河北省唐山市辉坨中学高三数学理上学期期末试卷含解析

河北省唐山市辉坨中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设x，y为正数，且则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(

) A．若α⊥β，m∥α，则m⊥β B．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β C．若m⊥β，α⊥β，则m∥α D．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β参考答案：D考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型；空间位置关系与距离．分析：根据线面的位置关系和线面平行的判断，即可判断A；由面面的位置关系和线面平行的判定，即可判断B；由线面垂直的性质和线面的位置关系，即可判断C；根据线面垂直，面面垂直及线线垂直之间的互相转化，可以判断D的真假，进而得到答案．解答： 解：对于A．若α⊥β，m∥α，则m可平行于α、β的交线，则有m∥β或m?β，则A错；对于B．若m∥α，n∥β，m∥n，当m，n都平行于α，β的交线，则条件满足，则α、β相交成立，则B错；对于C．若m⊥β，α⊥β，则由面面垂直和线面垂直的性质可得m∥α或m?α，则C错；对于D．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，可将m，n平移至相交直线，由公理3推论2，确定一个平面γ，由线面垂直的性质可得α，β的交线l垂直于γ，进而得到l垂直于γ和α，β的交线，由面面垂直的定义，可得α⊥β，则D对．故选D．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行和垂直的判断和性质，面面平行和垂直的判断和性质，考查空间想象和推理能力，属于基础题和易错题．3.把函数y=sin2x+cos2x图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，所得的图象解析式为(

) A．y=2sin（4x+） B．y=2sin（4x+） C．y=2sin（x+） D．y=2sin（x+）参考答案：A考点：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：化简可得y=2sin（2x+），由函数图象的周期变换可得．解答： 解：化简可得y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到y=2sin（2?2x+）=2sin（4x+）的图象，故选：A点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及函数图象的变换，属基础题．4.已知命题p：“若直线ax+y+1=0与直线ax－y+2=0垂直，则a=1”；命题q：“”是“”的充要条件，则（A）p真，q假

（B）“”真

（C）“”真

（D）“”假参考答案：D略5.设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略6.已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，AB=BM，三角形ABM有一个角为120°，则E的离心率为（）A． B． C． D．2参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，过点M作MN⊥x轴，得到Rt△BNM，通过求解直角三角形得到M坐标，代入双曲线方程可得a与b的关系，结合隐含条件求得双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），如图所示，|AB|=|BM|，∠AMB=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN=60°，在Rt△BMN中，∵BM=AB=2a，∠MBN=60°，∴|BN|=a，，故点M的坐标为M（2a，），代入双曲线方程得a2=b2，即c2=2a2，∴．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．7.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线的方程为，则该双曲线的标准方程为（

）A. B. C. D.参考答案：C8.已知，则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由辅助角公式将化简求出，进而得出答案。【详解】由辅助角公式可得所以，即所以故选D.9.设a=60.7，b=0.76，c=log0.76，则a，b，c这三个数的大小关系为(

)A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题．【分析】由a=60.7＞60=1，0＜b=0.76＜0.7，c=log0.76＜log0.71=0，知c＜b＜a．解：∵a=60.7＞60=1，0＜b=0.76＜0.7，c=log0.76＜log0.71=0，∴c＜b＜a．故选A．【点评】本题考查对数值大小的比较，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10.甲乙两位同学最近五次模考数学成绩茎叶图如图，则平均分数较高和成绩比较稳定的分别是(

) A．甲、甲 B．乙、甲 C．甲、乙 D．乙、乙参考答案：A考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：分别求出甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩的平均数和方差，由此能求出结果解答： 解：=（68+69+70+71+72）=70，S甲2=[（68﹣70）2+（69﹣70）2+（70﹣70）2+（71﹣70）2+（72﹣70）2]=2，=（63+68+69+69+71）=68，S乙2=[（63﹣68）2+（68﹣68）2+（69﹣68）2+（68﹣69）2+（71﹣68）2]=4，∴平均分数较高的是甲，成绩较为稳定的是甲．故选A．点评：本题考查平均数和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的合理运用二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于平面α和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是________．①若m，n与α所成的角相等，则m∥n；②若m∥α，n∥α，则m∥n；③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；④若m?α，n∥α，则m∥n.参考答案：④12.如图，在直角坐标系中，已知射线，，过点作直线分别交射线于两点，且，则直线的斜率为

.参考答案：答案：

13.设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是

．参考答案：x≤8【考点】其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用分段函数，结合f（x）≤2，解不等式，即可求出使得f（x）≤2成立的x的取值范围．【解答】解：x＜1时，ex﹣1≤2，∴x≤ln2+1，∴x＜1；x≥1时，≤2，∴x≤8，∴1≤x≤8，综上，使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．故答案为：x≤8．【点评】本题考查不等式的解法，考查分段函数，考查学生的计算能力，属于基础题．14.设满足若的最小值为25，则参考答案：15.某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如右图所示，现要按右图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则80~90分数段应抽取

人．参考答案：2016.已知实数满足，当时，目标函数的最大值函数的最小值为_____________．参考答案：17.已知双曲线的离心率为，焦点为的抛物线与直线交于两点，且，则的值为____________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点、、在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图所示，其中，，，．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积．参考答案：19.已知正项数列的前n项和满足：．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和.参考答案：（1）由已知，可得当时，，可解得，或，由是正项数列，故.…2分当时，由已知可得，，两式相减得，.化简得，

……………4分∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.∴数列的通项公式为.

……………6分（2）∵，代入化简得，…………8分∴其前项和

……………12分20.

已知函数f（x）=sin2x+cos2x．

（1）求函数f（x）的最小正周期；参考答案：略21.椭圆〔a＞b＞0〕与抛物线有共同的焦点F，且两曲线在第一象限的交点为M，满足.（1）求椭圆的方程；（2）过点，斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，设，假设，求k的取值范围.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）由题可得，，点M的横坐标为，代入抛物线方程可求得M点纵坐标，然后利用椭圆的定义求出a，即可得到本题答案；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得①，②，由题，得③，结合以上三个式子，得，求出在的取值范围，即可得到本题答案.【详解】（1）由椭圆与抛物线有共同的焦点F，且两曲线在第一象限的交点为M，满足，得椭圆的，点M的横坐标为，代入抛物线方程，可得，因为椭圆焦点为，所以，得，则椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，代入椭圆方程得：，恒成立.设，那么①，②，由可得，③，由以上三式可得：，当时，，因此在上单调递增，因此当时，，因此，，解得.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及椭圆与向量的综合问题.22.如图，已知三棱柱P﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，M是BC的中点．（1）求证；A1B∥平面AMC1；（2）求直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值．参考答案：考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明线面平行，可以利用线面平行的判定定理，只要证明A1B∥OM可；（2）可判断BA，BC，BB1两两垂直，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求得平面AMC1的法向量、直线CC1的阐释，向量，代入向量夹角公式，可求直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值．解答： （1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OM．∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．又∵M为BC中点，∴OM为△A1BC中位线，∴A1B∥OM，∵OM?平面AMC1，A1B?平面AMC1，∴A1B∥平面AMC1．（2）解：由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB1两两垂直．可建立如图空间直角坐