连续域现代控制理论基础

连续域现代控制理论基础主要内容线性定常系统状态方程的解控制系统的可控性和可观性线性定常系统的线性变换控制系统的状态空间设计第2页,共59页，2024年2月25日，星期天7.1线性定常系统状态方程的解现代控制理论建立了状态的概念，以状态方程为基础，以线性矩阵理论为数学工具，以计算机技术为依托，不仅适用于线性定常系统，而且适用于线性时变和非线性系统的分析、综合。现代控制理论用状态揭示系统内部状况，研究输入—状态—输出的因果关系，这就从内部、从本质上掌握了系统的关系，因而可以根据设计要求和性能指标求得最优控制规律。第3页,共59页，2024年2月25日，星期天7.1.1齐次状态方程的解在状态方程中令u=0，得称为齐次状态方程。其解为u=0时由初始条件所引起的自由运动。设解为代入齐次状态方程得由于状态方程的解对任意的t都成立，则第4页,共59页，2024年2月25日，星期天齐次状态方程的解（续1）代入解方程得：第5页,共59页，2024年2月25日，星期天齐次状态方程的解（续2）初始条件：由矩阵理论：则齐次状态方程的解为该解说明由初始状态x(0)到达状态x(t)的转移过程是一个指数形式。其中eAt称为矩阵指数，又称为状态转移矩阵，记为Φ(t)齐次状态方程的解归结为求解矩阵指数eAt，多为计算机求解。第6页,共59页，2024年2月25日，星期天计算线性定常系统状态转移矩阵按矩阵指数的定义计算；通过线性变换计算；待定系数法(应用凯莱-哈密顿定理)；拉普拉斯变换法。第7页,共59页，2024年2月25日，星期天拉氏变换求状态转移矩阵对齐次状态方程进行拉氏变换，得例7.1求解齐次状态方程解：第8页,共59页，2024年2月25日，星期天7.1.2非齐次状态方程的解当u(t)≠0时状态方程的解称为非齐次状态方程的解或受迫系统的解，它是系统对输入信号的完全响应。使用拉氏变换法求解：第9页,共59页，2024年2月25日，星期天求非齐次状态方程的解举例例7.2求解状态空间方程，u(t)=I(t)，x(0)=0。解：第10页,共59页，2024年2月25日，星期天7.2控制系统的可控性和可观性控制系统的可控性和可观性是现代控制理论的独特概念。状态变量的非唯一性，使我们有必要研究状态向量的每一个分量能否可以由控制量所控制，从而达到所期望的状态，这就是系统状态的可控性问题。还要研究能否通过对输出量的测量而获得状态的信息，这就是系统状态的可观性问题。第11页,共59页，2024年2月25日，星期天7.2.1系统可控性容许控制：若在[t0，∞]区间内u为分段连续函数向量，则称其为容许控制。可控性定义：若存在一个无约束的容许控制向量u(t)，能在有限的时间间隔[t0，t1]内将系统的某一个状态xi由其初态xi(t0)转移到任意的终态xi(t1)，那么就称该状态xi是可控的；若系统所有的状态变量都可控，则称系统是可控的。有一个及以上的状态变量不可控，则称系统是不可控的。第12页,共59页，2024年2月25日，星期天线性定常连续系统的可控性判据1.可控性矩阵判据线性定常连续系统完全可控的充要条件：即，完全可控的条件是：可控性矩阵满秩。例7.3系统状态方程如下，试判断系统的可控性。解：利用可控性矩阵判据。第13页,共59页，2024年2月25日，星期天可控性矩阵判据举例（续）将M进行初等变换rankM=3，可控性矩阵M为满秩，所以系统完全可控。第14页,共59页，2024年2月25日，星期天可控性判据（续1）2.PBH秩判据线性定常连续系统完全可控的充要条件，对矩阵A的所有特征值λi(i=1，2，…，n)

例7.4系统状态方程如下，试判断系统的可控性。解：利用PBH秩判据。第15页,共59页，2024年2月25日，星期天PBH秩判据举例（续1）系统状态矩阵A的特征方程为故系统状态矩阵A的特征值为第16页,共59页，2024年2月25日，星期天PBH秩判据举例（续2）将各个特征值代入得到完全可控第17页,共59页，2024年2月25日，星期天输出可控性1.输出可控性的定义：如果能构造一个无约束的控制向量u(t)，在有限的时间间隔t0≤t≤t1内，使任一给定的初始输出y(t0)转移到任一最终输出y(t1)，那么称系统为输出完全可控的。2.输出可控性判据：输出完全可控的充分必要条件为：当且仅当矩阵的秩等于输出变量的维数m时，即rankM0=m

第18页,共59页，2024年2月25日，星期天输出可控性举例例7.5已知系统的状态方程和输出方程如下，试判断系统的状态可控性和输出可控性。解：状态可控性矩阵为由于|M|=0，rankM<2，故状态不完全可控。输出可控性矩阵为rankM0=1=m。故输出可控。第19页,共59页，2024年2月25日，星期天7.2.2系统可观测性可观测性的定义：如果在有限时间区间[t0,t1]内，根据测量到的输出向量y(t)和输入向量u(t)，能够唯一地确定系统在t0时刻状态xi(t0)，则称xi(t0)在[t0,t1]上是可观测的；若系统所有状态x(t)都在[t0,t1]上可观测，则称系统是可观测的。第20页,共59页，2024年2月25日，星期天可观测性判据1.可观测性矩阵判据：完全可观测的充要条件是：或是例7.6判断下列系统的可观测性解：第21页,共59页，2024年2月25日，星期天可观测性判据（续1）2.PBH秩判据：完全可观测的充要条件是：对矩阵A的所有特征值λi(i=1,2,…,n)，下式均成立。第22页,共59页，2024年2月25日，星期天7.3线性定常系统的线性变换7.3.3化系统{A，B}为可控标准型

1.单变量系统的可控标准型第23页,共59页，2024年2月25日，星期天化系统为可控标准型设系统的状态空间表达式为通过非奇异线性变换可将上式变为设a0，a1，…，an-1为矩阵A的特征多项式系数第24页,共59页，2024年2月25日，星期天7.3.4化系统{A,C}为可观测标准型1.单变量系统的可观测标准型第25页,共59页，2024年2月25日，星期天化系统为可观测标准型设a0，a1，…，an-1为矩阵A的特征多项式系数对于完全可观系统，取非奇异线性变换矩阵第26页,共59页，2024年2月25日，星期天转成可控和可观测标准型举例例7.7将其转换成可控标准型和可观测标准型。解：(1)判断系统能控性秩为3，所以系统完全可控，故可变换标准型。系统的特征多项式为：即a0=-4，a1=8，a2=-5。第27页,共59页，2024年2月25日，星期天转成标准型举例（续1）经变换，可得可控标准型第28页,共59页，2024年2月25日，星期天转成标准型举例（续2）(2)判断系统可观测性其秩为3，故系统完全可观测，可变换为可观测标准型。变换矩阵为经变换，可得可观测标准型第29页,共59页，2024年2月25日，星期天7.4控制系统的状态空间设计由于经典控制理论是用传递函数来描述的，它只能用输出量作为反馈量。而现代控制理论由于采用系统内部的状态变量来描述系统的物理特性，因而除了输出反馈外，还经常采用状态反馈。在进行系统的分析综合时，状态反馈将能提供更多的校正信息，因而在形成最优控制规律、抑制扰动影响、实现系统解耦控制等诸方面，状态反馈均获得了广泛应用。第30页,共59页，2024年2月25日，星期天7.4.1常用反馈结构及其影响1.输出反馈输出反馈系统动态方程为传递函数矩阵为第31页,共59页，2024年2月25日，星期天常用反馈结构及其影响（续1）2.状态反馈当将系统的控制量u取为状态变量的线性函数第32页,共59页，2024年2月25日，星期天常用反馈结构及其影响（续2）状态能完整地表征系统的动态行为，因而利用状态反馈时，其信息量大而完整，而输出反馈仅利用状态变量的线性组合进行反馈，其信息量较小。但输出变量容易测量，获得广泛应用。传递函数矩阵为第33页,共59页，2024年2月25日，星期天状态反馈对稳定性的影响对于线性定常系统如果可以找到状态反馈控制律使得通过反馈构成的闭环系统是渐近稳定的，即(A-BK)的特征值均具有负实部，则称系统实现了状态反馈镇定。第34页,共59页，2024年2月25日，星期天7.4.2状态反馈的极点配置设计法1.极点配置定理若线性系统是完全可控的，则一定能够通过状态反馈方法将闭环极点设置于任意期望的位置，这就是极点配置定理。2.单变量状态反馈向量的设计设单变量系统的状态空间方程为且为完全可控。其特征多项式为第35页,共59页，2024年2月25日，星期天单变量状态反馈向量的设计（续）若A不是能控标准型，则可通过非奇异线性变换将其变换为可控标准型。定义变换矩阵T为系统变换为可控标准型第36页,共59页，2024年2月25日，星期天单变量状态反馈向量设计（续1）由于采用状态反馈，则有式中反馈的引入并没有改变输入矩阵，只改变了状态矩阵，即改变了原有系统的闭环极点。设改变后的闭环极点为，则其特征多项式为第37页,共59页，2024年2月25日，星期天单变量状态反馈向量设计（续2）特征多项式的另一种表达方式若要使闭环极点为期望的极点，则令第38页,共59页，2024年2月25日，星期天单变量状态反馈向量设计（续3）3.极点配置设计步骤(1)检查系统可控性，若可控则继续进行；(2)由A求得其特征多项式，确定系数；(3)若原状态不是可控标准型，变换为标准型；(4)由期望闭环极点，确定；(5)求取k反馈后的特征多项式，并求取k值。第39页,共59页，2024年2月25日，星期天极点配置设计举例一例7.10单变量系统闭环传递函数如下，设计状态反馈阵，使闭环极点为解：由于传递函数没有零极点对消，所以系统的状态是完全可控可观的，其可控规范型为令状态反馈阵为第40页,共59页，2024年2月25日，星期天极点配置设计举例一（续1）经K引入的状态反馈后系统的系数矩阵为其特征多项式为由给定闭环极点要求的特征多项式为令两个特征多项式相等解出第41页,共59页，2024年2月25日，星期天极点配置设计举例一（续2）系统闭环传递函数为第42页,共59页，2024年2月25日，星期天极点配置设计举例二例7.11通过状态反馈，闭环极点设置于解：检查可控性求原特征多项式为第43页,共59页，2024年2月25日，星期天极点配置设计举例二（续1）则状态方程变为设并反馈变换，则有第44页,共59页，2024年2月25日，星期天极点配置设计举例二（续2）期望特征多项式为令第45页,共59页，2024年2月25日，星期天7.4.3状态观测器设计及分离特性由于系统的所有状态往往不能都测量到，导致状态反馈不能直接实现，这时就需要估计不可测量的状态变量，不可测量的状态变量的估计通常称为状态观测。如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量，这种状态观测器均称为全阶观测器。估计少于n个状态变量的观测器称为降阶状态观测器，或简称为降阶观测器。第46页,共59页，2024年2月25日，星期天全阶状态观测器状态观测器是基于输出的测量和控制变量来估计状态变量。设被观测系统的状态空间描述为若取观测器数学模型与系统完全相同，且输入相同，即考虑到状态有差异时，输出便有差异，可利用输出偏差信号通过反馈矩阵Ke加到，以期对其进行校正。

第47页,共59页，2024年2月25日，星期天全阶状态观测器（续1）观测器的闭环方程为注意到状态观测器的输入为y和u，输出为第48页,共59页，2024年2月25日，星期天全阶状态观测器（续2）观测器的误差方程定义误差向量方程式改写为误差向量的动态特性由矩阵A-KeC的特征值决定。如果矩阵是稳定矩阵，则对任意初始误差向量e(0)，误差向量都将趋近于零。

第49页,共59页，2024年2月25日，星期天全阶状态观测器的设计设系统可观，按可观测标准型进行讨论（详细推导见书），下面为非标准形时的设计过程：设观测器状态反馈向量特征方程为设误差动态方程所期望的特征方程为系数对应相等则可求出反馈向量。第50页,共59页，2024年2月25日，星期天全阶状态观测器的设计举例例7.12设被观测的系统如下，完全可观测，设计状态观测器，使其特征值为：解：设状态反馈向量为特征多项式为第51页,共59页，2024年2月25日，星期天全阶状态观测器的举例（续1）状态观测器所期望的特征多项式为所期望的状态观测器方程为第52页,共59页，2024年2月25日，星期天全阶状态观测器的举例（续2）估计误差由齐次状态方程的解法，可得第53页,共59页，2024年2月25日，星期天分离特性在极点配置的设计过程中，第一阶段是确定反馈增益矩阵K，以产生所期望的特征方程；第二个阶段是确定观测器的增益矩阵Ke，以产生所期望的观测器特