2020-2021学年河南省周口市太康县九年级(上)期末数学试卷（含解析）

2020-2021学年河南省周口市太康县九年级第一学期期末数学试

卷

选择题（共io小题）.

2

1.下列函数：①y=3-J^x2；②y=—y；③y=x（3-5x）；④）y=（l+2x）（1-2x）,

x

是二次函数的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.要调查某校学生周日的睡眠时间，下列选取调查对象中最合适的是（）

A.随机选取该校■个班级的学生

B.随机选取该校100名男生

C.随机选取该校一个年级的学生

D.在该校各年级中随机选取100名学生

3.抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

4.如图，弦ABJ_OC,垂足为点C,连接。1,若0c=4,AB=6,则sinA等于（

5.小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有4、8、C三个社区

可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（）

「「

AA.—1BD.—1C.—2D.—2

9393

6.将抛物线（）先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得到的抛物

线为y=-2（x-3）2+1.

A.y=-2（x-5）2+2B.y=-2（尤-1）2

C.y=-2（尤-2）2-1D.y=-2（x-4）2+3

7.如图，AB是O。的直径，若乙BAC=20°,则（

8.如图，在△ABC中，点、D,E分别是边AB,AC的中点，点尸是线段。E上的一点.连

接AF,BF,ZAFB=90°,且A8=8,BC=14,则EF的长是（）

9.如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于。0,贝UAD：AB=（）

A.2近:MB.我：遮C.瓜V2D.73：2&

10.二次函数丫="2+6尤+。的图象如图所示，下列结论：

①ac<0；②3a+c=0；③4ac-/<0；④当尤>-1时，y随x的增大而减小.

其中正确的有（）

二.填空题（每题3分）

11.计算：2tan60°+tan45°-4cos30°=.

12.在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次

摸出一个球记录下颜色后并放回,通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右,

则布袋中黑球的个数可能有.

13.已知点Pi（-2,yi）,Pz（2,”）在二次函数y—（x+1）2-2的图象上，则yi（填

“>”，或“=”）

14.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,AC=2,将绕点A逆时

针旋转30°后得到△A3C,则图中阴影部分的面积是.

15.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，尸是直线尤=2上的一个动点，OP的半径为1,直线

OQ切OP于点。，则线段0Q的最小值为.

三.解答题（共8小题，满分75分）

/2a1、.a

16.先化简，再求值：L~■—2，其中a是方程。2+。-6=0的解.

a-4a-2a*+4a+4

17.为了展现新时代青年学子勇于担当的责任感和强烈的爱国情怀，自治区教育工委、教育

厅组织开展了全区学生“共抗疫情、爱国力行”网络文化作品征集展示活动，现将从中

挑选的50件参赛作品的成绩（单位：分）统计如表：

等级成绩（用机表示）频数频率

A90^m^l00X0.08

B80^m<9034y

Cm<80120.24

合计501

请根据上表提供的信息，解答下列问题:

(1)表中X的值为,y的值为(直接填写结果)；

(2)将本次参赛作品获得A等级的学生依次用4、4、4…表示.若从本次参赛作品获

得A等级的学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，用列表或画树状图的方法,

求恰好抽到学生Ai和A2概率.

18.如图，AB为。。的直径，点C是。。上一点，与。。相切于点C,过点A作

DC,连接AC,BC.

(1)求证：AC是NZMB的角平分线；

(2)若AO=2,AB=3,求AC的长.

19.某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度.如图所示，在B

处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°,福塔顶部桅杆天线AD高120帆，再沿CB方

向前进20/77到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.40.求中原福塔CD的总高

度.(结果精确到1m.参考数据：sin53.4°—0.803,cos53.4°-0.596,tan53.4°—1.346)

20.如图，抛物线y=ox2+2x+c经过点A(0,3),8(-1,0),请解答下列问题:

(1)求抛物线的表达式；

(2)抛物线的顶点为点。，对称轴与x轴交于点E,连接3。，求3。的长；

(3)当-2Vx<2时，y的取值范围是.

21.某商品的成本为20元，市场调查发现：当售价为180元时，每周可售出50件，每涨价

10元每周少售出1件.现要求每周至少售出35件，且售价不低于180元.

（1）设售价为x元（x为10的整数倍），每周利润为y元，求y与x之间的函数关系式,

并直接写出x的取值范围；

（2）当售价为多少时，（销售这种商品）每周的利润最大？最大利润是多少？

（3）若希望每周利润不得低于10400元，则售价x的范围为.

22.已知/MPN的两边分别与。。相切于点A,B,的半径为人

（1）如图1,点C在点A,2之间的优弧上，/MPN=80。，求NACB的度数；

（2）如图2,点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，NAPB的度

数应为多少？请说明理由；

（3）若PC交。。于点。，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含，的式子表示）.

如图1,在Rt^ABC和RtZkCOE中，ZACB=ZDCE=90°,ZCAB=ZCDE=45°,

点。是线段AB上一动点，连接BE.

填空：

①啜"的值为;

②NDBE的度数为.

(2)类比探究

如图2,在RtaABC和RtzXCL比中，ZACB=ZDCE=90°,ZCAB^ZCDE^6Q°,

点。是线段AB上一动点，连接BE.请判断*的值及NO8E的度数，并说明理由；

AD

（3）拓展延伸

如图3,在（2）的条件下，将点。改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段。E

的中点连接BM、CM,若AC=2,则当△C8M是直角三角形时，线段8E的长是多

少？请直接写出答案.

参考答案

一.选择题（共10小题）.

2

1.下列函数：0y=3--/3X2;@y=~'③y=x（3-5无）；④y=（l+2x）（l-2x）,

x

是二次函数的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

解：①尸3-eX2;③尸无（3-5无）；④尸（l+2x）（l-2x）,是二次函数，共3

个，

故选：C.

2.要调查某校学生周日的睡眠时间，下列选取调查对象中最合适的是（）

A.随机选取该校一个班级的学生

B.随机选取该校100名男生

C.随机选取该校一个年级的学生

D.在该校各年级中随机选取100名学生

解：要调查某校周日的睡眠时间，最合适的是在该校各年级中随机选取100名学生.

故选：D.

3.抛物线y=-/+4x-4与坐标轴的交点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

解：当x=0时，＞=-N+以一4=-4,则抛物线与y轴的交点坐标为（0,-4）,

当y=0时，-N+4X-4=0,解得XI=&=2,抛物线与x轴的交点坐标为（2,0）,

所以抛物线与坐标轴有2个交点.

故选：C.

4.如图，弦垂足为点C,连接。4,若0c=4,AB=6,则sinA等于（）

A.返B.返C.—D.—

2255

解：•.•弦AB=4,OC=2,

；.AC=LB=3,

2

OA=VOC2+AC2=V42+32=5-

故选：c.

5.小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A、B、C三个社区

可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是()

「

AA.—1BD.—1C.-2D.—2

9393

解：画树状图如图：

共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为3种，

则两人恰好进入同一社区的概率=3告=去1

yo

故选：B.

6.将抛物线()先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得到的抛物

线为y=-2(x-3)2+1.

A.y=-2(x-5)2+2B.y=-2(尤-1)2

C.y=-2(x-2)2-1D.-2(x-4)2+3

解：：将y=-2(x-3)2+1,先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到

y=-2(x-5)2+2,

平移前抛物线的解析式是：＞=-2(无-5)2+2.

故选：A.

7.如图，43是。。的直径，若乙BAC=20°,则NADC=()

O

AB

\/D

A.40°B.60°C.70°D.80°

解：TAB是直径，

AZACB=90°,

VZBAC=20°,

AZABC=90°-20°=70°,

AZADC=ZABC=70°,

故选：C.

8.如图，在△ABC中，点O,片分别是边AB,AC的中点，点厂是线段。石上的一点.连

接AFBF,ZAFB=90°,且A8=8,BC=14,则EF的长是（）

解：・・,点。，E分别是边A3,AC的中点,

・・・DE是△ABC的中位线，

VBC=14,

：.DE=—BC=1,

2

VZAFB=90°,AB=8,

：.DF=^-AB=4f

：.EF=DE-DF=7-4=3,

故选：B.

9.如图，等边三角形ABC和正方形AOEb都内接于OO,贝IJA。：AB=(）

D.愿：2近

解：连接。4、OB、0D,过。作O//_LAB于"如图所示:

则AH=BH=^AB,

:等边三角形ABC和正方形ADE尸，都内接于。。，

AZAOB=120°,乙4。。=90°,

\'OA=OD=OB,

.•.△49。是等腰直角三角形，ZAOH^ZBOH^X120°=60°,

：.AD=42OA,AH=OA-sm60°=^-OA,

：.AB=2AH=2X毕。4=«OA,

.AD_/20A

■,AB-V30A-V3，

故选：B.

10.二次函数〉="2+6尤+。的图象如图所示，下列结论：

①ac＜0；②3a+c=0；③4ac-从＜0；④当尤＞-1时，y随x的增大而减小.

其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

解：①•・,抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴,

.*.6Z>0,c<0,

/.ac<Of结论①正确；

②・・・抛物线对称轴为直线x=1,

:・b=-2a,

..•抛物线经过点（-1,0）,

tz+2tz+c=0,即3a+c=0,结论②正确；

③•・,抛物线与x轴由两个交点，

.\b2-^ac>Q,即4〃c-/?2V0,结论③正确；

④・・,抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线I=1,

・••当xVl时，y随x的增大而减小，结论④错误；

故选：B.

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11.计算：2tan60°+tan45°-4cos30°=1

解：原式=2愿+1-4义堂

=2«+1-273

=1.

故答案为：L

12.在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次

摸出一个球记录下颜色后并放回,通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右,

则布袋中黑球的个数可能有13.

解：设袋中有黑球x个，

由题意得：一当7=0.2,

x+52

解得：x=13,

经检验尤=13是原方程的解，

则布袋中黑球的个数可能有13个.

故答案为：13.

13.已知点Pi(-2,yi),P2(2,”)在二次函数y=(x+1)2-2的图象上，则yi<y2.(填

“>”，“V”或一)

解：当尤=-2时，yi=(-2+1)2-2=-1；

当冗=2时，”=(2+1)2-2=7.

-1<7,

・力1〈丁2.

故答案为＜.

14.如图，在中，ZC=90°,ZABC=30°,AC=2,将RtZVlBC绕点A逆时

针旋转3。。后得到△人”则图中阴影部分的面积是—冬雪L.

解：VZC=90°,ZABC=30°,

：.ZCAB=60°,AB=2AC=4,3c=V^AC=2愿，

:将RtAABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ABC,

；.AC=AC=2,B'C=BC=2代，ZB'AB=30°,

：.ZCAD=ZCAB'-ZBAB'=30°,

在RtZXAUD中，VZCAD=30°,

：.B'D=B'C-DC=生3

3

，图中阴影部分的面积=S扇形BA及及

30Xnx421乂4愿乂0

36023

=_4M

一”一~1~'_

故答案为枭-华■.

oO

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，尸是直线尤=2上的一个动点，OP的半径为1,直线

OQ切OP于点Q,则线段。。的最小值为

解：连接OP、PQ,如图，

:直线。。切O尸于点0,

C.PQLOQ,

在RtAPOQ中，O°={0p2_pQ2rop2_12,

是直线x=2上的一个动点，

二。尸的最小值为2,

：.OQ的最小值为五

故答案为

16.先化简，再求值：(,-29a1)s7.9a,其中〃是方程。2+〃-6=0的解.

a-4a2软+4a+4

/2a1、.a

解：9)=~2

软-4a2“+4a+4

=2a-(a+2).(a+2)?

(a+2)(a-2)a

_2a-a~2.a+2

a-2a

a-2.a+2

a-2a

a+2

a

由cfi+a-6=0,得a=-3或a=2,

•・Z-2W0,

.•・aW2,

.\a=-3,

当。=-3时，原式=当_=义.

~33

17.为了展现新时代青年学子勇于担当的责任感和强烈的爱国情怀，自治区教育工委、教育

厅组织开展了全区学生“共抗疫情、爱国力行”网络文化作品征集展示活动，现将从中

挑选的50件参赛作品的成绩（单位：分）统计如表：

等级成绩（用机表示）频数频率

A90WmW100X0.08

B80Wm<9034y

Cm<80120.24

合计501

请根据上表提供的信息，解答下列问题：

（1）表中尤的值为4,y的值为0.68（直接填写结果）；

（2）将本次参赛作品获得A等级的学生依次用Ai、&2、A3…表示.若从本次参赛作品获

得A等级的学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，用列表或画树状图的方法,

求恰好抽到学生Ai和A2概率.

解：（1）50-12-34=4,344-50=0.68,

故答案为：4,0.68；

（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

人

第2/^^A1A2A3A4

A1(A2,Al)(A3,Al)(A4,Al)

A2(Al,A2)(A3,A：)(A4,A2)

A3(Al)A3)(A2,A3)(A4,A3)

A4(Al,A4)(A2,A4)(A3,A4)

•.•共有12种等可能的结果，其中恰好抽到4和4的结果有2种,

91

恰好抽到Ai和A2的概率为P=-^-=^.

12o

18.如图，A8为。。的直径，点。是。。上一点，CD与。。相切于点C,过点A作A0J_

DC,连接AC,BC.

(1)求证：AC是NZM3的角平分线；

(2)若A£>=2,AB=3,求AC的长.

解：(1)证明：连接0C,如图,

・・・c。与OO相切于点。，

：.ZOCD=90°,

ZACD+ZACO=90°,

U：AD_LDC,

：.ZAZ)C=90°,

AZACD+ZDAC=90°,

・•・ZACO=ZDAC,

9：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：.ZDAC=ZOAC,

：.AC是NDAB的角平分线;

(2)〈AB是。0的直径，

AZACB=90°,

：.ZD=ZACB=90°,

ZDAC=ABAC,

.•.RtAADC^RtAACB,

.AD=AC

"AC-AB)

：.AC2=AD-AB=2X3=6,

19.某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度.如图所示，在B

处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°,福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方

向前进20根到达E处，测得桅杆天线顶部。的仰角为53.4°.求中原福塔C。的总高

度.(结果精确到1m.参考数据：sin53.4°心0.803,cos53.4°-0.596,tan53.4°-1.346)

在Rt/VlCB中，ZABC=45°,

.,.BC=AC=_r,

：.CE^x+2Q,

在RtZVJCE中，tanNOEC=^,即^^^1.346,

CEx+20

解得，尤心269.0,

/.^=%+120=389.0^389,

答：中原福塔C。的总高度约为389%

20.如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),8(-1,0),请解答下列问题:

(1)求抛物线的表达式；

(2)抛物线的顶点为点。，对称轴与x轴交于点E,连接BD,求的长;

(3)当-2＜尤＜2时，y的取值范围是-5＜yW4.

抛物线解析式为＞=-N+2x+3；

(2)\"y--x2+2x+3=-(尤-1)2+4,

：.D(1,4),

；，BD=«(]+i)2+42=2旄；

(3)当x—-2时，y=-x2+2x+3=-4-4+3=-5；当x=2时，y=-x2+2x+3=-4+4+3

=3,

.•.当-2<x<2时，y的取值范围为-5<yW4.

故答案为-5<yW4.

21.某商品的成本为20元，市场调查发现：当售价为180元时，每周可售出50件，每涨价

10元每周少售出1件.现要求每周至少售出35件，且售价不低于180元.

(1)设售价为x元(尤为10的整数倍)，每周利润为y元，求y与尤之间的函数关系式，

并直接写出x的取值范围；

(2)当售价为多少时，(销售这种商品)每周的利润最大？最大利润是多少？

(3)若希望每周利润不得低于10400元，则售价x的范围为280WxW330,且x为10

的整数倍.

解：(1)由题意得：

y=(x-20)(50-X-^°)

10

=—^-x2+70x-1360,

10

:要求每周至少售出35件，

解得：xW330,

又：售价不低于180元,

，18OWxW33O.

•R与x之间的函数关系式为y=-吉尤2+7O『i360（180WxW330,且x为10的整数倍）；

（2）-义龙2+70尤-1360

10

=-上（%-350）2+10890,

10

•••二次项系数为负，当xW350时，y随尤的增大而增大，

又•.•180WxW330,

.,.当x=330时，y最大值=10850,

...当售价为330元时，（销售这种商品）每周的利润最大，最大利润是10850元；

（3）:每周利润不得低于10400元，

-今（%-350）2+10890^10400,

（尤-350）2W4900,

解得：280WxW420,

又•.T80WxW330,

.♦.280《尤W330.

故答案为：280WxW330,且x为10的整数倍.

22.己知的两边分别与。。相切于点A,B,O。的半径为r.

（1）如图1,点C在点A,2之间的优弧上，/MPN=80。，求NACB的度数；

（2）如图2,点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形AP2C为菱形，NAPB的度

数应为多少？请说明理由；

（3）若PC交。。于点。，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）.

解：（1）如图1,连接。4,OB,

图1

VPA,尸8为。0的切线，

：.ZPAO=ZPBO=90°,

VZAPB+ZPAO+ZPBO-^-ZAOB=360o,

ZAPB+ZAOB=180°,

VZAPB=S0°,

ZAOB=100°,

：.ZACB=50°；

(2)如图2,当NAP5=60°时，四边形AP3C是菱形,

连接。4,OB,

图2

由(1)可知，ZAOB+ZAPB=180°,

,.,乙4尸3=60°,

ZAOB=120°,

AZACB=60°=ZAPB,

・・,点C运动到PC距离最大，

：.PC经过圆心，

VPA,尸3为。0的切线，

：.PA=PB,ZAPC=ZBPC=30°,

XVPC=PC,

AAAPC^ABPC(SAS),

AZACP=ZBCP=30°,AC=BC,

：.ZAPC^ZACP=30°,

：.AP=AC,

：.AP=AC=PB=BCf

・・・四边形AP8C是菱形;

(3)的半径为r,

.\OA=r,0P=2r,

：.AP=-/jr,PD=r,

VZAOP=9Q°-ZAPO=6Q°,

・^i/+60°兀兀

.•AD的长度—=—r-

••・阴影部分的周长=尸4+尸。+俞=«r+厂+；-厂=(b+1+2)r.

oo

23.(1)问题发现

如图1,在Rt^ABC和RtZXCOE中，ZACB=ZD