第10讲函数与方程（人教A版2019）（原卷版）

第10讲函数与方程【人教A版2019】·模块一零点存在定理·模块二零点个数问题·模块三二分法·模块四课后作业模块一模块一零点存在定理1．函数零点存在定理(1)函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.(2)函数零点存在定理的几何意义：在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点.【考点1求零点所在区间】【例1.1】（2023秋·北京丰台·高三校考阶段练习）函数f(x)=−1x+A．0,12 B．12,1 C．【例1.2】（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）方程log3x+x=2的根所在区间是（A．0,1 B．1,2 C．2,3 D．3,4【变式1.1】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数fx=x2−5,x≤−2xlg(x+2),x>−2，若方程A．−3 B．−2 C．1 D．2【变式1.2】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知三个函数fx=x3+x−3，gx=22x+x−2，ℎx=lnx+x−5的零点依次为A．c>b>a B．a>c>b C．a>b>c D．c>a>b模块二模块二零点个数问题1．零点转换根零点交点方程f(x)=0的根函数y=f(x)的零点f(x)图象与x轴交点的横坐标方程f(x)=g(x)的根函数y=f(x)g(x)的零点f(x)与g(x)图象交点的横坐标【考点2求零点个数】【例2.1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=lg−x+1,x<0A．6 B．5 C．4 D．3【例2.2】（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知函数fx是R上的奇函数，且满足fx=f2−x，当x∈0,1时，fA．8 B．7 C．6 D．5【变式2.1】（2023秋·四川绵阳·高三校考阶段练习）若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=−f(x)，且x∈[−1,1]时，f(x)=1−x2，已知函数g(x)=lgx,x>0,A．14 B．13 C．12 D．11【变式2.2】（2023秋·云南大理·高二校考开学考试）已知a>b>c>0，定义域和值域均为−a,a的函数y=fx和y=gx的图象如图所示，给出下列四个结论，不正确结论的是（A．方程fgx=0有且仅有三个解 C．方程ffx=0有且仅有五个解 【考点3已知零点个数求参】【例3.1】（2023秋·河北石家庄·高三校考阶段练习）已知函数f(x)=2−x,x≤01x−x,x>0，g(x)=f(x)−x−a．若A．[−1,0) B．[0,+C．[−1,+∞) 【例3.2】（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=32x+22−m−1,x≤−12x+2eA．14,1 B．−12,0 【变式3.1】（2023·全国·高一专题练习）定义在R上的偶函数fx满足f2−x=fx+2，当x∈0,2时，fx=(e)xA．e−110,C．e−111,【变式3.2】（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数fx=log3x,0<x≤313xA．(0,1) B．(−1,0)C．(−4,2) D．(−2,0]模块模块三二分法1．二分法(1)二分法的定义：

对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点.

(3)用二分法求方程的近似解：

用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a,)包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内.(4)用二分法求函数零点的近似值的步骤

给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤如下：

的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0.

2.求区间(a,b)的中点c.

f(c)，并进一步确定零点所在的区间：

(1)若f(c)=0(此时=c)，则c就是函数的零点；

(2)若f(a)f(c)<0(此时∈(a,c))，则令b=c；

(3)若f(c)f(b)<0(此时∈(c,b))，则令a=c.

：若|ab|<，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4.【考点4用二分法确定函数零点（方程的根）所在的区间】【例4.1】（2023·全国·高一专题练习）用二分法求函数fx=xA．−2,1 B．−1,0C．0,1 D．1,2【例4.2】（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)=x3−2x2A．[−2,1] B．[2.5,4] C．[1,1.75] D．[1.75,2.5]【变式4.1】（2023·全国·高一专题练习）用二分法求方程3x=8−3x在1,2内的近似解，已知31.25A．1,1.25 B．1.25,1.5 C．1.5,1.75 D．1.75,2【变式4.2】（2023秋·山东菏泽·高一校考期末）在用二分法求方程3x+2x−10=0在(1,2)上的近似解时，构造函数fx=3x+2x−10，依次计算得f1=−5<0，fA．1，1.5 B．1.5，1.625 C．【考点5用二分法求方程的近似解】【例5.1】（2023·全国·高一假期作业）用二分法判断方程2x3+3x−3=0在区间0,1内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：0.75【例5.2】（2023·全国·高一专题练习）若函数f（ff(1.5)=0.625f(1.25)=−0.984f(1.375)=−0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=−0.054那么方程f（x）【变式5.1】（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：f1=−2

ff1.375=−0.260

f那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（

）【变式5.2】（2023秋·高一课时练习）若函数f(x)=logffffff那么方程log3x+x−3=0的一个近似根（精确度0.1）为（A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4【考点6用二分法求函数的近似值】【例6.1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=x3+x−1在(0,1)x01f(x)11要使f(x)零点的近似值精确到0.1，则对区间(0,1)的最少等分次数和近似解分别为（

）【例6.2】（2023·全国·高三专题练习）用二分法求函数fx=lnx+1+x−1A．5 B．6 C．7 D．8【变式6.1】（2023·全国·高一专题练习）若函数f(x)的零点与g(x)=512x3−125的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数f(x)A．f(x)=4x−1 B．f(x)=|2x−1| C．f(x)=x3+x−2【变式6.2】（2023·全国·高一专题练习）某同学在用二分法研究函数f(x)=2x1f(x)−1−0.3716−0.0313则下列说法正确的是（

）模块模块四课后作业1．（2023秋·安徽·高一校联考阶段练习）函数y=6x2+x−1A．13,0,C．13,−12．（2023秋·全国·高一随堂练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）函数fx=2A．0,1 B．1,2 C．2,3 D．3,44．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)=xf(1)=−2f(1.5)=0.625f(1.25)=−0.984f(1.375)=−0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=−0.054那么方程x3+x2−2x−2=0A．1.25 B．1.39 C．1.41 D．1.55．（2023秋·高一课时练习）一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（）A．4次 B．6次C．8次 D．30次6．（2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．命题“∀x<1，都有x2<1”的否定是“∃x≥1，使得B．函数fxC．用二分法求函数fx=D．函数fx=lnx+1−7．（2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=12x−log2x,g(x)=12x−x2,ℎ(x)=12xA．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．b>a>c8．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=lnx−1A．3 B．4 C．5 D．69．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=log2x,x>0x2,x≤0,gA．−∞,−46C．−∞,8 10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=ax+1,x≤0,lnx,x>0,（a>0且A．a=2 B．ln2≤a<1或C．0<a≤ln2或1<a<2或a=2 D．ln11．（2023·全国·高一随堂练习）判断方程x3−x−1=0在区间12．（2023·全国·高一随堂练习）利用计算工具画出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：（1）fx（2）fx（3）fx（4