16.1 二次根式（解析版）

八年级下册数学《第十六章二次根式》16.1二次根式知识点一知识点一二次根式的定义◆二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“”称为二次根号，a为被开方数.1、二次根式的条件：①含有二次根号；②被开方数是一个非负数；2、被开方数a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子.【注意】二次根式的定义是从形式来界定的，必须含有二次根号“”，不能从化简结果上判断，如4，9是二次根式；“”的根指数是2，一般把根指数2省略，不要误认为根指数是1或没有知识点二知识点二二次根式有意义的条件◆二次根式有意义的条件是：被开方数（式）为非负数，反之也成立.即：a有意义=>a≥0,a无意义，a＜0.◆【规律方法】二次根式有无意义的条件：1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．3．如果一个式子中含有二次根式且被开方数中含有零指数幂或负整数指数幂，那么它有意义的条件是：底数不为0.知识点三知识点三二次根式的性质◆1、a的性质：a≥0；a≥0◆2、（a）2（a≥0）的性质：（a）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．◆3、a2的性质：a2=|a|◆4、（a）2（a≥0）与a2的区别与联系.（a）2（a≥0）a区别取值范围a≥0a为任意实数表示的意义表示非负数a的算术平方根的平方表示a2的算术平方根运算顺序先开平方后平方先平方后开平方运算结果（a）2＝a（a≥0）读法读作：“根号a的平方”或“a的算术平方根的平方”读作：“根号”或“a的平方的算术平方根”联系（1）结果都是非负数；（2）当a≥0时，a2＝（a）知识点四知识点四代数式◆1、定义：用基本运算符号（基本运算符号包括：加、减、乘、除、乘方和开方）把表示数或字母连接起来的式子，称为代数式.【注意】代数式式数或字母之间的运算关系，代数式中只能含运算符号，不能含≥，＞，≤，＜，≠，＝等关系符号.◆2、列代数式的常用方法：①直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式；②公式法：根据公式列出代数式；③探究规律法：将一组数或一组图形的排列规律用代数式表示出来.题型一二次根式的识别题型一二次根式的识别【例题1】（2021秋•古县期末）下列各式中，是二次根式的是（）A．n2 B．-4 C．38 D【分析】根据形如a（a≥0）的式子是二次根式，可得答案．【解答】解：A、被开方数n2≥0，故A是二次根式；B、D被开方数小于0，无意义，故B、D不是二次根式；C、是三次根式，故C不是二次根式；故选：A．【点评】本题考查了二次根式的定义，注意二次根式的被开方数是非负数，根指数是2．解题技巧提炼判断一个式子是否为二次根式，要紧扣满足二次根式的两个条件：（1）含有二次根号“”；（2）被开方数是非负数，两个条件缺一不可.【变式1-1】（2021秋•九台区期末）下列各式中，不是二次根式的是（）A．8 B．-2 C．b2+1 D【分析】根据二次根式的概念，形如a（a≥0）的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案．【解答】解：A、8是二次根式，不合题意；B、∵﹣2＜0，∴-2不是二次根式，符合题意；C、b2D、13故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键．【变式1-2】（2022春•合川区校级期中）下列式子一定是二次根式的是（）A．-5 B．π C．a3 D．【分析】根据二次根式的定义判断即可．【解答】解：A、﹣5＜0，二次根式无意义，故此选项不符合题意；B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意；C、当a＜0时，二次根式无意义，故此选项不合题意；D、7是二次根式，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查二次根式的定义，掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式是解题的关键．【变式1-3】（2021春•海淀区校级期末）下列各式：3-27，-4，2a-1（a＜12【分析】一般地，形如a（a≥0）的代数式叫做二次根式．【解答】解：3-27，-4，2a-1（一是三次方根，二，三根号里面的数小于0，第四个可以变为（a+1）2．故是二次根式的有a2【点评】此题主要考查：当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．【变式1-4】下列各式中，二次根式有（）-3，0.5，0，23，a2+1，x+1（xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据二次根式的定义：形如a（a≥0）的式子，叫做二次根式，即可解答．【解答】解：下列各式中：-3，0.5，0，23，a2+1，x+1（x是二次根式的有0.5，0，23，a共有4个，故选：D．【点评】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．【变式1-5】（2022秋•诏安县期中）给出下列各式：①32；②6；③-12；④-m（m≤0）；⑤a2+1；⑥A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．【解答】解：①∵3＞0，∴32是二次根式；②6不是二次根式；③∵﹣12＜0，∴-12不是二次根式；④∵m≤0，∴﹣m≥0，∴-m是二次根式；⑤∵a2+1＞0，∴a2⑥35所以二次根式有3个．故选：B．【点评】本题考查的是二次根式的定义，解题时，要注意：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．题型二二次根式有意义的条件题型二二次根式有意义的条件【例题2】（2022春•钦北区校级月考）若代数式xx-1在实数范围内有意义，则xA．x＞0且x≠1 B．x≥0 C．x≠1 D．x≥0且x≠1【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件即可得出答案．【解答】解：∵x≥0，x﹣1≠0，∴x≥0且x≠1．故选：D．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0是解题的关键．解题技巧提炼求式子有意义时字母的取值范围方法：第一步,明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式，只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数;对于零指数幂,则必须满足底数不能为零;对于含有分式的、满足分母不能为零.第二步,利用使式子有意义的所有条件,建立不等式或不等式组；第三步,求出不等式或不等式组的解集,即为字母的取值范围.【变式2-1】（2022•徐州）若x-2有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解．【解答】解：根据题意，得x﹣2≥0，解得x≥2．故选：B．【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：（1）当代数式是整式时，字母可取全体实数；（2）当代数式是分式时，分式的分母不能为0；（3）当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．【变式2-2】（2021春•白云区期末）当x满足一定条件时，式子x-3x-3是（）A．x＞﹣3 B．x＞3 C．x≥﹣3 D．x≥3【分析】代数式中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解即可．【解答】解：由题可得：x﹣3≥0且x﹣3≠0，解得x≥3，x≠3，∴x＞3，即当x＞3时，式子x-3x-3故选：B．【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，注意：分式应考虑分式的分母不能为0；二次根式应考虑被开方数是非负数．【变式2-3】（2021春•黔西南州期末）式子2xx-1A．x≥1 B．x＞1 C．x＜0 D．x≤0【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：式子2xx-1在实数范围内有意义的条件是：x﹣1＞0解得：x＞1．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．【变式2-4】无论a取何值，下列各式中一定有意义的是（）A．a B．a2-1 C．a+1 D【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数判断即可．【解答】解：A.a不一定有意义，不合题意；B.a2C.a+1不一定有意义，不合题意；D.a2故选：D．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．【变式2-5】（2020秋•淇滨区校级月考）若代数式(x-2)02-x-1有意义，则x的取值范围是【分析】根据零指数幂：a0＝1（a≠0）可得x﹣2≠0，根据二次根式和分式有意义的条件可得x﹣1≥0，且x﹣1≠4，再解不等式即可．【解答】解：∵代数式(x-2)0∴x﹣2≠0且x﹣1≥0且x﹣1≠4，解得x≥1且x≠2且x≠5，∴x的取值范围是x≥1且x≠2且x≠5，故答案为：x≥1且x≠2且x≠5．【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件和零次幂，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于零．【变式2-6】求下列式子有意义的x的取值范围.（1）14-3x（2）3-xx-2（3）x-3x-2（4）-x2（5）【分析】（1）（2）（3）根据二次根式的性质和分式的意义，由被开方数大于等于0，分母不等于0可知；（4）（5）（6）根据二次根式的意义，被开方数是非负数可知．【解答】解：（1）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，被开方数4﹣3x≥0，分母4﹣3x≠0，解得x＜4所以x的取值范围是x＜4（2）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，被开方数3﹣x≥0，解得x≤3；分母x﹣2≠0，解得x≠2．所以x的取值范围是x≤3且x≠2．（3）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，被开方数x﹣3≥0，解得x≥3；分母x﹣2≠0，解得x≠2．因为大于或等于3的数中不包含2这个数，所以x的取值范围是x≥3．（4）根据题意得：﹣x2≥0，∵x2≥0，∴x2＝0，解得x＝0．∴x的取值范围是x＝0；（5）根据题意得：2x2+1≥0，∵x2≥0，∴2x2+1＞0，故x的取值范围是任意实数；（6）根据题意得：2x﹣3≥0，解得x≥32x﹣3≤0，解得x≤3综上，可知x=3∴x的取值范围是x=3【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．题型三利用二次根式的性质计算题型三利用二次根式的性质计算【例题3】（2021秋•高台县期末）下列式子正确的是（）A．(-9)2=-9 B．25=±5 C．3(-1)3【分析】利用开平方的性质和开立方的性质计算．【解答】解：根据二次根式的性质：A、(-9)2=9，故B、25=5，故BC、属于立方根的运算，故C正确；D、(-2)2=故选：C．【点评】此题主要考查二次根式的化简，正确理解算术平方根的意义，注意符号的处理．解题技巧提炼运用（a）2（a≥0），a2=|a（1）计算（a）2，直接运用（a）2＝a；（2）计算a2①去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式，即a2=|②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简.【变式3-1】下列结论正确的是（）A．-(-6)2=-6 BC．(-16)2=±6 D．﹣（-【分析】根据二次根式的性质即可求出答案【解答】解：B．原式=-3，故BC．原式＝16，故C错误；D．原式=-1625，故故选：A．【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键熟练运用二次根式的性质．【变式3-2】化简：（1）=；（2）；（3）；（4）；【分析】直接利用二次根式的（a）2＝a（a≥0）性质化简求解.【解答】（1）(17（2）(23)2=22×(（3）；（4）﹣(3)2【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键熟练运用二次根式的性质．【变式3-3】计算：(7A．3 B．11 C．﹣3 D．﹣11【分析】根据二次根式的性质1和性质2化简可得．【解答】解：原式＝7﹣4＝3，故选：A．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质1和性质2．【变式3-4】（2022•谷城县二模）计算：(1-2)2=【分析】判断1和2的大小，根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵1＜2∴1-2＜∴(1-2)故答案为：2-1【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．【变式3-5】（2021秋•安岳县期末）当x＝2时，二次根式2+7x的值是．【分析】把x＝2代入二次根式计算可得答案．【解答】解：当x＝2时，2+7x=2+7×2故答案为：4．【点评】此题考查的是二次根式的定义，正确代入数值是解决此题关键．【变式3-6】（2022秋•莲湖区校级月考）计算下列各式：（1）279；（2）0.81-0.04；（3）412-4【分析】（1）根据二次根式的性质，进行计算即可解答；（2）根据二次根式的性质，进行计算即可解答；（3）根据二次根式的性质，进行计算即可解答；（4）根据二次根式的性质，进行计算即可解答．【解答】解：（1）2=25=5（2）0.81＝0.9﹣0.2＝0.7；（3）4=(41+40)×(41-40)=81＝9；（4）1-=16=4【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式3-7】（2022春•乾安县期末）计算：32=，0．72=，02=（1）根据计算结果，回答：a2一定等于a（2）利用你总结的规律，计算(3.14-π)【分析】根据二次根式的性质a2=|a【解答】解：计算：32=3，0．72=0.7，02故答案为：3；0.7；0；6；34（1）a2不一定等于a发现的规律是：a2=|a（2）(3.14-π＝|3.14﹣π|＝π﹣3.14．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质a2=|a题型四二次根式的非负性应用题型四二次根式的非负性应用【例题4】已知a、b、c满足2|a﹣1|+2a-b+（c+b）2＝0，求2a+b﹣【分析】利用非负数之和为零，则各自为零，进而求出a，b，c的值求出答案．【解答】解：∵2|a﹣1|+2a-b+（c+b）2＝又∵|a﹣1|≥0，2a-b≥0，（c+b）2≥0∴a-1=02a-b=0∴a=1b=2∴2a+b﹣c＝2+2+2＝6．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b，c的值是解题关键．解题技巧提炼二次根式a（a≥0）、绝对值|a|、完全平方式（a±b）2都是非负数，当几个非负数的和为0，则它们均为0.【变式4-1】（2021春•安顺期中）已知y=x-1+1-x+A．1 B．78 C．-54 【分析】先根据二次根式的性质求出x、y的值，再代入代数式计算即可．【解答】解：因为y=x-1+1-x+即x≥1x≤1，解得x＝1，所以y＝10所以，2x+y5x-2y故选：D．【点评】本题考查了二次根式的意义和实数的运算能力．解决此题的关键是要先根据二次根式意义求出x，y的值再代入所求的代数式中求值．本题中涉及到简单的一元一次不等式组的解法，要会灵活运用．【变式4-2】（2021春•宁津县期末）在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简(a-b+c)2-2|c﹣a﹣bA．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a【分析】首先根据三角形的三边关系得到根号内或绝对值内的式子的符号，再根据二次根式或绝对值的性质化简．【解答】解：∵a、b、c为三角形的三边，∴a+c＞b，a+b＞c，即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；∴(a-b+c)2-2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3故选：B．【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，a2=a；a＜0时，a2=-a；a＝0绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数；正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0．【变式4-3】（2021秋•安居区期末）若x＜1，则化简(x-2)2+|4﹣A．2 B．﹣2 C．6 D．6﹣2x【分析】由已知可得x﹣2＜﹣1＜0，4﹣x＞3＞0，原式可化为|x﹣2|+4﹣x，根据绝对值的定义进行计算即可得出答案．【解答】解：∵x＜1，∴x﹣2＜﹣1＜0，﹣x＞﹣1，∴4﹣x＞﹣1+4，即4﹣x＞3＞0，∴(x-2)2+|4＝|x﹣2|+4﹣x＝﹣（x﹣2）+4﹣x＝﹣x+2+4﹣x＝6﹣2x．故选：D．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练应用二次根式的性质与化简的计算方法进行求解是解决本题的关键．【变式4-4】（2012秋•泸县期中）若x，y都是实数，且满足y＜x-1+1-x【分析】要化简，先确定题中各式在实数范围内有意义，应把握好以下几点：一是分母不能为零；二是二次根号下为非负数．【解答】解：依题意，有x-1≥01-x≥0，得x＝1，此时y＜所以1﹣y＞12所以|1-y|y-1=【点评】正数的绝对值是它本身，负数的绝对值等于它的相反数．【变式4-5】（2022秋•荣县校级月考）已知一个三角形的三边长分别为5，2a﹣1，10，化简：(a-8)2【分析】先根据三角形的三边关系判断a的取值范围，再化简求值．【解答】解：由题意得：10﹣5＜2a﹣1＜10+5，解得：3＜a＜8，∴(a-8)＝8﹣a﹣（a﹣2）＝8﹣a﹣a+2＝10﹣2a．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，三角形的三边关系是解题的关键．【变式4-6】（2021•零陵区校级自主招生）若化简|1﹣x|-x2-8x+16的结果为2x﹣5，则x的取值范围是【分析】根据x的取值化简绝对值和二次根式的性质分析．【解答】解：∵|1﹣x|-＝|1﹣x|-＝2x﹣5，则|1﹣x|-(x-4)2=x﹣1+x即1﹣x≤0，x﹣4≤0，解得1≤x≤4．【点评】此题难点不是根据x的取值化简绝对值和二次根式，而是由绝对值和二次根式得化简值求x的取值范围．所以要求对绝对值的代数定义和二次根式的性质熟练、灵活掌握．【变式4-7】已知实数a满足|2010-a|+a-2011=a，求a﹣2010【分析】根据被开方数大于等于0列式求出a的取值范围，再去掉绝对值号，然后两边平方整理即可得解．【解答】解：根据题意得，a﹣2011≥0，解得a≥2011，去掉绝对值号得，a﹣2010+a-2011=所以，a-2011=2010两边平方得，a﹣2011＝20102，所以，a﹣20102＝2011．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，求出a的取值范围并去掉绝对值号是解题的关键．题型五利用数轴和二次根式的性质进行化简题型五利用数轴和二次根式的性质进行化简【例题5】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+(a-bA．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：由图可知：a＜0，a﹣b＜0，则|a|+＝﹣a﹣（a﹣b）＝﹣2a+b．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．解题技巧提炼本题运用了数学结合思想，利用数轴由“形”的位置来确定“数（式）”的符号，充分体现了“数”与“形”是一个互相依存、不可分割的有机整体，解答含有二次根式的化简类题目的关键是确保去掉根号后的结果是非负数.【变式5-1】（2022秋•天府新区月考）已知实数a，b在数轴上的对应点如图，则(a+b)2-(a-b)【分析】利用数轴得出a+b＜0，a﹣b＜0，a＜0，进而化简得出即可．【解答】解：由数轴可得出：a+b＜0，a﹣b＜0，a＜0，故(a+b＝﹣（a+b）+（a﹣b）+a＝a﹣2b．故答案为：a﹣2b．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确得出各项符号是解题关键．【变式5-2】（2021春•东城区校级期末）如果数轴上表示a、b两个数的点都在原点的左侧，且a在b的左侧，则|a﹣b|+(a+b)2的值为【分析】先根据数轴确定a，b的大小．再运用二次根式的性质化简．【解答】解：∵a、b两个数的点都在原点的左侧，且a在b的左侧，即a＜b＜0，∴|a﹣b|+(a+b)2=b﹣a﹣（a+b）＝b﹣a﹣a﹣b故答案为：﹣2a．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简及实数与数轴，解题的关键是确定a，b的大小．【变式5-3】（2021秋•碑林区校级期中）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简a2【分析】根据数轴表示数的方法得到a＜0＜b，再根据二次根式的性质得原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，然后去绝对值后合并即可．【解答】解：∵a＜0＜b，∴原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|＝﹣a﹣b+a﹣b＝﹣2b．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：a2=|a【变式5-4】实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简a+|a+b|-c2-|b﹣【分析】根据数轴，确定a、b、c的正负，确定a+b、b﹣c的正负，然后再化简．【解答】解：由数轴知：a＞0，b＜c＜0，|a|＜|b|，∵a+b＜0，b﹣c＜0∴原式＝a﹣（a+b）﹣|c|+（b﹣c）＝a﹣a﹣b+c+b﹣c＝0．【点评】本题考查了数轴的相关知识，绝对值、二次根式的化简．两数相加，取决于绝对值较大的加数的符号，大数减小数为正，小数减大数为负．【变式5-5】（2021春•秦安县校级期末）已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简a2【分析】直接利用数轴得出a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，进而化简得出答案．【解答】解：由数轴可得：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，故原式＝﹣a+（a+b）+c﹣a﹣b﹣c＝﹣a．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键．题型六代数式题型六代数式【例题6】下列各式中，代数式有（）①m；②4a；③mx+y；④π；⑤ab=ba；⑥S=12（a+b）h；⑦3.6×103πa2；⑧22＜32A．8个B．7个C．6个D．5个【分析】代数式即用加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等运算连接起来的式子，代数式中不应含等号或不等号等；再根据单独算数字和字母也是代数式，逐一分析即可解答．【解答】解：①m是代数式；②4a是代数式；③mx+y是代数式；④π是代数式；⑤ab=ba是等式；⑥S=12（a+b）h是等式；⑦3.6×103πa2是代数式；⑧22＜32是不等式，故代数式有5故选：D．【点评】此题考查的是代数式的知识，熟练掌握其定义是关键．解题技巧提炼用基本运算符号（基本运算符号包括：加、减、乘、除、乘方和开方）把表示数或字母连接起来的式子，称