广西壮族自治区柳州市青华中学高三数学理上学期期末试卷含解析

广西壮族自治区柳州市青华中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的零点所在的区间为（

）A.（1,2）

B.（2,3）

C.（3,4）

D.（4,5）参考答案：B2.垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是

A．

B．C．

D．参考答案：A本题考查直线与圆的位置关系，直接由选项判断很快，圆心到直线的距离等于，排除B、C；相切于第一象限排除D，选A.直接法可设所求的直线方程为：，再利用圆心到直线的距离等于，求得.3.已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±2x C．y=±（+1）x D．y=±（﹣1）x参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得∴x=，y=∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，∴双曲线的渐近线方程为y=±（+1）x，故选：C．4.有五条线段长度分别为，从这条线段中任取条，则所取条线段能构成一个三角形的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B

解析：能构成三角形的边长为三种，

5.若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.或

D.参考答案：D要使符合题意，则圆上所有点在直线之间，因为圆心到直线的距离且，则所有圆心到直线的距离，且，解得，故答案选D．6.将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（），得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都仍然是一个函数的图象，则的最大值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D7.全集，，则集合（

） A．{0，1，3} B．{1，3} C．{0，3} D．{2}参考答案：A略8.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=，则f（3）的值为(

)A.-1

B.-2

C.1

D.2参考答案：B9.在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A． B．3 C．2 D．参考答案：A【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据三角形的面积公式求得丨AB丨，cosA=，sinA=，求得丨AD丨，丨BD丨在△BDC中利用勾股定理即可求得BC的长度．【解答】解：在图形中，过B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨?丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A．10.下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数，满足则的取值范围为

．参考答案：12.已知首项为正数的等差数列中，,则当取最大值时，数列的公差=

．参考答案：-313.已知某随机变量的概率分布列如右表，其中，随机变量的方差，则

.参考答案：14.过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为___________．参考答案：略15.给出下列函数：①y=x3+x；②y=sinx，；③y=lnx；④y=tanx；其中是奇函数且在（0，+∞）单调递增的函数序号为．（将所有满足条件的都填上）参考答案：①【考点】正切函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性分别判断即可．【解答】解：根据奇函数的定义及函数x3+x的图象知该函数为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，所以①正确；y=tanx，y=sinx是奇函数，在[0，+∞）不单调，所以不正确．y=lnx是非奇非偶函数，所以不正确．故答案为：①．【点评】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，是一道基础题．16.半径为4的球面上有四点,且满足,则的最大值为(为三角形的面积)_____________.参考答案：3217.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于 ．参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)

如图，已知椭圆C：的左、右顶点为A、B，离心率为，直线x-y+l=0经过椭圆C的上顶点，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．

(I)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)求线段MN长度的最小值；

(Ⅲ)当线段MN长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点P，使得△PAS的面积为l?若存在，确定点P的个数；若不存在，请说明理由．参考答案：略19.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分5分.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦′矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）参考答案：20.（本小题满分11分）等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列,，且．

（1）求与；

（2）求数列的前项和。（3）若对任意正整数和任意恒成立，求实数的取值范围．参考答案：【答案解析】（1）（2）（3）解析：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，，

依题意有，即，解得或者（舍去），故。（4分/

（2）。，，两式相减得，所以。（8分）

（3），∴

，（10分）问题等价于的最小值大于或等于，即，即，解得。（11分）.【思路点拨】对于等差数列与等比数列综合问题，通常直接利用公式转化求解；对于数列求和问题通常结合通项特征确定求和思路；对于不等式恒成立问题，通常转化为最值问题进行解答.21.已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】创新题型；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，把函数f（x）求导得到g（x）再对g（x）求导，得到其导函数的零点，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数g（x）的单调期间；（Ⅱ）由f（x）的导函数等于0把a用含有x的代数式表示，然后构造函数φ（x）=x2，由函数零点存在定理得到x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），利用导数求得a0∈（0，1），然后进一步利用导数说明当a=a0时，若x∈（1，+∞），有f（x）≥0，即可得到存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．【解答】解：（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），g（x）=，∴．当0＜a＜时，g（x）在上单调递增，在区间上单调递减；当a时，g（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）由=0，解得，令φ（x）=x2，则φ（1）=1＞0，φ（e）=．故存在x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由知，函数u（x）在（1，+∞）上单调递增．∴．即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=φ（x0）=0．由（Ⅰ）知，f′（x）在（1，+∞）上单调递增，故当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，从而f（x）＞f（x0）=0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而f（x）＞f（x0）=0．∴当x∈（1，+∞）时，f（x）≥0．综上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．【点评】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，是压轴题．22.（本小题满分12分）已知函数在处的切线方程为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明：当，且时，．参考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.即当，且时，，所以当，且时，．………………12分考点：导数的几何意义及求导法则的运用,运用导数知识分析问题解决