初中三角函数知识点总结及中考真题讲解

PAGEPAGE1锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)(倒数)余切(∠A为锐角)对边邻边斜边A对边邻边斜边ACB4、5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0°30°45°60°90°011001--106、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。7、正切、余切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据：①边的关系：；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。要点一：锐角三角函数的基本概念一、选择题1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（）A． B．C． D．【解析】选C..2.（2008·威海中考）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB＝（）A．B．C． D．【解析】选D.,设BC=k,则AC=3k,由勾股定理得3.（2009·齐齐哈尔中考）如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为，，则的值是（）A．B．C．D．【解析】选A.连接CD,由的半径为.得AD=3.=4.（2009·湖州中考）如图，在中，，，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【解析】选D在直角三角形ABC中，，，所以AC＝；所以，，；，，；5.（2008·温州中考）如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是（）A． B． C． D．【解析】选C.由是斜边上的中线，得AB=2CD=4.∴6.（2007·泰安中考）如图，在中，，于，若，，则的值为（）AACBD（A）（B）（C） （D）答案：B二、填空题7.（2009·梧州中考）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，，则AB的长是cm．【解析】解得AB=10cm答案：108.（2009·孝感中考）如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则．【解析】因为P（3，4），所以OP＝5，所以；答案：；9.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，，则这个菱形的面积=cm2．【解析】解得DE=6cm.∴cm2.答案：60三、解答题10.(2009·河北中考)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=24m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=

．AAOBECD（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【解析】（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24（m），∴ED==12（m）．在Rt△DOE中，∵sin∠DOE

=

=，∴OD=13（m）．（2）OE==（m）∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）．11.（2009·綦江中考）如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接．（1）求证：；（2）如果，求的值．DDABCEF【解析】（1）在矩形中，．（2）由（1）知在直角中，在直角中，．12.（2008·宁夏中考）如图，在△中，∠=90°，sin=，=15，求△的周长和tan的值．【解析】在中,∠=90°,=15==,∴∴周长为36,13.（2008·肇庆中考）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，c=5，求sinA和tanA的值.【解析】在Rt△ABC中，c=5，a=3．∴∴．14.（2007·芜湖中考）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，，(1)求证：AC=BD；(2)若，BC=12，求AD的长．【解析】(1)∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC．∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵=，=又已知∴=．∴AC=BD．(2)在Rt△ADC中，，故可设AD=12k，AC=13k．要点二、特殊角的三角函数值一、选择题1.（2009·钦州中考）sin30°的值为（）A． B． C． D．答案：C2.（2009·长春中考）．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点的坐标为（）A． B． C． D．答案：C3.(2009·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A．8米 B．米 C．米 D．米答案：C4.（2008·宿迁中考）已知为锐角，且，则等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ5.（2008·毕节中考）A（cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A1的坐标是（）A．B．C．D．答案：A6.（2007·襄樊中考）计算：等于（）（A） （B） （C） （D）答案：C二、填空题7.（2009·荆门中考）=______．【解析】答案：8.（2009·百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点C的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是米．（结果保留根号）．答案：9.（2008·江西中考）计算：（1）．【解析】答案：10.（2007·济宁中考）计算的值是。答案：0三、解答题11.（2009·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°【解析】3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°12.（2009·崇左中考）计算：．【解析】原式==0．13.（2008·义乌中考）计算：【解析】=2.5要点三、解直角三角形在实际问题中的运用一、选择题1.（2009·白银中考）某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A．8米B．米C．米 D．米【解析】选C.梯子的长至少为（米）.2.（2009·衢州中考）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是（）A． B．4C． D．答案：A3.（2009·益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A.B.C.D.αα5米AB答案：B4.（2009·兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A．5mB．6mC．7mD．8m【解析】选A由坡度为0.75知，相邻两树间的水平距离为4m，相邻两树间的垂直距离为h，则，则h＝3m，所以坡面距离为5m；5.(2009·潍坊中考)如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得，在C点测得，又测得米，则小岛B到公路l的距离为（）米．A．25 B． C． D．【解析】选B过点B作BE⊥AD于点E，在直角三角形BAE中，则在直角三角形BCE中，则。所以AE-CE=AC=50,即解得BE＝；二、填空题6.（2009·沈阳中考）如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为EQ\F(3,5)，则坡面AC的长度为m．【解析】因为sin∠ACB=,所以AC=10答案：10.7.（2009·衡阳中考）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个坡面的坡度为_________.答案：1:28.（2009·南宁中考）如图，一艘海轮位于灯塔的东北方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则海轮行驶的路程为_____________海里（结果保留根号）．【解析】∵,∴答案：9(2009·安徽中考)长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m．【解析】当梯子与地面夹角为时，梯子顶端高为；当梯子与地面夹角为时，梯子顶端高为，所以梯子顶端升高了答案：；10.(2008·庆阳中考)如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离=3米，，则梯子长AB=米.答案：411.（2007·湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道_______________m．（结果保留三个有效数字，参考数据：sin15°≈26，cos15°≈0.97）答案：1.28三、解答题12.（2009·庆阳中考）如图（1），一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定．如（2）是如图（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若∠AOB=45°，∠OAB=30°，OA=60cm，求点B到OA边的距离．（，结果精确到整数）【解析】如图，过点B作BC⊥OA于点C∵∠AOB=45°，∴∠CBO=45°，BC=OC．设BC=OC=x，∵∠OAB=30°，∴AC=BC×tan60°=x．∵OC+CA=OA，∴x+x=60，∴x=≈22（cm）．即点B到OA边的距离是22cm．13.（2009·郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为1.5米，测得仰角为，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN是多少米？（取=1.414，=1.732，结果保留两位小数）【解析】在直角三角形中，，米MP=10·tan300=10×≈5.773米因为米所以MN=1.5+5.77=7.27米答：路灯的高度为7.27米14.（2009·眉山中考）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。【解析】如图，过B点作BD⊥AC于D∴∠DAB＝90°－60°＝30°，∠DCB＝90°－45°＝45°设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝tan30°＝在Rt△BDC中，BD＝DC＝xBC＝又AC＝5×2＝10∴，得，∴（海里）答：灯塔B距C处海里15.（2009·常德中考）如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，