2020-2021学年梅州市高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年梅州市高二上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.关于命题，下列判断正确的是()

A.命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题

B.命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题

C.命题“VxGR,x4eR”的否定为**3X0eR,环CR”

D.命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”

2.已知直线环在平面a内，则“直线/上有两个点到平面a的距离相等"是““/a”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.(理)若向量行=(1,1,X)，6=(1,2,1)-?=(1,1,1).满足条件值一行>(23)=—2，则x=()

A.：B.2C.—；D.—2

22

4.过点P(3,0)直线l与圆/+y2=4%的位置关系是()

A.相交B.相切C.相离D.相交或相离

5.已知双曲线条一3=19>0方>0)与抛物线*=4缶有共同的焦点尸，且点F到双曲线渐近

线的距离等于1,则双曲线的方程为()

A.-——=1B.x2—y2=1C.--y2=1D.x2——=1

44/3/3

6.己知函数/Xx)=1+芯一?+9—9+“・+^,设F(x)=/(x+4),且函数F(x)的零点均在

区间［a,b］(a<b,a,6eZ)内，圆产+y2=匕一。的面积的最小值是()

A.nB.27rC.3兀D.47T

7.某城镇为改善当地生态环境，2016年初投入资金120万元，以后每年投入资金比上一年增加10万

元，从2020年初开始每年投入资金比上一年增加10%,到2025年底该城镇生态环境建设共投资

大约为()

A.1600万元B.1660万元C.1700万元D.1810万元

8.已知若f(x)为定义在R上的偶函数，且当x6(—8,0］时，f(x)+2x>0,则不等式/(>+1)—

f(x+2)>2x+3的解集为()

A.(3,+8)B.(-00,-3)C.D.(--,4-OO)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物

学、经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如

下:设f(x)是定义在R上的函数,对于&CR,令X"=f(Xn-i)(n=l,23“・),若存在正整数k使

得丸=而，且当0<j<k时，Xj^x0,则称与是/(久)的一个周期为k的周期点.给出下列四个结

论正确的是()

A.若/(x)=/T,则/'(X)存在唯一个周期为1的周期点

B.若/(x)=2(1-%),则/。)存在周期为2的周期点

{2x,x<-

21，则/(x)不存在周期为3的周期点

2(1-x),x>-

D.若/(x)=x(l-x),则对任意正整数n,；都不是f(x)的周期为n的周期点

10.已知奇函数/(%)的定义域为R,且满足对任意的X6R,都有/(T)=/(X+1).当OWxW割寸,

/(x)=log2(l+x),则下列说法正确的是()

A.的周期为2B.若ieN*,则22i/(i)=0

1011

C•点(一1.0)为/⑶的一个对称中心D.X曾=log2(|)

11.关于椭圆9+?=1,以下说法正确的是()

A.长轴长为2aB.焦距为2注

C.离心率为当D.左顶点的坐标为(-夜,0)

12,在三维空间中，定义向量的外积：方x坂叫做向量五与方的外积，它是一个向

量，满足下列两个条件：

①为1(5x3)，b1(axK)，且落B和ax石构成右手系(即三个向量的方向依次

与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示)；

②运xl的模|方>石|=|方||7|sin<2，(<乙］>表示向量五,3的夹角).

在正方体4BC0-4B1C1D1中，有以下四个结论，正确的有()

A.|丽xAC\=\福x丽|

B.ABxAD=ADXAB

C.石77x卡与西方向相同

D.6|前x前|与正方体表面积的数值相等

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.如图，y=f(x)是可导函数.直线2是曲线y=/(x)在％=2处的切线,

令g(x)=号,则g'(2)=.

14.经过点3,0),Q(0,-2)的椭圆的标准方程是.

15.已知a>0,点A(a,a),B(0,a),C(a,0),M和N分别是线段。B、AC上的动点(包括端点，其中。

是坐标原点)，且满足|0M|=|4N|,则直线ON与CM的交点P的轨迹方程为

16.正方体48。。一4/16。1中，则异面宜线4B与4G所成的角大小为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.己知4(一1,2),8(3,-2),C(l,5),求过点C且与直线48垂直的直线方程.

18.已知直线I：ax+(2-a)y+1=0.

(I)若直线，在x轴上截距和在y轴上截距相等，求a的值；

(11)若直线1与圆0—》2+3一》2=!相切，求°的值.

19.如图，动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室，如果I..]..「©....“....「fl

可供建造围墙的材料总长是307n.x

(1)用宽光(单位m)表示所建造的两间熊猫居室的面积y(单位巾2)；

(2)怎么设计才能使所建造的熊猫居室面积最大？并求出每间熊猫居室的最大面积？

20.如图，斜三棱柱ABC-481cl的底面是直角三角形，乙4cB=90。，点名在底面内的射影恰好是

BC的中点，且BC=C4=2

(1)求证：平面4CC1&_L平面BiQCB；

(2)若4遇=3,求点B到平面B1C4的距离.

4

21.设直线y=ax+b与双曲线3——y2=i交于A、氏且以4B为直径的圆过原点，求点P(a,b)的

轨迹方程.

22.已知函数萩:盛=工斓科描/哥怀•书癖，设曲线展=翼:礴在与窖轴交点处的切线为抑=硼：-』既,

冬

,飕琰为舞磁的导函数，满足,资津-蹴=殿礴.

(1)求.戏蜷的单调区间.

(2)设教磁=嘉必奠礴,蝴油颂，求函数辔氏礴在|奥喇上的最大值;

参考答案及解析

1.答案：c

解析：解：命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词，是全称命题，所以4不正确；

命题“有一个素数不是奇数”是存在量词命题，所以8不正确；

命题“VxeR,x,eR”的否定为“m&eR,xfCR”，满足命题的否定形式，所以C正确；

命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，所以。不正确；

故选：C.

利用量词判断48的正误；命题的否定判断CO的正误.

本题考查命题的真假的判断与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

2.答案：B

解析：解：由直线，不在平面a内，知：

“直线2上有两个点到平面a的距离相等”="〃/a或直线2与平面a相交”，

“〃/a”="直线I上有两个点到平面a的距离相等”，

直线，上有两个点到平面a的距离相等”是“l〃a”的必要不充分条件.

故选:B.

“直线I上有两个点到平面a的距离相等”=>“〃/a或直线2与平面a相交"，“〃/a”="直线/上有

两个点到平面a的距离相等”，由此能求出结果.

本题考查充分条件、必要条件的判断，考查直线与平行的位置关系等基础知识，是基础题.

3.答案：B

解析：解：由题意可得仁―五)•(2方)=(0,0,1—；0・(2,4,2)=2(1—久)=一2，

可得久=2,

故选：B.

由条件《一砂•(2])=-2，化简可得2(1-%)=一2,由此求得x的值.

本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，属于基础题.

4.答案：A

解析：解：•••圆心C(2,0)与点P(3,0)的距离为|PC|=1,

圆半径r=1V16=2,

\PC\<r,

•••点P在圆内，；.过点P(3,0)直线/与圆+y2=4%相交.

故选：A.

由圆心C(2,0)与点P(3,0)的距离小于圆半径，得点P在圆内，由此能求出过点P(3,0)直线/与圆/+

y2=4%相交.

本题考查直线与圆的位置关系的求法，是中档题，解题时要认真审题.

5.答案：B

解析：解：因为抛物线f=8x的焦点坐标(、/2,0)，

则由题意知，点F(夜,0)是双曲线的左焦点，

所以a?+b2=c2=2,

又双曲线的一条渐近线方程是bx-ay=0,

所以点F到双曲线的渐近线的距离d=7=彗=1,

Va2+d2

.,,/)=1,

解得a=l,

所以双曲线的方程为：%2-y2=1.

故选：B.

通过双曲线的标准方程可见其焦点在%轴上，则双曲线的左焦点为(-鱼,0),此时由双曲线的性质

a2+b2=c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在％轴上的双曲线的渐近线方程为y=±^x,可得a、

6的另一个方程.那么只需解a、b的方程组，问题即可解决.

本题考查圆锥曲线的共同特征，主要考查了双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确

定c和a的值，是解题的关键.

6.答案：A

,V2V3V4"2013

解析：解：=+J—二+…+游，

八/2342013

,1J.V2013

,当X<一1或％>一1时，/'(%)=1—X+/3+…+x2012=-------->0.

〉''1+X

而当x=-1时，［。)=2013>0

・•・/'(%)>0对任意XGR恒成立，得函数/(%)是(一8,+8)上的增函数

•••/(-1)=(1-1)+(-A3)+…+^~7oi2~2Ql3^<0，/(。)=1>0

二函数/(%)在R上有唯一零点式oG(-1,0)

・.・“%)=f(x+4),得函数尸(%)的零点是&-4G(-5,-4)

CL<-5且b>—4,得b—Q的最小值为—4—(—5)=1

•.,圆*2+y2=6_a的圆心为原点，半径r=7b-a

.,.0x2+y2=b-a的面积为兀*=兀(/,-a)<n,可得面积的最小值为乃

故选:A.

利用导数研究函数的单调性，得函数f(x)是R上的增函数.再用零点存在性定理，得f(x)在R上

有唯一零点X。e(-1,0),结合函数图象的平移知识可得数尸(x)的零点必在区间(-5,-4),由此不难得

到b-a的最小值，进而得到所求圆面积的最小值.

本题给出关于x的多项式函数，求函数零点所在的区间长度的最小值.着重考查了函数的零点、圆的

标准方程和利用导数研究函数的性质等知识点，属于中档题.

7.答案：D

b

解析：解：设2016年到2025年每年投入资金分别为电,a2>。3，«4,瓦，2.....匕6，

由已知a2,a3,。4为等差数列，%=120,a4=150>

其和为S]=aT+a2+a3+a4=540>

又瓦，b2,,坛为等比数列,bj=150x1.1,公比q=l.l,

6

其和为S2=瓦+尻+­••...+b6=I2=1650(1.1-1).

Xl.l6=(1+0.1)6«1+C^O.l+Cjo.I2+CfO.I3«1.77,

:.S2x1270,

:.Si+S2P1810,

即共投入资金大约为1810万元.

故选：D.

设2016年到2025年每年投入资金分别为a?,a3,a4,瓦，b2,..，b6,由题意可知出,a2，

a,为等差数列，比,b2,生为等比数列，再利用等差数列和等比数列的前n项和公式求解.

本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，同时考查了学生的计算能力，是基础题.

8.答案：D

解析：解：根据题意,设g(x)=/(%)+/,

则f(x+1)-f(x+2)>2x+3=>f(x+1)+(x+I)2>/(x+2)+(x+2)2ng(x+1)>g[x+

2).

若/(x)为偶函数，贝Ug(-x)=/(-x)+(-x)2=f(x)+x2-g(x),即可得函数g(x)为偶函数，

又由当x€(-8,0]时,f(x)+2x>0,则g(x)单调递增，则g(x)在[0,+8)上递减,

则g(x+1)>g(x+2)=I尤+1|<|x+2|=(x+I)2<(x+2)2,解可得x>-|,

即不等式的解集为(-l，+8);

故选：D.

根据题意,分析可得/(x+1)-f(x+2)>2x+3=f(x+1)+(x+l)2>f(x+2)+(x+2)2=>

g(x+l)>g(x+2),由函数奇偶性的定义分析可得g(x)为偶函数，结合函数的单调性分析可得

g(x+l)>g(x+2)n|%+1|>|%+2|,解可得x的取值范围，即可得答案.

本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意分析g(x)的奇偶性与单调性，属于基础题.

9.答案:AD

解析：解:对于殉GR,令xn=/(xn_1)(n=1,2,3,...)>

若存在正整数k使得4=殉，且当0</<k时，X)*x0,

则称而是/(x)的一个周期为k的周期点.

对于4,f(x)—ex-1»当k=l时，=f(&)=e&T,

因为直线y=x与y=/(x)只有一个交点(1,1),故A正确；

对于E,,/(x)=2(1-%),k=2时,x2=/(xj=2(1-xj=2[1-/(x0)]=4x0-2,

所以f(x)存在周期为2的周期点，故B正确；

(2x,x<-

对于C,若/'(x)=121，则当％<0时，/(%)<0恒成立；

\2(l-x),x>-

当久<0时，xr—/(x0)-2x0<0,x2—/Qi)=4x0<0.x3-/(x2)-8x0<0,

显然X。=X3在a=0时成立，所以存在周期为3的周期点，故③错误：

对于D,/(%)=x(l-%)=-(x-j)2+所以B|J/(x)<I，

所以3不是周期点，故。正确.

故选：AD.

由周期点的定义，可得直线y=x与y=/(x)存在交点.分别对选项分析，结合函数的最值和函数值

的符号，可得结论.

本题考查了函数的新定义的理解和运用，主要是周期点的定义，考查运算能力和推理能力，属于中

档题.

10.答案：ABC

解析：解：对于4因为对任意的都有/(—x)=/(x+l),所以/(x)关于％对称，

又因为/(x)为奇函数，所以/(-X)=

所以，f(x)=-f(x+1)=-(-/(x+1+1))=f(x+2),于是f(x)的周期为2,所以4对；

对于B,因为f(l)=/(0)=0,f(2)=/(0)=0,所以当i€N*时，/(i)=0,所以，口i/(i)=0,

所以B对；

对于C因为/(—2-乃=/(一乃=一/(乃,所以点(-1,0)为/(x)的一个对称中心，所以C对；

对于。，当i=2k时，/(1)=f(k)=0,当i=4k+1H寸，/(1)=f(2k+}=/(},当i=4k+3时，

/(1)=fQk+1)=/(I+》=/(-1)=

1011

所以濯=/(|)=log2(|)*log2(|),所以。错.

故选：ABC.

4根据周期函数定义判断；B根据周期性求/(i),进而求解；C根据对称中心定义判断；。根据周期性

分类求/(》值，进而求解.

本题以命题的真假判断为载体，考查了函数基本性质，属于中档题.

11.答案：BCD

解析：

求出椭圆的长轴长，焦距，离心率，左顶点坐标，判断选项的正误即可.

本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题.

解：椭圆^■+?=1的焦点在y轴上，a=2,b=企,c=或，

所以长轴长为2a=4,A错误；

焦距2c=2\/2，B正确；

离心率e=£=涯，C正确；

a2

左顶点坐标为(一40),即(一四0),。正确.

故选：BCD.

12.答案:ACD

解析：解：对于4,由五xb模的定义知，

|axb|=|a11b|sin<a>b>=|b||a|sin<

a>=|Kxa|.所以4对；

对于B,由五,方和「X1构成右手系知,Zx石与Bx五方向相反，

再由4知，a,Xb=—bxa>所以B错；

对于C,A1cl1B1D1,41cl1BB、=41cl_L平面口当久。，

BDXu平面BB也。=BO11A£,BDr1ArD,

再由右手系知，硒'x砸与西同向，所以C对；

对于D,正方体棱长为a,6|BCx^4C|=6|BC||^C|-sin45°=6V2a-a-y=6a2.

正方体表面积为6a2,所以D对.

故选：ACD.

运用新定义及空间向量基本概念分别判断即可.

本题以命题的真假判断为载体，考查了空间向量的基本概念，理解新定义是解本题的关键，属中档

题.

13.答案：一：

解析：解：由图可知，/(2)=3,r(2)=三=3

2—U/

又g(x)=竽.W(x)=^^，

则或2)=字=/

故答案为：一,

由图象可得外2)与((2)的值，再由导数的运算法则求g(x)的导数，则答案可求.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查基本初等函数的导函数与导数的运算法则,

是基础题.

14.答案：亡+g=1

94

解析:解：•.,经过点P(-3,0),(2(0,-2),

・•・a=3,b=2,

所以椭圆的标准方程为立+乃=1.

94

故答案为：兰+日=1.

94

根据经过点P(-3,0),<2(0,-2),表示出长轴，短轴，然后写出椭圆的标准方程，即可.

此题考查学生会利用待定系数法求椭圆的标准方程，是一道基础题.学生做题时应注意椭圆的焦点

所在位置.

15.答案：y--~x2+(0<x<a)

解析：解：设N(Q")(0W£WQ),

v\OM\=\AN\,

:.M(0,a—t).

直线ON,CM的方程分别为：y=-xf-+^=1,

联立消去t可得：y=-^x24-x,(0<x<a).

故答案为：y=—/x2+x,(0<x<a).

设N(a,t)(0WtWa),根据|OM|=\AN\,可得M(0,a-t).

直线ON,CM的方程分别为：y=：x,(+£=1,联立

消去t即可得出.

本题考查了直线方程、抛物线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

16.答案：45°

二ZB141cl为异面直线4B与46所成的角，且NBi&G=45°,

.••异面宜线4B与4G所成的角大小为45。，

故答案为：45°.

可连接4G，从而可看出NB14G为异面直线4B与41cl所成的角，并且该角显然为45。.

本题考查了异面直线所成角的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题.

17.答案：解：因为=不二=—1，

故所求直线的斜率为1,

所求直线方程y—5=%—1,即x—y+4=0

解析：先求出4B的斜率，然后根据直线垂直的条件可求所求直线的斜率，进而可求直线方程.

本题主要考查了直线垂直的条件及直线方程的点斜式方程的应用，属于基础试题.

18.答案：（I）易知直线I的截距不能为0,

令“0,y=一士，令y=0,x=

（口）圆心GJ）到直线I的距离d=号+产*=々

22y/a2+（2-a）2V5

整理,得而三片"。？-2a-8=0na=4或a=-2；

解析：（I）分另I令x=0,y=0,得到截距，解方程即可；

（II）根据圆心到直线的距离等于半径列出方程求解.

本题考查截距的知识，直线与圆相切对应的等量关系，属于基础题.

19.答案：（本题满分12分）

解：（1）设熊猫居室的宽为％（单位m）,由于可供建造围墙的材料总长是30小

两间熊猫居室的长为30-3x（单位rn）...（1分）

所以两间熊猫居室的面积y=%（30-3%）...（3分）

又备>-°3%>。得°<“<1°”5分）

于是y=-3x2+30x,（0<x<10）为所求…（6分）

（2）又（l）y=-3x2+30x=-3（x-5）2+75二次函数图象开口向下，对称轴x=5...（8分）

且x6（0,10）,当x=5时，所建造的熊猫居室面积最大，...（10分）

使熊猫居室的宽5m,两间居室的长为157n时所建造的熊猫居室面枳最大；

其中每间熊猫居室的最大面积为当加2...（12分）

解析：（1）设熊猫居室的宽为x,则两间熊猫居室的长为30-3x,进而可得两间熊猫居室的面积y的

表达式；

（2）由（1）中所得解析式及自变量x的取值范围，由二次函数的图象和性质，可得函数最大值及最大值

点.

本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键.

20.答案：（1）证明：取BC中点M,连接贝lj74

•••Bi在底面内的射影恰好是BC的中点

B[MJ•面4BC,

•1,B]Mu面BBiGC

.•.面BBiGC，面ABC

vBC=®BB1C1Cn面力BC,AC1BC

■■AC1面BBiQC

•••ACu面4CC14

.•.面acGai面Bcc/i

(2)解：设点B到平面B1C4的距离为八，

=KBI-ABC，

(|x2x3)/i=|(|x2x2)x2V2

.-.h=^

3

即点B到平面BO的距离为警

解析：(1)取BC中点M,连接81M,则当Ml面ABC,从而面88道母_1_面48。，进一步可得4cl面

BBiGC,从而可证面ACGa_L面BCC/i；

(2)利用力-B1c4=^Bi-ABC'可求点B到平面B1CA的距离.

本题考查面面垂直，考查点到面的距离，解题的关键是掌握线面、面面垂直的判定与性质，正确运

用三棱锥的体积公式.

21.答案：解：由鼠2_丫2=1，

消去y得：(a?-3)x2+2abx+Z?2+1=0.

•••直线与双曲线交于4、B两点，

*2—340,

"(△>0

设4(x"i),B(