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文档简介

§2含参量反常积分2021/5/91本节研究形如的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情况可类似处理。2021/5/92设是定义在无界区域上,若对每一个固定的,反常积分都收敛,则它的值是在区间上取值的函数,表为称为定义在上的含参量的无穷限反常积分,或简称为含参量反常积分.2021/5/93对于含参量反常积分和函数则称含参量反常积分在上一致收敛于.2021/5/94

一致收敛的柯西准则:含参量反常积分在上一致收敛的充要2021/5/95

一致收敛的充要条件;含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是:对任一趋于的递增数列(其中),函数项级数在一致收敛.2021/5/96

魏尔斯特拉斯M判别法:设有函数,使得2021/5/97魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法若一致收敛。证明因为收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有且收敛，则关于2021/5/98从而所以关于一致收敛。2021/5/99魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法若一致收敛。证明因为收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有且收敛，则关于2021/5/910从而所以关于一致收敛。2021/5/911例1在内一致收敛解因为而积分收敛，所以在内一致收敛2021/5/912

狄利克雷判别法;2021/5/913

阿贝耳判别法:2021/5/914二、一致收敛积分的性质1.连续性定理因为在内一致收敛，所以证明因此，当时，设在上连续，关于在上一致收敛，则一元函数在上连续。2021/5/915又在上连续，所以作为的函数在连续，于是从而，当时，有定理证毕。2021/5/9162.积分顺序交换定理设在上连续，关于在上一致收敛，则在可积，并且2021/5/9173.积分号下求导的定理设在上连续，收敛，关于在上一致收敛，则在可导，且2021/5/918证明因为在连续，由连续性定理在连续，

沿区间积分，由积分顺序交换定理，得到在上式两端对求导，得定理证毕。2021/5/919

连续性即:2021/5/920

可微性可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算可以交换.即2021/5/921

可积性2021/5/922含参量反常积分在上一致收敛.证明反常积分在上一致收敛.2021/5/923证明含参量反常积分在上一致收敛.在上一致收敛.2021/5/924证明含参量反常积分在上一致收敛.含参量反常积分在上一致收敛.2021/5/925例4证明证（1）用分段处理的方法.

2021/5/926因为

2021/5/9272021/5/928例4计算积分

解

2021/5/929例5利用积分号下求导求积分

解因为

因为

故

2021/5/930由数学归纳法易证于是

2021/5/931例6计算积分

解

令

2021/5/932在第二项积分中令

得故

2021/5/933(2),含参量反常积分一致收敛的定义;(1),含参量反常积分的定义;(3),含参量反常积分一致收敛的

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