第18讲 数学思想选讲（二）（含解析）-【提高班精讲课】2021-2022学年高一数学重点专题18讲（沪教版2020必修第一册上海专用）

第18讲数学思想选讲（二）第18讲数学思想选讲（二）数学思想数学思想三：类比思想【例1】（2020秋•天心区校级期中）★★★☆☆我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．（1）求函数图像的对称中心；（2）请利用函数的对称性求（1）（2）的值；（3）类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论．【解答】解：（1）设的对称中心为点设，则为奇函数，依题可知，且，故，即，即，，，解得，函数的图像的对称中心为，（2）由（1）知函数的图像的对称中心为，，（2），且（1），（1）（2）；（3）推论：函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数为偶函数，或者函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数．【例2】（2020秋•杨浦区校级期末）★★★★☆若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数．（1）已知函数，函数，判断和是否为区间，上的增长函数，并说明理由；（2）已知函数，且是区间，上的增长函数，求正整数的最小值；（3）请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分）①如果对任意正有理数，都是上的增长函数，判断是否一定为上的单调递增函数，并说明理由；②如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围．【解答】解：（1）是：因为，，；不是，反例：当时，．（2）由题意得，对于，恒成立，等价于，即对，恒成立，因为，所以是关于的一次函数且单调递增，于是只需，解得，所以满足题意的最小正整数为9．（3）①不是构造，则对任意的正有理数，若，则，因此；若，则，因此．因此是上的增函数，但不是增函数．②根据题意，当时，，则当时，，当时，，由奇函数的对称性可知：当时，，当时，，则可得函数图像如图：易知图像与轴交点为，，，，因此函数在，上是减函数，其余区间上是增函数，是上的增长函数，则对任意的，都有，易知当时，，为保证，必有，即，故且，所以，解得，故答案为．

【练习】（2019秋•浦东新区校级期末）★★★★☆设是定义在，上的函数，若存在使得在，上单调递增，在，上单调递减，则称为，上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为的含峰区间．（1）判断下列函数是否为，上的单峰函数：①，，；②，，；③，，；④，，；对任意的，上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）；（2）证明：对任意的，，，若，则为含峰区间，若，则，为含峰区间；（3）对给定的，证明：存在，，满足，使得由（2）所确定的含峰区间的长度不大于．【解答】解：（1）根据单峰函数的定义可以判断，①在上单调递增，在上单调递减；②在上单调递增，在上单调递减；③在上单调递增，在，上单调递减；④在上单调递减，在上单调递增；故①③是单峰函数；（2）证明：设为的峰点，则由单峰函数定义可知，在，上单调递增，在，上单调递减．当时，假设，，则，从而，这与矛盾，所以，即是含峰区间．当时，假设，，则，从而，这与矛盾，所以，，即，是含峰区间．（3）证明：由（2）的结论可知：当时，含峰区间的长度为；当时，含峰区间的长度为；对于上述两种情况，由题意得①由①得，即又因为，所以，②将②代入①得，，③由①和③解得，．所以这时含峰区间的长度，即存在，使得所确定的含峰区间的长度不大于．数学思想四：转化思想【例3】（2018•青岛二模）★★★★☆若直角坐标平面内两点、满足条件：①、都在函数的图像上；②、关于原点对称，则对称点是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”．已知函数则的“友好点对”有个．【答案】2【解答】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数的图像关于原点对称的图像，看它与函数交点个数即可．如图，观察图像可得：它们的交点个数是：2．即的“友好点对”有：2个．故答案为：2．【例4】（2020秋•嘉定区期末）★★★★☆二次函数恒有两个零点、，不等式恒成立，则实数的最大值为．【答案】【解答】解：二次函数恒有两个零点、，△，设，，，①，令，当给定时，时可使①取得最小值，当时，则①可变为，当时，取，则①变成，①最小值为，故的最大值为．【练习】（2020秋•虹口区期末）★★★★☆已知函数，，的零点依次为、、，则、、的大小关系为.A． B． C． D．【答案】【解答】解：已知函数，，的零点依次为、、，时，，即，时，，即，时，，即，在同一坐标系中画出函数，，和的图像，由图像可知，这三个函数的零点依次增大，故、、的大小关系为．故选：．

【练习】（2020秋•青浦区期末）★★★★☆定义：如果函数在定义域内给定区间，上存在实数，满足，那么称函数是区间，上的“平均值函数”，是它的一个均值点．（1）判断函数是否是区间，上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数是区间，上的“平均值函数”，求实数的取值范围；（3）设函数是区间，上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的数对．【解答】解：（1）是；理由：根据新定义，可得在区间，上有解，可得，所以（1）是“平均值函数”；（2）函数是区间，上的“平均值函数”，可得在区间，上有解，可得在区间，上有解，令，，，则在区间，上有解，令或（1）（2），即此时不等式组无解；或；解得．故实数的取值范围，；（3）函数是区间，上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，即，可得，，，，，则解得，当，不是整数，当时，可得，故所有满足条件的数对．

1、（2021春•舒城县校级月考）★★★★☆有一习题：“求证方程只有一个解”．