2024年初二下册数学期末考试专项复习二次根式（提高）知识讲解

2024年初二下册数学期末考试专项复习二次根式（提高）知识讲解【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：≥0，（≥0），（≥0），（≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念

1.二次根式：一般地，式子(a≥0)叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数．

要点诠释：

二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.要点二、二次根式的性质

1.≥0，（≥0）；

2.（≥0）；

3..

要点诠释：

1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即.2.与要注意区别与联系：（1）的取值范围不同，中≥0，中为任意值.（2）≥0时，==；<0时，无意义，=.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．（2015•启东）若x、y为实数，且，求的值．【答案与解析】∵y=，∴x2﹣4=0，x+2≠0，解得：x=2，∴y=，∴．【总结升华】主要考查了二次根式有意义的条件，得出x，y的值是解题关键．举一反三：【变式】方程，当时，的取值范围是（）.A．B.≥2C.D.≤2【答案】C类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x的取值范围：

(1)；(2).

【答案与解析】解：(1)

(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【高清课堂：二次根式及其乘除法（上）例1(1)(2)】

【变式1】x取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）y=－,__________；（2）y=，___________.【答案】（2）【变式2】问题探究：

因为，所以，

因为，所以

请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：

（1）；（2）．【答案】

解：（1）

=

=；

（2）

=

=．3.（2016春•濮阳期末）先阅读，后解答：（1）由根式的性质计算下列式子得：①=3，②=，③=，④=5，⑤=0．由上述计算，请写出的结果（a为任意实数）．（2）利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果：①=；②化简：（x＜2）=．（3）应用：若+=3，则x的取值范围是．【思路点拨】（1）将a分为正数、0、负数三种情况得出结果；（2）①当a=3，14﹣π＜0时，根据（1）中的结论可知，得其相反数﹣a，即得π﹣3.14；②先将被开方数化为完全平方式，再根据公式得结果；（3）根据（1）式得：+=|x﹣5|+|x﹣8|，然后分三种情况讨论：①当x＜5时，②当5≤x≤8时，③当x＞8时，分别计算，哪一个结果为3，哪一个就是它的取值．【答案与解析】解：（1）=|a|=；（2）①=|3.14﹣π|=π﹣3.14，②（x＜2），=，=|x﹣2|，∵x＜2，∴x﹣2＜0，∴=2﹣x；故答案为：①π﹣3.14，②2﹣x；（3）∵+=|x﹣5|+|x﹣8|，①当x＜5时，x﹣5＜0，x﹣8＜0，所以原式=5﹣x+8﹣x=13﹣2x．②当5≤x≤8时，x﹣5≥0，x﹣8≤0．所以原式=x﹣5+8﹣x=3，③当x＞8时，x﹣5＞0，x﹣8＞0，所以原式=x﹣5+x﹣8=2x﹣13．∵+=3，所以x的取值范围是5≤x≤8，故答案为：5≤x≤8．【总结升华】本题考查了二次根式的性质和化简，明确二次根式的两个性质：①（）2=a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）；②=|a|=；尤其是第2个性质的运用，注意被开方数是完全平方式时，如第（3）小题，要分情况进行讨论．【高清课堂：二次根式及其乘除法（上）例4】4.已知为三角形的三边，则=．【思路点拨】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边．【答案】【解析】为三角形的三边,即原式==【总结升华】重点考查二次根式的性质：的同时，复习了三角形三边的性质.二次根式（提高）巩固练习【巩固练习】一.选择题1.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为().

A．x＞0B．x≥0C．x≠0D．x≥0且x≠12.使式子有意义的未知数x有()个.

A．0B．1C．2D．无数3.（2016春•岳池县期末）下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4.已知a,b,c在数轴上的位置如右图所示，则代数式().A.B.C.D.5.（2015•成都）已知a、b都是实数，且b，化简•＋1的结果是（）.A．2 B．﹣2 C．1 D．36.将中的移到根号内，结果是（）.A．B.C.D.二.填空题7.当x_________时，式子没有意义.8.若，则____________；若，则____.9.已知，求的值为____________.10.若，则化简的结果是__________.

11.观察下列各式：，，,……请你探究其中规律,并将第n(n≥1)个等式写出来________________.12.（2015•合肥）已知0＜a＜1，化简=______________．三．解答题13.已知，求的值.14.（2016秋•娄星区期末）先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：====|1+|=1+解决问题：在括号内填上适当的数：====||=根据上述思路，试将予以化简．15.（2015春•武昌区期中）已知a、b、c满足+|a﹣c+1|=+，求a+b+c的平方根．【答案与解析】一、选择题

1．【答案】D.【解析】由二次根式和分式的性质可知：被开方数要大于等于0，分母不等于0，即x≥0，，所以选D.2．【答案】B.3．【答案】A.【解析】解：①是二次根式，②只有x≥0时是二次根式，③只有x≥0时是二次根式，④不是二次根式，⑤，不是二次根式，故二次根式的个数共有①，一共有1个．故选：A．4．【答案】D.5．【答案】D.【解析】∵与有意义，∴，∴a=2，∴b＞1，∴1﹣b＜0，∴原式=•+1=•（b﹣1）+1=2+1=3．故选D．6．【答案】B.二、填空题7.【答案】或x<1.【解析】因为x-1≥0才有意义，所以x<1时无意义；因为，所以，即无意义时x=10.8.【答案】m≤0；≥.9.【答案】.【解析】即，即原式=.10.【答案】3【解析】因为原式==.11．【答案】12．【答案】2；【解析】∵0＜a＜1，∴＜，∴原式=﹣=﹣=﹣（）=2．三、解答题

13.【答案与解析】解：因为，所以2x-1≥0,1-2x≥0，即x=，y=，则.14.【答案与解析】解：①====|3+|=3+，故答案为：3，，3+，，3+；②===|5﹣|=5﹣．15.【答案与解析】解：由题意得，b﹣c≥0且c﹣b≥0，

∴b≥c且c≥b，

∴b=c，

∴等式可变为+|a﹣b+1|=0，

由非负数的性质得，，

解得，

∴c=2，

a+b+c=1+2+2=5，

∴a+b+c的平方根是±．二次根式的乘除（基础）知识讲解【学习目标】1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2.了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】要点一、二次根式的乘法及积的算术平方根

1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.

要点诠释：

(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).

(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.

(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根:

（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.

要点诠释：

(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)与都是的算术平方根；(3)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.

要点二、二次根式的除法及商的算术平方根

1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.

要点诠释：

(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0；

(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.

2.商的算术平方根:

（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

要点诠释：与都是的算术平方根.要点三、最简二次根式（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

（2）被开方数中不含有分母；（3）分母中不含有根号.满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1)被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的乘除法1．(1)×；(2)×；(3)；(4).【答案与解析】解：(1)×=；(2)×==；

(3)===2；

(4)==×2=2.【总结升华】直接利用，计算即可．举一反三：

【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1)；(2)×=4××=4×=4=8.【答案】解：(1)不正确．

改正：=＝×=2×3=6；

(2)不正确．

改正：×=×===＝4.2.（2016春•德州校级月考）计算：．【思路点拨】直接利用二次根式乘除运算法则直接求出即可．【答案与解析】解：=3×（﹣）×2=﹣×5=﹣．【总结升华】此题主要考查了二次根式的乘除运算，熟练应用运算法则是解题关键．类型二、最简二次根式3.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).【思路点拨】最简二次根式要满足三个条件：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

（2）被开方数中不含有分母；（3）分母中不含有根号.【答案与解析】解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：

的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的三个条件，不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.举一反三：

【变式1】化简：（1）；【高清课堂：二次根式及其乘除法（下）例6（12）】（2）.【答案】(1)原式==；（2）原式=.【变式2】（2015春•河北月考）在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【答案】解：（1）=，含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．（2）=，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；（3），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它不是最简二次根式；（4）==，在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式；（5）==，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．4.已知0<<,化简.【答案与解析】解：原式＝＝＝【总结升华】成立的条件是>0；若<0,则.二次根式的乘除（基础）巩固练习【巩固练习】一.选择题1.计算的结果是（）.A．B.C.D.2.当<0,<0时，化简得（）.A．B.-C.D.3.在中，最简二次根式有（）.A．1个B.2个C.3个D.4个4.化简二次根式的正确结果是（）．A．B．C．D．5.（2016•富顺县校级模拟）下列根式中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．6.已知，化简二次根式的正确结果为（）.A.B.C.D.二.填空题7.计算：=____________________________.8.（2015•齐河县二模）化简：=．9．计算：(1)=_______；(2)=________.10.化简：（1）=_________,(2)=___________.11.若=0，则=_______________.12.有如下判断：（1）(2)=1