复变函数解析函数零点的孤立性及唯一性定理

章解析函数的幂级数表示法

节复级数的基本性质节幂级数节解析函数的泰勒(Taylor)展式节零点的孤立性与唯一性原理2021/5/91第一节复级数的基本性质１复数项级数定义4.1对于复数项的无穷级数

命（部分和）。若

则称复数项级数收敛于

否则称级数发散。2021/5/92定理4.1设，则复数级（4.1）收敛于实数及分别收敛于的充要条件为2021/5/93例求证级数在时收敛于，而当时发散。证明：1）用极限定义易证，当时，因而由极限的性质得到2021/5/94因此按定义4.1得2）当时，显然有，因而故级数发散。2021/5/953）当时，显然有因此级数也发散。2021/5/964）当，而时，设，则因为，所以它对任何固定的都无极限由此可见，复数当时无极限，亦即无极限，因此级数发散。2021/5/97

例4.1

考察级数的敛散性。解因发散，收敛，我们仍断定原级数发散。故虽2021/5/98例讨论级数的敛散性解：而2021/5/99收敛，级数同时收敛或同时发散。当时，级数收敛。当时，由知，发散2021/5/910定理4.2柯西收敛原理（复数项级数）级数收敛必要与充分条件是：任给可以找到一个正整数N，使得当n>N，p=1,2,3,…时2021/5/911定理4.3复级数（4.1）收敛的一个充分条件为级数收敛2021/5/912定义4.2若级数收敛，则原级数称为绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛。2021/5/913（１）一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序，而不致改变其绝对收敛性，亦不致改变其和。（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积级数。定理4.42021/5/914例判断下列级数的敛散性分析：考查正项级数的敛散性。解（1），则由正项级数的比值判别法知道，原级数绝对收敛。2021/5/915（2）因故原级数发散2021/5/916练习：证明级数收敛，但不绝对收敛2021/5/9172.一致收敛的复函数项级数定义4.3设复变函数项级数在点集上存在一个函数，对于上的每一个点，级数（4.2）均收敛于，

则称为级数（4.2）的和函数，记为2021/5/918

定义4.4对于级数（4.2），如果对任意给定的，存在正整数当时，对一切的均有则称级数（4.2）在上一致收敛于2021/5/919与定理4.2类似地我们有定理4.5级数在上一致收敛的充要条件是：，当使时，对任一及均有2021/5/920定义4.4‘在点集合E上不一致收敛于某个对任何整整数总有某个使定理4.5’在点集E上不一致收敛某个对任何正整数N，整数总有某个及某个正整数，有2021/5/921定理（优级数准则）若存在正数列而且正项级数收敛，则复函数项级数在集上绝对收敛且一致收敛。使对一切,有2021/5/922例求级数的和函数分析：求部分和；分别就取极限解：2021/5/923所以2021/5/924例证明级数时一致收敛当当时发散。证明：1）当时，由于，而正项级数收敛，故由优级数准则知所给级数在时绝对且一致收敛。2021/5/9252）当时，，所以绝对收敛。又由于故发散，从而所给级数在时发散。2021/5/9263）当时，，所以收敛。发散。后者是因为从而所给级数在时发散。2021/5/927级数在闭圆上一致收敛。因有收敛的优级数2021/5/928思考题：证明在内不一致收敛。2021/5/929定理4.6设复平面点集E表示区域、闭区域或简单曲线在E上一致收敛于f(z)，那么f(z)在E上连续。定理4.7设在简单曲线C上{fn(n)}(n=1,2,…)或序列{fn(n)}在C上一致收敛于f(z)或或连续，并且级数。设在集E上{fn(z)}(n=1,2,…)连续，并且级数，那么2021/5/930注解：注解1、在研究复变函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；注解2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。2021/5/931内闭一致收敛：设函数序列在复平面C上的区域D内解析，如果级数序列{fn(n)}在D内任一有界闭区域（或在一个紧集）上一致收敛于f(z)或，那么我们说此级数或序列在D中内闭（或内紧）一致收敛于f(z)或。2021/5/932定理4.8级数（4.2）在圆内闭一致收敛的充要条件是：对任意正数，只要级数（4.2）在闭圆上一致收敛。2021/5/933定理4.9设函数在区域内解析,级数在内中闭一致收敛于函数，则在内解析,，且在内成立证明：，取，使得。在内任作一条简单闭曲线，根据定理柯西定理推得2021/5/934因而由莫勒拉定理知在内解析,再由的任意性即得在内解析。在上一致收敛于

其次，设的边界,由已知条件得在上一致收敛于，从而,根据定理4.7，我们有即于是定理结论成立.2021/5/935例证明级数在内闭一致收敛。证明当时，而正项级数收敛，即原级数有收敛的优级数，故由优级数准则，原级数2021/5/936在较小同心闭圆上绝对且一致收敛。由定理4.8原级数在内内闭一致收敛。2021/5/937定义形如的级数称为幂级数,其中是复变量,是复常数.特别地,当，级数就变为§2幂级数幂级数在复变函数论中有着特殊重要意义,它不仅是研究解析函数的工具,而且在实际计算中也很重要。2021/5/938

定理4.10:(阿贝尔第一定理)

如果幂级数(4.3)在z1(

z0)收敛,则它在圆K：|z-z0|<|z1-z0|内绝对收敛且内闭一致收敛.2021/5/939证明设z是所述圆K内的任意点，因为因此存在着有限常数M,使得这样一来，即有收敛，它的各项必然有界注意有，故级数2021/5/940为收敛的等比级数，因而在圆K内收敛其次，对K内任一闭圆上的一切点来说，有故在上有收敛的优级数因而它在上绝对且一致收敛。再由定理4.8，此级数在圆K内绝对球内闭一致收敛。2021/5/941定理4.12:如果下列条件之一成立（1）(达朗贝尔法则)（2）(柯西法则)（3）(柯西-阿达马公式)则当0<l<+

时,幂级数(4.3)的收敛半径为当l=0时,R=+

;当l=+

时,R=0.2021/5/942注意：由数学分析知识即知，对幂级数（4.3）有（2）若存在，则存在，且等于。又从存在显然包含存在，且等于，反之则不然，即存在，未必存在。因此，由上极限2021/5/943而得到收敛半径的结论最强例4.2试求下列各幂级数的收敛半径解（2）（1）（3）（4）2021/5/944解因（2）故2021/5/945解因故（3）2021/5/946解当ｎ是平方数时，（4）其他情形，因此相应有于是数列的聚点是0和1，从而2021/5/947

幂级数(4.3)的和是在收敛圆盘内有定义的一个函数,称之为和函数.可以证明幂级数和函数的解析性.定理4.13:设幂级数(4.3)的收敛半径为R,则在|z-z0|<R

内,它内闭一致收敛,它的和函数（4.5）解析,并且可逐项求导.2021/5/948证明:事实上,对,则在上由定理

的收敛半径为1知级数在上绝对收敛，从而根据判别法知

在一致收敛，故在中内闭一致收敛,在的和函数解析，且成立，由的任意性即知定理成立.但幂级数在其收敛圆上可能收敛,也可能发散.如例2级数2021/5/949由于在收敛圆上,此级数一般不趋于0,因而在上级数处处发散,但其和函数却除处处解析.例3级数的收敛半径为1在收敛圆上，，而级数收敛,故此级数在收敛圆上也处处收敛.2021/5/950例证明在内解析，并求证明因为所给幂级数的收敛半径，故由定理4.13（1）、（2），在内解析，且在内其收敛半径仍为2021/5/951例求幂级数的收敛半径、收敛圆及和函数解：1）因为，所以收敛半径收敛圆为2）因为于是，以此为公式就有2021/5/9522021/5/9533.泰勒(Taylor)展开定理现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?解析函数在解析点能否用幂级数表示？）由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。2021/5/954定理4.14（泰勒定理）设在区域内解析，只要圆含于，则在内能展成幂级数其中2021/5/955证证明的关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式2021/5/956Dk分析：代入(1)得2021/5/957Dkz2021/5/958---(*)得证！2021/5/959证明(不讲)2021/5/960(不讲)2021/5/961证明(不讲)2021/5/962结论解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的Taylor级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？事实上，设f(z)用另外的方法展开为幂级数:2021/5/963由此我们就可推出:推论幂级数是它的和函数在收敛圆内的泰勒展式.即2021/5/964定理4.15:函数f(z)在区域D内解析

它在z0

的某一邻域内有幂级数展式(4.8).

定义4.6:f(z)在U

内幂级数展式(4.8)称为f(z)在

z=z0

或在U

内的泰勒展式,

n

为泰勒系数,(4.8)右边级数为泰勒级数

.2021/5/965注解1、在定理4.14中，f(z)在U内的幂级数展式我们称为它在U内的泰勒展式。注解2、我们得到一个函数解析的另外一个刻画。注解3、泰勒展式中的系数与z0有关。2021/5/966定理4.16如果幂级数的收敛半径2．幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况，且则在收敛圆周上至少有一奇点。即不可能有这样的函数存在，它在内与恒等，而在上处处解析。

其中2021/5/967

2021/5/968例如的收敛半径为1在圆周上级数收敛的，所以原级数在圆周是处处绝对收敛的，从而在闭圆绝对且一致收敛。当z沿实轴从单位圆内趋于1时，趋于，所以是的有一个奇点。2021/5/969关于幂级数的四则运算

幂级数在它的收敛圆内绝对收敛。因此两个幂级数在收敛半径较小的那个圆域内，不但可以作加法、减法还可以作乘法。至于除法，我们将通过乘法及待定系数法莱解决。2021/5/970由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的。---直接法---间接法代公式由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分析运算和已知函数的展开式来展开函数展开成Taylor级数的方法：2021/5/971二．求泰勒展式的方法1．求Taylor系数如求在z=0的展开式2021/5/9722.利用级数的运算如如在展开2021/5/9733．逐项微分法如：4.逐项积分法如求在的展开式。（主支）（其中取K=0分支，即分支）2021/5/974又一般地，5．级数代入级数法如2021/5/9752021/5/976总结：掌握一些主要的泰勒展示，并能作为公式来用2021/5/9772021/5/978第四节

零点的孤立性与唯一性原理2021/5/979定义4.7设在解析区域一点的值为零，则称为解析函数的零点

2021/5/980称为的级零点，若2021/5/981注意：定义4.7中，1）a为解析函数f(z)的零点f(z)在点a解析，且2）a为解析函数f(z)的m阶零点（m≥1）整数f(z)在点a解析，但。这是多项式重根概念的推广。2021/5/982定理4.17不恒为零的解析函以为级零点的充要条件为：其中在点的的邻域内解析，且2021/5/983证必要性由假设，只要令即可。充分性是明显的。2021/5/984例4.15考察函数在原点的性质。2021/5/985为的三级零点解：显然在解析，且由所有2021/5/986例指出函数的零点的级。分析如用定义4.7，由于要求高阶导数，计算较繁，故直接用泰勒展示于定理4.17，就简单多了。解：2021/5/987其中在z平面C上解析，且，所以为的6级零点2021/5/988

定理4.18如在内的解析函数不恒为零，为其零点，则必有的一个邻域，使得在其中无异于的零点。（简单说来就是：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。）2021/5/989推论4.19设（1）函数在邻域内解析；（2）在K内有的一列零点收敛于，则在K内必恒为零。2021/5/990定理4.20（唯一性定理）设（1）函数和在区域内解析；（2）内又有一个收敛于的点列，在其上和则

和在内恒等。相等。2021/5/991证明：假定定理的结论不成立。即在D内，解析函数F(z)=f(z)-g(z)不恒等于0。显然设z0是点列{zk}在D内有极限点。由于F(z)在z0连续，可见唯一的零点，与解析函数零点的孤立性矛盾。在一般情形下，可用下述所谓圆链法来证明。可是这时找不到z0的一个邻域，在其中z0是F(z)2021/5/992设是D内任意固定的点（如图）。在D内可以作一折线L连接及以表L与D的边界г间的最短距离在L上依次取一串点使相邻两点间的距离小于定数。显然，由推论4.19，在圆内。在圆又重复应用推论4.19，即知在内。这样继续下去，直到最后一个含有的圆为止，在该圆内2021/5/993，特别说来，。因为是D内任意的点，故证明了在D内推论4.21设在区域D内解析的函数在D内的某一子区域（或一小段弧）上相等，则它们必在区域D内恒等。推理4.22一切在实轴上成立的恒等式，在z平面上也成立，只要这个恒等式的等号两边在z平面上都是解析的。2021/5/994例4.17设（1）在区域内解析；（2）在内，试证：在内或

2021/5/995证若有使因在点连续，故存在邻域在内恒不为零。而由题设故