广东省广州市荔湾区育才中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试卷（3月份）

2023-2024学年广东省广州市荔湾区育才中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下面四个几何体中，俯视图为四边形的是(

)A. B. C. D.2.实数a在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是(

)A.a的相反数是2 B.a的绝对值是2 C.a的倒数等于2 D.a的绝对值大于23.下列运算正确的是(

)A. B.

C. D.4.如图，边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则的值为(

)

A.140 B.70 C.35 D.245.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数185180185180方差根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择(

)A.丁 B.丙 C.乙 D.甲6.若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为(

)A. B. C. D.7.在平面中，下列命题为真命题的是(

)A.四边相等的四边形是正方形 B.对角线相等的四边形是菱形

C.四个角相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形8.若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是(

)A. B. C. D.9.如图，在▱ABCD中，，，的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，，垂足为G，，则的周长为(

)A.8 B. C.10 D.10.如图所示，四边形ABCD中，，，则BD的长为(

)

A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.如果二次根式有意义，那么x的取值范围是______.12.已知直线，将一块含角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若，则的度数为______

13.2020年，中国GDP总量达到1015986亿元.数据1015986用科学记数法表示为______.14.如图，中，，，点D是斜边AB的中点，那么的度数为______.

15.如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，用a和b的代数式表示：______.

16.关于二次函数在的取值范围内，函数y的最小值用含a的式子表示，下列结论：

①当时，函数y的最小值是；

②当时，函数y的最小值是；

③当时，函数y的最小值是；

④当时，函数y的最小值是

其中正确的有______填序号即可三、计算题：本大题共1小题，共8分。17.解方程组四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.本小题8分

如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且

求证：≌

19.本小题8分

已知：

化简A；

若a是方程的一个根，求A的值.20.本小题8分

第十五届中国“西博会”将于2014年10月底在成都召开，现有20名志愿者准备参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人．

若从这20人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率；

若该分会场的某项工作只在甲、乙两人中选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．21.本小题8分

如图，MN是的直径，，点A在上，，B为的中点，P是直径MN上一动点．

利用尺规作图，确定当最小时P点的位置不写作法，但要保留作图痕迹

求的最小值．22.本小题8分

某商店在2019年至2021年期间销售一种礼盒年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完，2021年，这种礼盒的进价比2019年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2019年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒.

年这种礼盒的进价是多少元/盒？

若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？23.本小题8分

如图，直线与反比例函数交于点，并与x轴，y轴交于点C，

求b，m的值；

连接OA，求的值；

点D在y轴的负半轴上，若以点D、C、B组成的三角形与相似，求点D的坐标.24.本小题8分

已知：正方形ABCD边长为点P为边AD上的动点，以直线BP为对称轴翻折得如图连接CQ，取CQ中点M，连接

当翻折后，若点Q刚好落在对角线BD上，求此时AP的长度；

当点P由A运动到D时，求点M的运动轨迹的长度；

如果将“点P为线段AD上的动点”改为“点P为射线AD上的动点”，其它条件不变，那么当为等腰三角形时，求此时AP的长度.25.本小题8分

已知抛物线的顶点C位于x轴下方.

求证：抛物线与x轴有两个交点；

若抛物线与x轴的两个交点为点A，在B的左侧，直线BC与y轴交于点D，且将绕点C按顺时针方向旋转一定角度后，点A与点B重合，此时点O恰好也在y轴上，求抛物线的解析式.

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：A、圆柱的俯视图是圆；

B、三棱锥的俯视图是三角形；

C、三棱柱的俯视图是三角形；

D、正方体的俯视图是四边形．

故选

俯视图是指从物体上面看，所得到的图形．

本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．2.【答案】D

【解析】解：由数轴可知，，

a的相反数，所以A不正确，

a的绝对值，所以B不正确，

a的倒数不等于2，所以C不正确，

D正确．

故选：

根据数轴确定a的取值范围，选择正确的选项．

本题考查的是数轴和实数的性质，属于基础题，灵活运用数形结合思想是解题的关键．3.【答案】D

【解析】解：A、，故本选项错误；

B、应为，故本选项错误；

C、应为，故本选项错误；

D、，正确．

故选：

根据合并同类项，去括号与添括号的法则，完全平方公式公式，平方差公式，进行解答．

本题考查合并同类项，去括号与添括号的法则，完全平方公式公式，平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．4.【答案】B

【解析】解：根据题意得：，，

；

故选：

由长方形的周长和面积得出，，再把多项式分解因式，然后代入计算即可．

本题考查了分解因式、长方形的周长和面积的计算；利用整体法求代数式的值是解题的关键．5.【答案】D

【解析】解：甲和丙的平均数大于乙和丁的平均数，

从甲和丙中选择一人参加比赛，

甲的方差小于丙的方差，

选择甲参赛，

故选：

首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．

此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．6.【答案】B

【解析】解：由，

根据题意，，

解不等式，得，

解不等式，得；

所以不等式组的解集为

故选

利用的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．

本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围，同时考查了不等式组的解法，难度较大．7.【答案】C

【解析】解：A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误；

B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；

C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确；

D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如右图所示，故此选项错误．

故选：

分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，不是真命题的可以举出反例．

此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8.【答案】D

【解析】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，

，，

，故A错误，

，故B错误，

不一定大于0，故C错误．

，故D正确，

故选：

首先判断a、b的符号，再一一判断即可解决问题．

本题考查一次函数与不等式，解题的关键是学会根据函数图象的位置，确定a、b的符号，属于中考常考题型．9.【答案】A

【解析】解：在▱ABCD中，，，的平分线交BC于点E，

，，

，

，

，

是等腰三角形，

同理是等腰三角形，

；

，

；

在中，，，，可得：，

又，

，

的周长等于16，

又▱ABCD

∽，相似比为1：2，

的周长为

故选：

本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查．在▱ABCD中，，，的平分线交BC于点E，可得是等腰三角形，；是等腰三角形，，所以；在中，，，，可得，又是等腰三角形，，所以，所以的周长等于16，又由▱ABCD可得∽，相似比为1：2，所以的周长为8，因此选

本题考查勾股定理、相似三角形的知识，相似三角形的周长比等于相似比．10.【答案】B

【解析】解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交于F，连接

，

，

，，

是的直径，

，

故选：

以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交于F，连接在中，由勾股定理即可求出BD的长．

本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以A为圆心，AB长为半径的圆，构建直角三角形，从而求解．11.【答案】

【解析】解：二次根式有意义，

，

故答案为：

根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．

本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．12.【答案】50

【解析】解：直线，

，

故答案为：50

根据平行线的性质即可得到结论．

本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．13.【答案】

【解析】解：

故答案为：

科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14.【答案】

【解析】解：，点D是斜边AB的中点，

，

，

，

故答案为：

先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答．

本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．15.【答案】

【解析】解：连接BD，EG，BE，DG的交点为M，

四边形ABCD，四边形CEFG为正方形，

，，，

，

≌，

，，

，

，

，

，

，

，，

，

，

故答案为：

由“SAS”可证≌，可得，，由勾股定理可得，，则，可得即可求解．

本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，熟练运用勾股定理是解决问题的关键．16.【答案】①②③

【解析】解：二次函数，

抛物线开口向上，对称轴为直线，

①当时，时，函数有最小值，函数y的最小值是，故①正确；

②当时，时，函数有最小值，函数y的最小值是，故②正确；

③当时，时，函数有最小值，函数y的最小值是；故③正确；

④当时，时，函数有最小值，函数y的最小值是；故④错误；

故答案为：①②③．

根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据，即可得到相应的最值，从而可以解答本题．

本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出相应的最值．17.【答案】解：，

①②得：，

把代入①得：，

则方程组的解为

【解析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

方程组利用加减消元法求出解即可．18.【答案】证明：是菱形ABCD的对角线，

，

在和中，

，

≌

【解析】本题考查了菱形对角线的性质即一条对角线平分一组对角，以及全等三角形的判定方法，难度适中．

根据菱形对角线的性质，可知一条对角线平分一组对角，即，再根据边角边即可证明≌19.【答案】解：

；

是方程的一个根，

【解析】利用分式的加减法计算法则进行解答；

把代入已知方程，得到，然后代入化简后的A中求值即可．

本题主要考查了一元二次方程的解的定义，分式的加减法，分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．20.【答案】解：现有20名志愿者准备参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人，

从这20人中随机选取一人作为联络员，选到女生的概率为：；

如图所示：

牌面数字之和为：5，6，7，5，7，8，6，7，9，7，9，8，

偶数为：4个，得到偶数的概率为：，

得到奇数的概率为：，

甲参加的概率<乙参加的概率，

这个游戏不公平．

【解析】直接利用概率公式求出即可；

利用树状图表示出所有可能进而利用概率公式求出即可．

此题主要考查了游戏公平性以及概率公式应用，正确画出树状图是解题关键．21.【答案】解：如图1所示，点P即为所求；

由可知，的最小值即为的长，连接、OB、OA，

点为点A关于直线MN的对称点，，

，

又为的中点，

，

，

，

又，

，

中，，即的最小值为

【解析】作点A关于MN的对称点，连接，与MN的交点即为点P；

由可知，的最小值即为的长，连接、OB、OA，先求，再根据勾股定理即可得出答案．

本题主要考查作图-复杂作图及轴对称的最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和圆周角定理、圆心角定理是解题的关键．22.【答案】解：设2019年这种礼盒的进价是x元/盒，则2021年这种礼盒的进价是元/盒，

依题意，得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意．

答：2019年这种礼盒的进价是35元/盒．

年及2021年购进这种礼盒的数量为盒

设该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为y，

依题意，得：，

解得：，不合题意，舍去

答：该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为

【解析】设2019年这种礼盒的进价是x元/盒，则2021年这种礼盒的进价是元/盒，根据数量=总价单价结合2017年和2019年购入礼盒数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

利用数量=总价单价可求出2019年及2021年购进这种礼盒的数量，设该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为y，根据2019年及2021年获得的利润，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程．23.【答案】解：将点A的坐标代入反比例函数表达式得：，

将点A的坐标代入一次函数表达式得：，解得：，

即，；

由知，直线AB的表达式为：，

则，则，，

过点O作于点H，则，

则，

则；

，

故当以点D、C、B组成的三角形与相似时，存在∽或∽，

由点A、B、C的坐标得，，，，，

则或，

即或，

解得：或16，

即点或

【解析】将点A的坐标函数表达式，即可求解；

过点O作于点H，则，则，即可求解；

当以点D、C、B组成的三角形与相似时，存在∽或∽，即可求解．

本题为反比例函数综合题，涉及到三角形相似、解直角三角形、反比例函数的基本性质等，其中，要分类求解，避免遗漏．24.【答案】解：如图，

四边形ABCD是正方形，

，，

以直线BP为对称轴翻折得