空间中的夹角和距离教案

空间中的夹角和距离1．距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。（1）两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度（2）点到平面的距离平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；求法：eq\o\ac(○,1)“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。eq\o\ac(○,2)等体积法。（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a、b所成的角为，它们的公垂线AA′的长度为d，在a上有线段A′E＝m，b上有线段AF＝n，那么EF＝（“±”符号由实际情况选定）2．夹角空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为0°，90°、[0°，90°]和[0°，180°]。（1）两条异面直线所成的角求法：eq\o\ac(○,1)先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；eq\o\ac(○,2)通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角（2）直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos＝，其中S为斜面面积，S′为射影面积，为斜面与射影面所成的二面角【典例解析】题型1：直线间的距离问题例1．已知正方体的棱长为1，求直线DA'与AC的距离。解法1：如图1连结A'C'，则AC∥面A'C'D'，连结DA'、DC'、DO'，过O作OE⊥DO'于E因为A'C'⊥面BB'D'D，所以A'C'⊥OE。又O'D⊥OE，所以OE⊥面A'C'D。因此OE为直线DA'与AC的距离图2在Rt△OO'D中，，可求得图2点评：此题是异面直线的距离问题：可作出异面直线的公垂线。解法2：如图2连接A'C'、DC'、B'C、AB'A'，得到分别包含DA'和AC的两个平面A'C'D和平面AB'C，又因为A'C'∥AC，A'D∥B'C，所以面A'C'D∥面AB'C。故DA'与AC的距离就是平面A'C'D和平面AB'C的距离，连BD'分别交两平面于两点，易证是两平行平面距离不难算出，所以，所以异面直线BD与之间的距离为。点评：若考虑到异面直线的公垂线不易做出，可分别过两异面直线作两平面互相平行，则异面直线的距离就是两平面的距离题型3：点线距离例1.已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,,Q是PA的中点，求Q到BD的距离。（金海洋171）例2．（2009天津卷理）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°（II）证明：因为（III）由（I）可得，方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得（I）所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明：，（III）又由题设，平面的一个法向量为题型4：点面距离求点到面的距离一般有三种办法：①直接法———过“点”作“面”的垂线（尽可能找到过这一点的一个与“面”垂直的平面，然后过“点”作它们交线的垂线）；②等积转换；③法向量:若平面的法向量为，直线AB与平面交于点A，则点B到平面的距离=。例1.正三棱柱的底面边长为，点M在BC边上，是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，（1）求证：点M为BC边的中点；（2）求点C到平面的距离；（金海洋172）例2．（2009重庆卷理）（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：（Ⅰ）点到平面的距离；（Ⅱ）二面角的大小．.（19）（本小题12分）解法一：（Ⅰ）因为AD//BC,且所以从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离。因为平面故,从而，由AD//BC，得,又由知，从而为点A到平面的距离，因此在中(Ⅱ)如答（19）图1，过E电作交于点G，又过G点作,交AB于H，故为二面角的平面角，记为，过E点作EF//BC,交于点F,连结GF,因平面,故.由于E为BS边中点，故,在中，,因，又故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得因此而在中，.在中，可得，故所求二面角的大小为解法二：（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面即点A在xoz平面上，因此又因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0).因E为BS的中点.ΔBCS为直角三角形,知设B(0,2,)，＞0，则＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1）.在CD上取点G，设G（），使GE⊥CD..由故①又点G在直线CD上，即，由=（），则有②联立①、②，解得G＝,故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为.因为=，,所以.，故所求的二面角的大小为.点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力[举例1]已知线段AD∥平面，且与平面的距离为4，点B是平面内的动点，且满足AB=5，AD=10，则B、D两点之间的距离（）A．有最大值，无最小值；B．有最小值，无最大值；C．有最大值，最小值；D．有最大值，最小值；解析：记A、D在面内的射影分别为A1、D1，∵AB=5，AA1=4，∴A1B=3，即B在面内以A1为圆心、3为半径的圆周上，又A1D1=10，故D1B最大为13，最小为7，而DD1=4，于是：由勾股定理得BD最大，最小，选D。z[举例2]在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.求点P到平面ABDz·B1·B1PACDA1C1D1BOH·图5-2·B1PACDA1C1D1BOH·图5-1E图5-3·B1PACDA1C1D1BOH·xyQ解析：方法一：“等积转换”。如果直接研究三棱锥P-ABD1的体积，无论怎样“转换”都不易求；在DD1上取一点Q，使DD1=4DQ，则PQ∥面ABD1，如图5-1；故=，记P到面ABD1的距离为h，则Q到面ABD1的距离为h，由=得：h=；方法二：以D为原点建系，如图5-2，A（4，0，0），B（4，4，0），D1（0，0，4），P（0，4，1），不难求出面ABD1的法向量=(1,0,1),=(4,0,-1),h==；方法3：“补齐”截面ABD1即正方体的对角面ABC1D1，过P作PE⊥BC1于E，如图5-3，∵PE⊥AB，∴PE⊥面ABD1，∴PE的长度即为点P到平面ABD1的距离，易求PE=。[巩固1]已知平面∥平面，直线，点，平面、之间的距离为8，则在内到P点的距离为9的点的轨迹是：（）A．一个圆B．两条直线C．四个点D．两个点[巩固2]（1）正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，则点到侧面的距离为_____（07高考江苏卷14）。（2）正三棱柱的所有棱长都为，为中点，则点到平面的距离为（07高考福建理18）．答案2、[巩固1]1、2、3、4，[巩固2]900，3、[巩固1]0或无数、300，[巩固2]方法一：“悬空射影”，方法二：“建系”，方法三：取PC中点D，PA∥OD，去求直线OD与平面PBC所成的角，过O作面PBC的垂面，找射影；arcsin；4、[巩固]方法一：延长DE、BA交于P，CP是二面角的棱，∠DCB是二面角的平面角，∠DCB=450；方法二：“平移“平面。取CD中点F，BD中点G，二面角D-EF-G为所求；方法三：以AB中点为原点“建系“；方法四：用公式：cos=。5、[巩固1]C，[巩固2]，。题型5：线面距离例1.已知正三棱柱的底面边长为8，对角线,AC的中点为D,求证：∥平面求直线到平面的距离（金海洋172）例2．（2009重庆卷）（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）如题（18）图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求：（Ⅰ）直线到平面的距离；（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．解法一:（Ⅰ）平面,AB到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因∥，故；又平面，由三垂线定理可知，，故，知，所以AG为所求直线AB到面的距离在中，由平面，得AD，从而在中，。即直线到平面的距离为。（Ⅱ）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，为二面角的平面角，记为.在中,,由得,,从而在中,,故所以二面角的平面角的正切值为.解法二:（Ⅰ）如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0)C(2,2,0)D(0,2,0)设可得,由.即,解得∥，面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则因且,而,此即解得①,知G点在面上,故G点在FD上.,故有②联立①,②解得,.为直线AB到面的距离.而所以（Ⅱ）因四边形为平行四边形,则可设,.由得,解得.即.故由,因,,故为二面角的平面角，又,,,所以点评：线面距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得，体积法不用得到垂线。题型6：面面距离例1．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：（1）求证：平面A1BC1∥平面ACD1；（2）求(1)中两个平行平面间的距离；（3）求点B1到平面A1BC1的距离。（1）证明：由于BC1∥AD1，则BC1∥平面ACD1，同理，A1B∥平面ACD1，则平面A1BC1∥平面ACD1。（2）解：设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离。易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，则cosA1BC1=，则sinA1BC1=，则S=。由于，则S·d=·BB1，代入求得d=，即两平行平面间的距离为。（3）解：由于线段B1D1被平面A1BC1所平分，则B1、D1到平面A1BC1的距离相等，则由（2）知点B1到平面A1BC1的距离等于。点评：立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来。在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面。这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解题型7：线线夹角例1．如图1，在三棱锥S—ABC中，，，，，求异面直线SC与AB所成角的余弦值。图1解法1：用公式当直线平面，AB与所成的角为，l是内的一条直线，l与AB在内的射影所成的角为，则异面直线l与AB所成的角满足。以此为据求解由题意，知平面ABC，，由三垂线定理，知，所以平面SAC。因为，由勾股定理，得。在中，，在中，。设SC与AB所成角为，则，解法2：平移过点C作CD//BA，过点A作BC的平行线交CD于D，连结SD，则是异面直线SC与AB所成的角，如图2。又四边形ABCD是平行四边形。由勾股定理，得：。图2在中，由余弦定理，得：。点评：若不垂直，可经过如下几个步骤求解：（1）恰当选点，作两条异面直线的平行线，构造平面角；（2）证明这个角（或其补角）就是异面直线所成角；（3）解三角形（常用余弦定理），求出所构造角的度数例2.已知两个正四棱锥的高分别为1和2,，(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;解析：(Ⅰ)记AC、BD交于O，连PO、QO，则PO⊥面ABCD，QO⊥面ABCD，∴P、Q、O共线，PQ⊥面ABCD；(Ⅱ)方法一：“平移”：注意到AC、PQ交于O，取OC的中点N，连结PN，BN，QBCPADON图1-2xyz∵，∴，故AQQBCPADON图1-2xyz所成的角（或其补角）.∵∴故异面直线AQ与PB所成的角是．方法二：“建系”：由题设知，ABCD是正方形，∴．由（I），平面，故可以分别以直线CA、DB、QP为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图1-2），由题设，相关各点的坐标分别是，，，，,于是注：在“平移”时常用到一些平面图形的性质，如：三角形的中位线、梯形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理的逆定理甚至三角形相似等。题型8：线面夹角直线与平面所成的角要“抓住”直线在平面内的射影，然后在直角三角形内求得；直线与平面所成的角是直线与平面内任意直线所成角的最小值。线面角的范围：[00，900]。例1.在如图所示的几何体中，平面，平面，，且，是的中点．求与平面所成的角．解析：方法一：“找射影”。过M作MF⊥ED于F，连CF，F由CM⊥AB，CM⊥AE得CM⊥面ABDE，故CM⊥ED，F∴ED⊥面CMF，于是有面CED⊥面CMF于CF，过M作MH⊥CF于H，则MH⊥面CED，∴∠MCH为与平面所成的角；设，，在直角梯形中，，是的中点，所以，，，得是直角三角形，其中，∴MF=在中，CM=MF，∴，故与平面所成的角是．注：“作垂面”是求作点M在面内的射影的最重要、最常用的方法，其过程是：过M点作平面⊥于，则M在面内的射影M/∈。方法二：“建系”。如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，．，．设向量与平面垂直，则，，即n·=0,n·=0,∵，，得：，，即，由向量夹角公式得：cos<n,>=,直线与平面所成的角是与夹角的余角，所以，故直线与平面所成的角是．注：线与面的法向量所成的角与线面角互余；注意到线面角不为钝角，故：AB与面所成的角为：arcsin（为面的法向量）。用法向量求线面角，以计算代替说理（找射影），最大限度地实现了“去逻辑化”，为疏于逻辑思维的同学求线面角提供了一条相对方便的路径；但是，并非所有的空间形体都可以建立适当的坐标系。例2.如图3-1，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.求CD与平面ADMN所成的角。BBCADPNM图3-1BBCADPNM图3-2QBBCADPNM图3-3E解析：确定C点在面ADMN上的射影Q的位置很困难。方法一：“射影悬空”。先不管Q点的位置，∠CDQ为CD与平面ADMN所成的角，入图3-2；记BC=a,在Rt⊿CQD中，CD=a,只需求出CQ（C到面ADMN的距离）即可，记为h；注意到，不难知道⊿AMD中AD边上的高为AN，AN=a,∴=a2；=2a2，M到面ACD的距离为a，∴h=a,故在Rt⊿CQD中，∠CDQ=arcsin。注：射影“悬空”求线面角的“革命”性意义在于绕开了求线面角中最困难的一步——确定射影的位置，把问题化归为求点到面的距离；而求点到面的距离可以通过“等积转换”实现，并不需要知道射影的确切位置。方法二：“平移”线段。取AD中点E，连BE，如图3-3，易见：BE∥CD，∴CD与平面ADMN所成的角即BE与平面ADMN所成的角；不难证明：BN⊥AN，BN⊥AC，∴BN⊥面ADMN，即点B在面ADMN上的射影为N，∠BEN为BE与平面ADMN所成的角；记BC=a，BN=a，BE=a，在Rt⊿BNE中，∠BEN=arcsin。本题也可以“建系”求，略。巩固1.太阳光线斜照地面，地面上与太阳光线成600角的直线有_________条？若太阳光线与地面成60°角时，要使一根长2米的竹竿影子最长，则竹竿与地面所成的角为。巩固2.在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC，PA=2BC，点O是AC的中点，OP⊥底面ABC．求直线PA与平面PBC所成角的大小．例3．2009湖南卷）（本小题满分12分）如图3，在正三棱柱中，AB=4,,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.（Ⅰ）证明：平面平面;（Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值解:（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,所以DE⊥平面.又DE平面，故平面⊥平面.（Ⅱ）解法1:过点A作AF垂直于点,连接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，所以AF平面,故是直线AD和平面所成的角。因为DE，所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，于是AD=，AE=4-CE=4-=3.又因为，所以E==4,,.即直线AD和平面所成角的正弦值为.解法2:如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,),(2,0,),D(-1,,0),E(-1,0,0).易知=（-3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0）.设是平面的一个法向量，则解得.故可取.于是=.由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为.点评：本题主要考查几何体的概念、线面夹角、两平面垂直等。能力方面主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力题型8：二面角求二面角的方法很多，概括起来有两类，一类是作平面角，一类是不作平面角。作平面角又有直接作和间接作两种，形形色色的方法都是在做一件事：作二面角的棱的垂面；而不作平面角，要么建系用法向量求，要么用公式cos=（其中S表示平面内的封闭图形C的面积，S/表示C在平面内的射影C/的面积，表示与所成的锐二面角的大小）。二面角的范围（00，1800)。如cos=-，则=arccos（-）=-arccos。例1．如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，。（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）求二面角的大小。（Ⅲ）求三棱锥的体积。解析：（Ⅰ）证明：取的中点，连结∵分别为的中点，∵，∴面，面∴面面∴面（Ⅱ）设为的中点∵为的中点∴∴面作，交于，连结，则由三垂线定理得。从而为二面角的平面角在中，，从而。在中，，故二面角的正切值为。（Ⅲ），作，交于，由面得，∴面，∴在中，，∴。点评：求角和距离的基本步骤是作、证、算。此外还要特别注意融合在运算中的推理过程，推理是运算的基础，运算只是推理过程的延续。如求二面角，只有根据推理过程找到二面角后，进行简单的运算，才能求出。因此，求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系的论证。ABEDABEDCPF直角梯形，∠ADC=，AB∥CD，PC⊥面ABCD，PC=AD=DC=AB，E为线段AB的中点。（1）求证：平面PAC⊥平面PDE；（2）求二面角A-PE-D的大小。ABABEDCPFO边形AECF是正方形，∴DE⊥AC，又DE⊥PC∴DE⊥面PAC，∴面PDE⊥面PAC；（2）记PC=a，方法一：用三垂线定理作二面角的平面角。记AC、DE交于O，连PO，PO是相互垂直的平面PDE和PAC的交线，过A作PO的垂线交PO（的延长线）于F，则AF⊥面PDE，即F是A在面PDE内的射影，又容易证明AE⊥面PEC，则AE⊥PE，于是FE⊥PE，∴∠AEF是二面角A-PE-D的平面角；在⊿PAO中有面积相等不难算出AF=a，而AE=a，在Rt⊿AFE中，∠AEF=arcsin。注：用三垂线定理作二面角的平面角，是作二面角的平面角的最常用、最重要的方法。其过程概括为：找一垂——找（作）一个面内一点P在另一个面内的射影P/，作二垂——过P（或P/）作二面角棱l的垂线，垂足为Q，连三垂——连P/Q，则l⊥P/Q，于是∠PQP/为二面角的平面角；计算该角在直角三角形内进行；在上述过程中，“找一垂”是关键。方法二：射影“悬空”作二面角的平面角注意到AE⊥PE，记点A在面PDE内的射影为F（无须知道点F的确切位置），连EF，则PE⊥FE，于是∠AEF是二面角A-PE-D的平面角；以下问题化归到求AF的长度（即A点到面PDE的距离）上。以下用“等积转换”求AF，计算略。ABEDCPMNABEDCPMN又容易知道AE⊥PE，取PA的中点N，连NM，则NM∥AE，∴PE⊥MN，于是∠NMD为二面角A-PE-D的平面角；以下在⊿DMN中，用余弦定理求∠NMD，计算略。方法四：用割补法求。视二面角A-PE-D为二面角A-PE-C与二面角D-PE-C的差。对二面角A-PE-C，∵AE⊥面PEC，∴面AEP⊥面PEC，即二面角A-PE-C为；对二面角D-PE-C，点C是点DABEDCPABEDCPM∴PE⊥MC，于是有：PE⊥MD，则∠DMC为二面角D-PE-C的平面角，在Rt⊿DCM中，∠DMC=arctan,∴二面角A-PE-D的大小为-arctan。注：在求钝二面角时“割补法”往往很有效。方法五：用平面的“法向量”求∵CP⊥CE,CP⊥CD,CE⊥CD,故可以C为原点，ABEDPxyABEDPxyCz直角坐标系。A（a,a,0）、D(a,0,0)、E(0,a,0)、P(0,0,a)，则=(a,0,0),=(a,-a,0),=(0,-a,a)由此不难求出平面PAE的法向量=（0，1，1），平面PAE的法向量=（1，1，1）则有：cos<,>=,∴二面角A-PE-D的大小为arccos。注：用“法向量”求二面角有一处严重的不足：二面角两个面的法向量的夹角未必等于二面角，也可能与二面角互补，这取决于法向量的方向，而确定法向量的方向却是中学生力不能及的。[巩固]如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，求面CDE与面CAB所成的锐二面角．CCABDE五．【思维总结】空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决．1．空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，)，直线与平面所成的角θ∈，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈(0，π)。对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．（1）求异面直线所成的角，一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角θ，构造一个含θ的三角形，解三角形即可。方法二是补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ。（2）求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影），最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角（3）求二面角，一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角，就是作出二面角的平面角来解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：①根据定义作二面角的平面角；②垂面法作二面角的平