(大于忸玛I)的点的轨迹叫

做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

反思：若将常数记为24,为什么勿>忻国？

当2〃=内闾时，其轨迹为；

当2a用时，其轨迹为.

试试：

己知耳(-4,0),玛(4,0),到耳，巴两点的距离之和等于8的点的轨迹是

小结：应用椭圆的定义注意两点：

①分清动点和定点；

②看是否满足常数2a>|耳埒.

新知2：焦点在x轴上的椭圆的标准方程

22

二十斗•=l(4>Z?>0)其中从=a2-c2

ah"

若焦点在y轴上，两个焦点坐标

则椭圆的标准方程是

人教A版高中数学选修2-1导学案

X典型例题

例1写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

⑴。=4,6=1,焦点在X轴上；

⑵”=4,c=而，焦点在y轴上；

(3)a+6=10,c=2后.

变式：方程二+上=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的范围_______________

4m

222

小结：椭圆标准方程中：a=b+c;a>b.

例2已知椭圆两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点(3,_|],求它的标准方

程.

变式：椭圆过点(-2,0),(2,0),(0,3),求它的标准方程.

人教A版高中数学选修2-1导学案

小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程.

X动手试试

练1.已知MBC的顶点8、C在椭圆/+丫2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的

3'

另外一个焦点在BC边上，则&4BC的周长是（）.

A.2>/3B.6C.4>/3D.12

练2.方程上-2=［表示焦点在y轴上的椭圆，求实数机的范围.

9m

三、总结提升

X学习小结

1.椭圆的定义：小彗星

2,椭圆的标准方程：・太阳

派知识拓展

1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起，海尔・波

普彗星将逐渐接近地球，过4月以后，又将渐渐离去,并预测3000年后，它还将光临地球上空.

1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象.天文学家是如何计算出彗星出现的准确时

间呢？原来，海尔・波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，

可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长.

「中学习评价

派自莪评价你完成本节导学案的情况为（）.

A.很好B.较好C.一般D.较差

X当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.平面内一动点M到两定点冗、鸟距离之和为常数2”，则点M的轨迹为（）.

A.椭圆B.圆

C.无轨迹D.椭圆或线段或无轨迹

2.如果方程=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数*的取值范围是（）.

A.（0,+oo）B.（0,2）

C.（l,+oo）D.（0,1）

3.如果椭圆工+二=1上一点P到焦点8的距离等于6,那么点P到另一个焦点心的距

10036

离是（）.

人教A版高中数学选修2-1导学案

A.4B.14C.12D.8

4.椭圆两焦点间的距离为16,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15,则椭圆的

标准方程

是,____________________

5.如果点M(x,y)在运动过程中，总满足关系式Jx2+(y+3)2+4£+(y一3)2=10,点M的

轨迹是，它的方程是.

课后作业

1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴焦点在x轴上，焦距等于4,并且经过点?卜,-2#)；

⑵焦点坐标分别为(O,T),(0,4),。=5；

(3)。。=10,。-c=4.

2.椭圆工+上=1的焦距为2,求w的值.

4n

人教A版高中数学选修2-1导学案

§2.2.1椭圆及其标准方程⑵

1.掌握点的轨迹的求法；

2.进一步掌握椭圆的定义及标准方程.

一、课前准备

（预习教材理尸…尸42,文尸3尸236找出疑惑之处）

22

复习1：椭圆上与+5=1一点尸到椭圆的左焦点耳的距离为3,则P到椭圆右焦点鸟的距

离

是.

复习2：在椭圆的标准方程中,。=6*=后，则椭

圆的标准方程是.

二、新课导学

派学习探究

问题：圆f+y?+6x+5=0的圆心和半径分别是什么?

问题：圆上的所有点到________［圆心）的距离都等于L半径）；

反之，到点（-3,0）的距离等于2的所有点都在

圆上.

X典型例题

例1在圆x?+y2=4上任取一点P,过点尸作x轴的垂线段9，O为垂足.当点尸在圆上运

动时，线段灯）的中点M的轨迹是什么？

变式：若点M在加的延长线上‘且黑=|,则点〃的轨迹又是什么？

人教A版高中数学选修2-1导学案

小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可

得到椭圆.

例2设点4B的坐标分别为（-5,0）,（5,0）,.直线相交于点"，且它们的斜率之积

是一士，求点”的轨迹方程.

9

变式：点A,8的坐标是（-1,0）,（1,0）,直线AM,8M相交于点且直线AM的斜率与直线

8M的斜率的商是2,点M的轨迹是什么？

派动手试试

练1.求到定点A（2,0）与到定直线x=8的距离之比为等的动点的轨迹方程.

人教A版高中数学选修2-1导学案

练2.一动圆与圆x2+V+6x+5=0外切，同时与圆f+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心

的轨迹方程式，并说明它是什么曲线.

三、总结提升

派学习小结

1.①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；

②相关点法：寻求点M的坐标与中间%,%的关系，然后消去题,为,得到点〃的轨迹

方程.

X知识拓展

椭圆的第二定义：

到定点厂与到定直线/的距离的比是常数e(0<e<l)的点的轨迹.

定点/是椭圆的焦点；

定直线/是椭圆的准线；

常数e是椭圆的离心率.

学习评价

派自莪评价你完成本节导学案的情况为().

A.很好B.较好C.一般D.较