2024年中考数学总复习：多边形与平行四边形- 巩固练习（基础）

2024年中考数学总复习：多边形与平行四边形-巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.任意三角形两边中点的连线与第三边上的中线()．

A．互相平分B．互相垂直C．相等D．互相垂直平分2.（2015春•平顶山期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3.若一个多边形的对角线的条数恰好为边数的3倍，则这个多边形的边数为()．A．6B．7C．8D．94.如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，DF＝2，则EF的长为()A．2B．C．4D．5.下列说法正确的是（）．

A．平行四边形的对角线相等

B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

C．平行四边形的对角线交点到一组对边的距离相等

D．沿平行四边形的一条对角线对折，这条对角线两旁的图形能够重合

6.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）．

（A）AE=CF（B）DE=BF（C）∠ADE=∠CBF（D）∠AED=∠CFB

二、填空题7.已知：A、B、C、D四点在同一平面内，从①AB∥CD②AB=CD③BC∥AD④BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法共有________种．8.平行四边形两邻边上的高分别是和，高的夹角是60°，则这个平行四边形的周长为____，

面积为__________．9．如图，已知直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点，

（1）请写出图中面积相等的三角形________________________________________．

（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论点P移动到什么位置，总有______与△ABC的面积相等，理由是________________．10.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是_________.

11.（2012•茂名）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是_______________．12.（2014春•深圳期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作PF⊥BC于点F，交AD于点E，交BA的延长线于点P．若PE=EO=2，PA=3，则△OBC的面积等于．三、解答题13.如图，已知△ABC，以BC为边在点A的同侧作正△DBC，以AC、AB为边在△ABC的外部作正△EAC和正△FAB.求证：四边形AEDF是平行四边形．

14.（2015•枣庄）如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．15.（2011•泸州）如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．16（2011•贵阳）[阅读]

在平面直角坐标系中，以任意两点P（

x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为(，)．

[运用]（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为_______．

（2）在直角坐标系中，有A（-1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．【答案与解析】一．选择题1.【答案】A．2．【答案】B．【解析】由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以，故选B．3．【答案】D．【解析】设边数为n，则，∴n＝9.4．【答案】B.【解析】在▱ABCD中，AB∥CD且AB＝CD.又∵AE∥BD，∴四边形ABDE为平行四边形，∴DE＝AB.∵EF⊥BC，DF＝2，∴CE＝2DF＝4.∵∠ECF＝∠ABC＝60°，∴EF＝CE·sin∠ECF＝4×＝2.5．【答案】C．6．【答案】B.二．填空题7．【答案】4.8．【答案】20；.9．【答案】（1）△ABC与△ABP;△ACP与△BCP;△AOC与△BOP；（2）△ABP；同底等高.10．【答案】n2+2n．【解析】第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n2+2n．11.【答案】8.【解析】设多边形有n条边，则n-2=6，解得n=8．12．【答案】4.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO=CO，BO=DO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴EO=FO，AE=FC，∵PE=EO=2，∴FO=2，∵AE∥BF，PF⊥BC，∴△PAE∽△PBF，∠PEA=90°，∴=，∴AE==，∴=，解得：BF=3，则BC=4，故△OBC的面积为：FO×BC=×2×4=4．故答案为：4．三.综合题13．【解析】证明：∵△ABF为正三角形，

∴AB=FB,∠1+∠2=60°．

∵△EAC和△BCD是正三角形，

∴AE=AC,BC=BD,∠3+∠2=60°，

∴∠1=∠3．

在△BDF和△BCA中，

∴△BDF≌△BCA(SAS)，

∴FD=AC

．

又∵AE=AC

，

∴FD=AE

，

同理可证△CAB≌△CED，可得AB=ED=AF

，

∴四边形AEDF是平行四边形．14．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∴∠ODF=∠OBE，在△ODF与△OBE中∴△ODF≌△OBE（AAS）∴BO=DO；（2）解：∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∵∠A=45°，∴∠DBA=∠A=45°，∵EF⊥AB，∴∠G=∠A=45°，∴△ODG是等腰直角三角形，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴DF⊥OG，∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，∵△ODF≌△OBE（AAS）∴OE=OF，∴GF=OF=OE，即2FG=EF，∵△DFG是等腰直角三角形，∴DF=FG=1，∴DG==DO，∴在等腰RT△ADB中，DB=2DO=2=AD∴AD=2，15．【解析】解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等．

证明：∵CE∥AB，

∴∠DAO=∠ECO，

∵OA=OC，

∴△ADO≌△ECO，

∴AD=CE，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∴CD平行且等于AE．16.【解析】解：（1）M（，），即M（2，1.5）．

（2）根据平行四边形的对角线互相平分可得：

设D点的坐标为（x，y），

∵ABCD是平行四边形，

①当AB为对角线时，

∵A（-1，2），B（3，1），C（1，4），

∴BC=，

∴AD=，

∵-1+3-1=1，2+1-4=-1，

∴D点坐标为（1，-1），

②当BC为对角线时，

∵A（-1，2），B（3，1），C（1，4），

∴AC=2，BD=2，

D点坐标为（5，3）．

③当AC为对角线时，

∵A（-1，2），B（3，1），C（1，4），

∴AB=，CD=，

D点坐标为：（-3，5），

综上所述，符合要求的点有：（1，-1），（-3，5），（5，3）．中考总复习：多边形与平行四边形-巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图，四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，□ABED的面积是，则四边形ABCD的周长为（）

A．49cmB．43cmC．41cmD．46cm

2．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=4，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是：()A.

；B.2；C.3；D.4．

3.已知点A(2，0)、点B(，0)、点C(0，1)，以A、B、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4.(2011·安徽)如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2，CD＝，点P在四边形ABCD的边上，若P到BD的距离为，则点P的个数为()A．1B．2C．3D．45.如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD=4AG；

④△DBF≌△EFA．其中正确结论的是（）．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①②④

6.（2014•杭州模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°，①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是10+2；④四边形ACEB的面积是16．则以上结论正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④二、填空题7.如图，口ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为________.8.（2015春•淅川县期末）若工人师傅用正三角形、正十边形与正n边形这三种正多边形能够铺成平整的地面，则n的值为．9.如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，AD=8，点E、F分别是边BC、AD边的中点，点M是AE与BF的交点，点N是CF与DE的交点，则四边形ENFM的周长是__________．

10.（2011•梅州）凸n边形的对角线的条数记作an（n≥4），例如：a4=2，那么：①a5=_____；②a6-a5=____

；③an+1-an=____．（n≥4，用n含的代数式表示）11.①如图（1）,四边形ABCD中，AB∥E1F1∥CD，AD∥BC，则图中共有________个平行四边形；

②如图（2），四边形ABCD中，AB∥E1F1∥E2F2∥CD，AD∥BC，则图中共有________个平行四边形；

③如图（3），四边形ABCD中，AB∥E1F1∥E2F2∥E3F3∥CD，AD∥BC，则图中共有________个平行四边形；一般地，若四边形ABCD中，E1，E2，E3，…，都是AD上的点，F1，F2，F3，…，都是BC上的点，且AB∥E1F1∥E2F2∥E3F3∥…∥∥CD，AD∥BC，则图中共有________平行四边形.12.如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为___________.三、解答题13.问题再现：现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究．

我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角．试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着3个正六边形的内角．

问题提出：如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？

问题解决：

猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？

分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．

验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：90x+•y=360，整理得：2x+3y=8，

我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为．

结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．

猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．

验证2：_______；结论2：_______．

上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．

问题拓广：请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．

猜想3：_______；

验证3：_______；

结论3：_______．14.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC与∠ADC互补．

（1）求∠C的度数；

（2）若BC＞CD且AB=AD，请在图上画出一条线段，把四边形ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由；

（3）若CD=6，BC=8，S四边形ABCD=49，求AB的值．15.（2015春•苏州校级期末）如图，正方形ABCD中，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF、CF．（1）如图①，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形．（2）如图②，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由．16．（2012•广州）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．

（1）当α=60°时，求CE的长；

（2）当60°＜α＜90°时，

①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

②连接CF，当CE2-CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．【答案与解析】一．选择题1.【答案】D.2．【答案】A.3.【答案】C．4．【答案】B.【解析】如图所示，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由题意得AE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)AB＝2＞eq\f(3,2)，∴在边AB和AD上各存在一个点P到BD的距离为eq\f(3,2).∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠ADB＝45°.又∠ADC＝90°，

∴∠CDF＝45°.∴CF＝eq\f(\r(2),2)CD＝eq\f(\r(2),2)×eq\r(2)＝1＜eq\f(3,2)，∴在边BC和CD上不存在符合题意的点P.综上所述.5．【答案】A.【解析】先证ΔADF≌ΔABC,可得DF=AC=AE.∵DF∥AE且DF=AE∴四边形ADFE为平行四边形，即①②③④是正确的.6．【答案】D.【解析】①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴∠ACD=∠CDE=90°，∴AC∥DE，∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；②∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EC=EB，∴△BCE是等腰三角形，故②正确；③∵AC=2，∠ADC=30°，∴AD=4，CD=2，∵四边形ACED是平行四边形，∴CE=AD=4，∵CE=EB，∴EB=4，DB=2，∴CB=4，∴AB==2，∴四边形ACEB的周长是10+2故③正确；④四边形ACEB的面积：×2×4+×4×2=8，故④错误，故选：A．二．填空题7．【答案】7.【解析】由题意知x+y+z=8,a+(y+a)+(z+x)=22，所以a=7.

8．【答案】十五.【解析】正三边形和正十边形内角分别为60°、144°，正n边形的内角应为360°﹣60°﹣144°=156°，所以正n边形为正十五边形．故答案为：十五．9．【答案】4+4．10．【答案】5；4；n-1．【解析】①五边形有5条对角线；②六边形有9条对角线，9-5=4；

③n边形有

条对角线，n+1边形有条对角线，

an+1-an=-=n-1．11.【答案】①3;②6;③10，.12．【答案】n（n+1）．【解析】∵①正三边形“扩展”而来的多边形的边数是12=3×4，②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20=4×5，

③正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30=5×6，

④正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42=6×7，

∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．三.综合题13．【解析】用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着3个正六边形的内角．

验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角，

根据题意，可得方程：60a+120b=360．

整理得：a+2b=6，

可以找到两组适合方程的正整数解为和结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．

猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？

验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角．

根据题意，可得方程：60m+90n+120c=360，

整理得：2m+3n+4c=12，

可以找到惟一一组适合方程的正整数解为

结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌．（说明：本题答案不惟一，符合要求即可．）14．【解析】（1）∵∠ABC与∠ADC互补，∴∠ABC+∠ADC=180°．∵∠A=90°，∴∠C=360°-90°-180°=90°；（2）过点A作AE⊥BC，垂足为E．则线段AE把四边形ABCD分成△ABE和四边形AECD两部分，把△ABE以A点为旋转中心，逆时针旋转90°，则被分成的两部分重新拼成一个正方形．过点A作AF∥BC交CD的延长线于F，∵∠ABC+∠ADC=180°，又∠ADF+∠ADC=180°，

∴∠ABC=∠ADF．

∵AD=AB，∠AEC=∠AFD=90°，∴△ABE≌△ADF．

∴AE=AF．∴四边形AECF是正方形；

（3）解法1：连接BD，

∵∠C=90°，CD=6，BC=8，Rt△BCD中，BD==10

又∵S四边形ABCD=49，∴S△ABD=49-24=25．

过点A作AM⊥BD垂足为M，

∴S△ABD=×BD×AM=25．∴AM=5．

又∵∠BAD=90°，∴△ABM∽△DAM．∴=．

设BM=x，则MD=10-x，

∴=．解得x=5．∴AB=5．

解法2：连接BD，∠A=90°．

设AB=x，AD=y，则x2+y2=102，①

∵xy=25，∴xy=50．②

由①，②得：（x-y）2=0．

∴x=y．2x2=100．∴x=5．15．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°在△PBA和△FBC中，，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，∴PE=FC．∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠FCB+∠APB=90°．∵∠EPA=90°，∴∠APB+∠EPA+∠FCP=180°，即∠EPC+∠PCF=180°，∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形；（2）解：结论：四边形EPCF是平行四边形，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°在△PBA和△FBC中，，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，∴PE=FC．∵∠FCB+∠BFC=90°，∠EPB+∠APB=90°，∴∠BPE=∠FCB，∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形．16.【解析】（1）∵α=60°，BC=10，

∴sinα=，即sin60°==，

解得CE=5；

（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．

理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，

∵F为AD的中点，∴AF=FD，

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，

∴∠G=∠DCF，

在△AFG和△CFD中，，

∴△AFG≌△DFC（AAS），

∴CF=GF，AG=CD，

∵CE⊥AB，

∴EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

∴∠AEF=∠G，

∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，

∴AG=5，AF=AD=BC=5，

∴AG=AF，∴∠AFG=∠G，

在△EFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，

又∵∠CFD=∠AFG（对顶角相等），

∴∠CFD=∠AEF，

∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，

因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF；

②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，

∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x，

在Rt△BCE中，CE2=BC2-BE2=100-x2，

在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10-x）2+100-x2=200-20x，

∵CF=GF（①中已证），

∴CF2=（CG）2=CG2=（200-20x）=50-5x，

∴CE2-CF2=100-x2-50+5x=-x2+5x+50=-（x-）2+50+，

∴当x=，即点E是AB的中点时，CE2-CF2取最大值，

此时，EG=10-x=10-=，

CE===，

所以，tan∠DCF=tan∠G===．中考总复习：多边形与平行四边形--知识讲解（基础）【考纲要求】【高清课堂：多边形与平行四边形考纲要求】1.多边形A：了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系．B：会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形．(2)平行四边形A：会识别平行四边形．B：掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题．C：会运用平行四边形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、多边形多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段．2.多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n－2)个三角形．3．多边形的角：n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.【要点诠释】（1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.考点二、平面图形的镶嵌1．镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．2．平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理

1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．两条平行线间的距离：定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离．性质：夹在两条平行线间的平行线段相等．【要点诠释】1.平行四边形的面积=底×高；2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌1．（2015•葫芦岛）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．60° B．65° C．55° D．50°【思路点拨】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．【答案】A【解析】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，∴∠P=180°﹣120°=60°．故选：A．【总结升华】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．举一反三：【变式】如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=_________.【答案】40°.2．(2011·十堰)现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是()A．正方形和正六边形B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形D．正三角形、正方形和正六边形【思路点拨】注意各正多边形的内角度数.【答案】A.【解析】正方形和正六边形的每个内角分别为90°和120°，要镶嵌则需要满足90°m＋120°n＝360°，但是m、n没有正整数解，故选A.【总结升华】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.举一反三：【变式】现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有()A．2种B．3种C．4种D．5种【答案】B.类型二：平行四边形及其他知识的综合运用3．（2014春•章丘市校级月考）如图，已知在▭ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，BM⊥AC、DN⊥AC，CF⊥BD垂足分别是E、M、N、F，求证：EN∥MF．【思路点拨】连接ME，FN，由四边形ABCD为平行四边形，得到对角线互相平分，利用AAS得到三角形AOE与三角形COF全等，利用全等三角形对应边相等得到OE=OF，同理得到三角形BOM与三角形DON全等，得到OM=ON，进而确定出四边形MEFN为平行四边形，利用平行四边形的对边平行即可得证．【答案与解析】证明：连接ME，FN，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE⊥BD，CF⊥BD，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF，同理△BOM≌△DON，得到OM=ON，∴四边形EMFN为平行四边形，∴EN∥MF．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．4.如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D，使，点E、F分别为边BC、AC的中点.

（1）求证：DF=BE；

（2）过点A作AG∥BC，交DF于G，求证：AG=DG.

【思路点拨】（1）E、F分别为BC、AC中点，则EF为△ABC的中位线，所以EF∥AB，.而.则EF=AD.从而易证△DAF≌△EFC,则DF=CE=BE.(2)AG与DG在同一个三角形中,只需证∠D=∠DAG即可.

【答案与解析】（1）∵点E、F分别为BC、AC的中点，

∴EF是△ABC的中位线.

∴EF∥AB，.

又∵

，

∴EF=AD.

∵EF∥AB，∴∠EFC=∠BAC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAF=90.

又∵F是AC的中点，∴AF=CF，∴△DAF≌△EFC.∴DF=EC=BE.

（2）由(1)知∵△DAF≌△EFC，∴∠D=∠FEC.

又∵EF∥AB，∴∠B=∠FEC.

又∵AG∥BC，∴∠DAG=∠B，

∴∠DAG=∠FEC

∴∠D=∠DAG.∴AG=DG.

【总结升华】三角形中位线定理的作用：位置关系——可以证明两条直线平行；数量关系——可以证明线段的相等或倍分.此外应注意三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形.举一反三：【变式】如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）

A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小

C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C.5．如图：六边形ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD=4cm，BD=3cm．则六边形ABCDEF的面积是_________cm2．【思路点拨】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．【答案与解析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．

∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，

∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，

∴AE=BD，AC=FD，

∵FD⊥BD，

∴∠GDH=90°，

∴四边形AHDG是矩形，

∴AH=DG

∵EH=AE-AH，BG=BD-DG

∴EH=BG．

∴六边形ABCDEF的面积=平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=3×4=12cm2．

故答案为：12.【总结升华】注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．6.（2012•厦门）已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF．（1）如图，若PE=，EO=1，求∠EPF的度数；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+3-4，求BC的长．【思路点拨】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解；（2）根据三角形中位线定理可得PF∥AO，且PF=AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠AOD=∠PFD=90°，再根据同位角相等，两直线平行可得PE∥OD，所以PE也是△AOD的中位线，然后证明四边形ABCD是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解．【答案与解析】（1）如图，连接PO，∵PE⊥AC，PE=，EO=1，∴tan∠EPO=，∴∠EPO=30°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠PFO=90°，在Rt△PEO和Rt△PFO中，，∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），∴∠FPO=∠EPO=30°，∴∠EPF=∠FPO+∠EPO=30°+30°=60°；（2）如图，∵点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴PF∥AO，且PF=AO，∵PF⊥BD，∴∠PFD=90°，∴∠AOD=∠PFD=90°，又∵PE⊥AC，∴∠AEP=90°，∴∠AOD=∠AEP，∴PE∥OD，∵点P是AD的中点，∴PE是△AOD的中位线，∴PE=OD，∵PE=PF，∴AO=OD，且AO⊥OD，∴平行四边形ABCD是正方形，设BC=x，则BF=x+×x=x，∵BF=BC+3-4=x+3-4，∴x+3-4=x，解得x=4，即BC=4．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质，（2）中判定出平行四边形ABCD是正方形是解题的关键．举一反三：【变式】如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（－2，－1），且P（－1，－2）是双曲线上的一点，Q为坐标平面上的一动点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分别为A、B．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线MO上运动时，是否可以使△OBQ与△OAP面积相等？

（3）如图2，点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

图1图2

【答案】（1）正比例函数解析式为，反比例函数解析式为．

（2）当点Q在直线MO上运动时，

设点Q的坐标为，，解得.

所以点Q的坐标为和．

（3）因为P（，），由勾股定理得OP＝，

平行四边形OPCQ周长=．

因为点Q在第一象限中的双曲线上，所以可设点Q的坐标为，

由勾股定理可得，通过图形分析可得：

OQ有最小值2，即当Q为第一象限中的双曲线与直线的交点时，线段OQ的长度最小．

所以平行四边形OPCQ周长的最小值：．中考总复习：多边形与平行四边形--知识讲解（提高）【考纲要求】【高清课堂：多边形与平行四边形考纲要求】1.多边形A：了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系．B：会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形．(2)平行四边形A：会识别平行四边形．B：掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题．C：会运用平行四边形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、多边形多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段.2.多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n－2)个三角形．3．多边形的角：n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.【要点诠释】（1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.考点二、平面图形的镶嵌1．镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．2．平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理

1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．【要点诠释】在平行四边形的学习中，学习它的性质定理和判定方法时，主要从三个不同角度加以分析：边、角与对角线:1.对于边，从位置（比如平行、垂直等）和大小（比如相等或倍半关系等）两方面探讨邻边或对边的关系特征；2.对于角，以邻角和对角两方面为主，探讨其大小关系（比如相等、互补等）或具体度数；3.对于对角线，则探讨两条对角线之间的位置和大小关系，以及它们与边、角之间的关系.考点五：平行线间的距离

1．两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.

【要点诠释】1.距离是指垂线段的长度，是正值.2.平行线间的距离处处相等.任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.

3.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.

2．平行四边形的面积：

平行四边形的面积=底×高(等底等高的平行四边形面积相等).【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌1.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE重叠压平，A与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=_________.【思路点拨】首先根据四边形的内角和公式可以求出四边形ADA′E的内角和，由折叠可知∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′，又∠A=70°，由此可以求出∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE，再利用邻补角的关系即可求出∠1+∠2．【答案与解析】∵四边形ADA′E的内角和为（4-2）•180°=360°，

而由折叠可知∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′，

∴∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE=360°-∠A-∠A′=360°-2×70°=220°，

∴∠1+∠2=180°×2-（∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE）=140°．【总结升华】本题考查根据多边形的内角和计算公式求和多边形相关的角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．举一反三：【变式】一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A.10B.11C.12D.以上都有可能【答案】D.2．（2015春•邗江区校级期末）已知在四边形ABCD中，∠A=x，∠C=y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC=（用含x、y的代数式表示）；（2）如图1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由．（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，①当x＜y时，若x+y=140°，∠DFB=30°试求x、y．②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．【思路点拨】（1）利用四边形内角和定理得出答案即可；（2）利用角平分线的性质结合三角形外角的性质得出即可；（3）①利用角平分线的性质以及三角形内角和定理，得出∠DFB=y﹣x=30°，进而得出x，y的值；②当x=y时，DC∥BF，即∠DFB=0，进而得出答案．【答案与解析】解：（1）∠ABC+∠ADC=360°﹣x﹣y；故答案为：360°﹣x﹣y；（2）如图1，延长DE交BF于G∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，又∵∠CBM=180°﹣∠ABC=180°﹣（180°﹣∠ADC）=∠ADC，∴∠CDE=∠CBF，又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，∴∠BGE=∠C=90°，∴DG⊥BF（即DE⊥BF）；（3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM=x+y，∵BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN，∴∠CDF+∠CBF=（x+y），如图2，连接DB，则∠CBD+∠CDB=180°﹣y，得∠FBD+∠FDB=180°﹣y+（x+y）=180°﹣y+x，∴∠DFB=y﹣x=30°，解方程组：，解得：；②当x=y时，DC∥BF，此时∠DFB=0，故x、y满足x=y时，∠DFB不存在．【总结升华】此题主要考查了多边形的内角和角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，正确应用角平分线的性质是解题关键．类型二、平行四边形及其他知识的综合运用3．（2012•阜新）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若使EF=AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（）A．∠ABC=60°B．AB：BC=1：4C．AB：BC=5：2D．AB：BC=5：8【思路点拨】根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，然后根据两直线平行内错角相等，得到∠AEB=∠EBC，再由BE平分∠ABC得到∠ABE=∠EBC，等量代换后根据等角对等边得到AB=AE，同理可得DC=DF，再由AB=DC得到AE=DF，根据等式的基本性质在等式两边都减去EF得到AF=DE，当EF=AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，然后根据设出的量再表示出AF，进而根据AB=AF+EF用含x的式子表示出AB即可得到AB与BC的比值．【答案与解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，又BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，同理可得：DC=DF，∴AE=DF，∴AE-EF=DE-EF，即AF=DE，当EF=AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，∴AF=DE=（AD-EF）=1.5x，∴AE=AB=AF+EF=2.5x，∴AB：BC=2.5：4=5：8．故选D．【总结升华】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分性的定义以及等式的基本性质，利用了等量代换的数学思想，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用．举一反三：【变式】已知：如图，，M为AB上一点，使AM=BC，N为BC上一点，CN=BM，连结AN、MC交于P.求：的度数

【答案】过M点，作

4.（2015•泰安样卷）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F．（1）当点P为AB的中点时，如图1，连接AF、BE．证明：四边形AEBF是平行四边形；（2）当点P不是AB的中点，如图2，Q是AB的中点．证明：△QEF为等腰三角形．【思路点拨】（1）首先证明△BFQ≌△AEQ可得QE=QF，再由AQ=BQ可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形AEBF是平行四边形；（2）首先证明△FBQ≌△DAQ可得QF=QD，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得QE=QF=QD，进而可得结论．【答案与解析】证明：（1）如图1，∵Q为AB中点，∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，在△BFQ和△AEQ中：∴△BFQ≌△AEQ（AAS），∴QE=QF，∴四边形AEBF是平行四边形；（2）QE=QF，如图2，延长FQ交AE于D，∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ，在△FBQ和△DAQ中，∴△FBQ≌△DAQ（ASA），∴QF=QD，∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，∴QE=QF=QD，即QE=QF，∴△QEF是等腰三角形．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形．5．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．

（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；

（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；

（