河南省商丘市赵楼中学高三数学文期末试卷含解析

河南省商丘市赵楼中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，“”是“”的（

）A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A2.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A、B为两个同高的几何体，p:A、B的体积不相等，q:A、B在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p是q的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由题意，若A、B的体积不相等，则A、B在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A、B在等高处的截面积不恒相等，但A、B的体积可能相等，例如是一个正放的正四面体，B一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以是的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.3.若，（其中都是实数，是虚数单位），则=

A．

B．

C．

D．1参考答案：A4.设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}参考答案：D考点： 交集及其运算．

专题： 集合．分析： 求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答： 解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．点评： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础．5.在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，若，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形参考答案：C【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可得sinA=cosA，sinB=cosB，利用两角差的正弦函数公式，角的范围，正弦函数的图象和性质可求A=B，即可得解．【解答】解：∵，又∵由正弦定理可得：，∴sinA=cosA，sinB=cosB，∴sin（A﹣）=0，sin（B﹣）=0，∵A，B∈（0，π），可得：A﹣，B﹣∈（﹣，），∴A﹣=0，B﹣=0，∴A=B=．故选：C．6.设下列不等关系不恒成立的是 （

） C

若，则 参考答案：D略7.已知平面向量，满足（）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的正切值为（）A． B． C．﹣ D．﹣参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义，即可求出向量、的夹角θ以及θ的正切值．【解答】解：设、的夹角为θ，则θ∈[0，π]，又（）=5，||=2，||=1，∴+?=22+2×1×cosθ=5，解得cosθ=，∴θ=，∴tanθ=，即向量与夹角的正切值为．故选：B．8.已知函数与的图象关于轴对称，当函数和在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫做函数的“不动区间”.若区间[1,2]为函数的“不动区间”，则实数t的取值范围是（

）A.(0,2]

B.

C.

D.参考答案：C∵函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，∴F（x）=f（﹣x）=|2﹣x﹣t|，∵区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，∴函数f（x）=|2x﹣t|和函数F（x）=|2﹣x﹣t|在[1，2]上单调性相同，∵y=2x﹣t和函数y=2﹣x﹣t的单调性相反，∴（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，即1﹣t（2x+2﹣x）+t2≤0在[1，2]上恒成立，即2﹣x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，即≤t≤2，故答案为：C

9.若向量a与向量b的夹角为60°，且|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()A．2

B．4

C．6

D．12参考答案：【知识点】向量的模；平面向量数量积的运算.F2F3C

解析：（a+2b）?（a﹣3b）=|a|2﹣|a||b|cos60°﹣6|b|2=|a|2﹣2|a|﹣96=﹣72，∴|a|2﹣2|a|﹣24=0．∴（|a|﹣6）?（|a|+4）=0．∴|a|=6．故选C【思路点拨】分解（a+2b）?（a﹣3b）得|a|2﹣|a||b|cos60°﹣6|b|2，因为向量的夹角、已知，代入可得关于的方程，解方程可得．10.函数的定义域是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：由题意1-x＞0且3x+1＞0，解得x∈，故选B．考点：函数的定义域．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为．参考答案：【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，=x+y，可得=3x+，利用向量共线定理可得=1，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：如图所示，∵BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，=x+y，∴=3x+，∴=1，∴2x+y=．∵x，y＞0，∵，，当且仅当y=2x=时取等号．则xy的最大值为．故答案为：．12.已知，和的夹角为，以，为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为

．

参考答案：答案：13.设，，，，则数列的通项公式=

．参考答案：2n+1解析：由条件得且所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则14.设是定义在R上以1为周期的函数，若在区间上的值域为，则在区间上的值域为__________.参考答案：略15.已知函数f（x）＝－2x＋a有零点，则a的取值范围是_______________．参考答案：略16.已知F1、F2是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点，从F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，交F2P的延长线于M，则点M的轨迹方程是________．参考答案：略17.不等式的解集为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．参考答案：解析：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为．（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知

；

；的分布列：012的数学期望：．19.等比数列{an}的各项均为正数，且a1+2a2=1，a32=4a2a6．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn+2=3log2，求数列{anbn}的前n项和．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设数列{an}的公比为q，通过解方程组可求得a1与q，从而可求数列{an}的通项公式；（2）利用错位相减法可求得数列{an?bn}的前n项和Sn．【解答】解：（1）由a32=4a2a6得：a32=4a42∴q2=

即q=又由a1+2a2=1得：a1=∴an=（）n…（6分）（2）∵bn+2=3log2∴bn+2=3log22n∴bn=3n﹣2∴cn=（3n﹣2）?（）n∴Sn=1×+4×（）2+7×（）3+…+（3n﹣5）?（）n﹣1+（3n﹣2）?（）n

…①Sn=1×（）2+4×（）3+7×（）4+…+（3n﹣5）?（）n+（3n﹣2）?（）n+1…②①﹣②得：Sn=1×+3（（）2+（）3+…+（）n）﹣（3n﹣2）?（）n+1=1×+3×﹣（3n﹣2）?（）n+1=+3×（1﹣（）n﹣1）﹣（3n﹣2）?（）n+1Sn=1+3﹣3×（）n﹣1﹣（3n﹣2）?（）n=4﹣（）n（6+3n﹣2）=4﹣（）n（3n+4）即：Sn=4﹣…（12分）【点评】本题考查数列的错位相减法求和，考查等比数列的通项公式与求和公式的综合应用，属于中档题．20.某校高三一次月考之后，为了为解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成了下面频率分布表：组号分组频数频率第一组[90，100）50.05第二组[100，110）350.35第三组[110，120）300.30第四组[120，130）200.20第五组[130，140）100.10合计1001.00（1）试估计该校高三学生本次月考的平均分；（2）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在[110，130）中的学生数为ξ，求：①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110，130）中的概率；②ξ的分布列和数学期望．（注：本小题结果用分数表示）参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）计算本次月考数学学科的平均分即可；（2）由表知成绩落在[110，130）中的概率，①利用相互独立事件的概率计算“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110，130）中”的概率值；②由题意ξ的可能取值为0，1，2，3；计算对应的概率值，写出ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）本次月考数学学科的平均分为=；（2）由表知，成绩落在[110，130）中的概率为P=，①设A表示事件“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110，130）中”，则，所以在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110，130）中的概率为；②ξ的可能取值为0，1，2，3；且，，，；∴ξ的分布列为ξ0123P数学期望为．（或，则．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是基础题．21.（12分）设函数(1)

求导数;并证明有两个不同的极值点;(2)

若不等式成立，求的取值范围参考答案：解析：（I）

因此是极大值点，是极小值点.

（II）因

又由（I）知

代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得

22.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．参考答案：(1)见解析.(2)1:1.【分析】(1)由已知可以证明出平面，也就证明出，在侧面中，可以证明出，这样可以证明平面，也就能证明出平面BDC1⊥平面BDC；(