高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件省公开课一等奖新名师获奖课件

2.2.3

向量数乘运算及其几何意义

1/672/671.向量数乘定义普通地，要求实数λ与向量a积是一个_____，这种运算叫做向量数乘，长度和方向有以下要求：(1)|λa|=________.(2)当λ>0时，λa与a方向_____；当λ<0时，λa与a方向_____.向量|λ||a|相同相反3/672.向量数乘运算律设λ，μ为实数，那么：(1)λ(μa)=________.(2)(λ+μ)a=________

.(3)λ(a+b)=________.(λμ)aλa+μaλa+λb4/673.向量共线定理以及向量线性运算(1)向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______.(2)向量加、减、数乘运算称为向量_________.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)=______________.b=λa线性运算λμ1a±λμ2b5/671.判一判(正确打“√”，错误打“×”)(1)实数λ与向量a积还是向量.

(

)(2)实数λ与向量a和λ+a与差λ-a都是向量.

(

)(3)对于非零向量a，向量-6a与向量2a方向相反.

(

)(4)向量-8a模是向量4a模2倍.

(

)

6/67【解析】(1)正确.依据向量数乘定义可知此说法正确.(2)错误.实数λ与向量a能够作乘法,但不能够作加减法,即λ+a和λ-a是无意义.(3)正确.因为向量-6a与非零向量a方向相反,向量2a与非零向量a方向相同,所以向量-6a与向量2a方向相反.(4)正确.因为|-8a|=8|a|,|4a|=4|a|,所以|-8a|=2×|4a|.答案：(1)√(2)×(3)√(4)√7/672.做一做(请把正确答案写在横线上)(1)化简2(3a+4b)-3(2a-b)=_________.(2)已知|a|=3，|b|=6，若两向量方向同向，则向量a与向量b关系为b=_________a.(3)设P是△ABC所在平面内一点，若则

=___________.8/67【解析】(1)2(3a+4b)-3(2a-b)=6a+8b-6a+3b=11b.答案：11b(2)因为|a|=3，|b|=6，则|b|=2|a|，又两向量同向，故b=2a.答案：2(3)因为由向量加法平行四边形法则可知，点P是AC中点，故答案：0

9/67【关键点探究】知识点1向量数乘运算以及运算律1.向量数乘定义关注点(1)条件：一个实数与一个向量相乘.(2)结论：结果为一个向量；其模等于这个实数绝对值与这个向量模乘积，其方向与实数正负相关.10/672．从两个角度了解向量数乘运算及其几何意义(1)代数角度.λ是实数，a是向量，它们积仍是向量；另外，λa=0条件是λ=0或a=0.11/67(2)几何角度.对于向量长度而言，①当|λ|＞1时，有|λa|＞|a|，这意味着表示向量a有向线段在原方向(λ＞1)或反方向(λ＜-1)上伸长到|a||λ|倍；②当0＜|λ|＜1时，有|λa|＜|a|，这意味着表示向量a有向线段在原方向(0＜λ＜1)或反方向(-1＜λ＜0)上缩短到|a||λ|倍.12/673.解读运算律λ(a+b)=λa+λb

几何意义(1)当a，b中有一个等于0，或λ=0或1时，等式显然成立．(2)当a，b都不等于0且λ≠1，λ≠0，当λ＞0且λ≠1时，如图，13/67由作法知所以所以且方向也相同，故有λ(a＋b)=λa＋λb成立．当λ＜0时，同理可证．综上，λ(a＋b)=λa＋λb成立．14/67【微思索】(1)实数与向量能否进行加减运算？提醒：不能.实数与向量能够进行数乘运算,但不能进行加减运算.(2)设x，y为实数，若xa－ya=0，能否得出x=y？提醒：不一定.因为xa－ya=0，会得到(x－y)a=0，所以x=y或a=0.15/67【即时练】1.已知λ∈R，则以下结论正确是()A.|λa|=λ|a|B.|λa|=|λ|aC.|λa|=|λ||a|D.|λa|>02.已知向量e长度为2，试求向量a,b长度，并指出向量a,b线性关系.(1)a=3e,b=4e.(2)a=2e,b=-e.16/67【解析】1.选C.对于A，当λ<0时，不一定成立；对于B，|λa|是实数，|λ|a是向量，故|λa|=|λ|a不成立；对于D，当λ=0时，|λa|=0；只有C正确.2.(1)因为a=3e所以|a|=|3e|=3|e|=6,由b=4e得|b|=4|e|=8.因为e=a,所以b=4e=a.(2)由a=2e得|a|=2|e|=4,由b=-e得|b|=|e|=1.因为e=

a，所以b=-e=-a.17/67知识点2向量共线定理对向量共线定理三点说明(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b=λa(a≠0)，则a与b共线；反之，若a与b共线(a≠0)，则必存在一个实数λ，使b=λa.(2)定理中，之所以限定a≠0是因为若a=b=0，即使λ依然存在，可是λ不唯一，定理正反两个方面不成立.(3)若a,b不共线，且λa=μb，则必有λ=μ=0.18/67【知识拓展】向量共线与线段共线区分以及作用(1)向量共线与线段共线区分：向量共线时，两向量所在线段可能平行，也可能共线；而两条线段共线时，这两条线段必定在同一条直线上.(2)向量共线定理作用：向量共线定理能够证实线段平行，也能够证实三点共线.19/67【微思索】(1)向量平行与直线平行相同吗？提醒：不相同.直线平行不包含重合情况.(2)依据共线向量定理,对于非零向量a,b,怎样确定实数λ，使得b=λa？提醒：分两点：①确定符号.a与b同向时,λ为正；a

与b反向时,λ为负.②确定λ绝对值.|λ|=20/67【即时练】1.已知P是△ABC所在平面内一点，若其中λ∈R，则点P一定在()A.△ABC内部B.AC边所在直线上C.AB边所在直线上D.BC边所在直线上21/672.已知e1，e2是不共线向量，以下向量a,b共线有______(填序号).①a=e1，b=－2e2；

②a=e1－3e2，b=－2e1＋6e2；

③a=3e1－e2，b=2e1－e2；④a=e1＋e2，b=e1－3e2.22/67【解析】1.选B.由得所以则为共线向量，又有一个公共点P，所以C,P,A三点共线，即点P在直线AC上.故选B.2.因为e1，e2是不共线向量，所以e1，e2都不是零向量.23/67①若a与b共线，因为a=e1≠0，所以存在实数λ，使b=λa，即－2e2=λe1,

所以e2=-e1，于是e1，e2共线，这与已知矛盾.所以a与b不共线.②因为b=－2e1＋6e2=－2(e1－3e2)=－2a,所以a与b共线.③因为b=2e1－e2=(3e1－e2)=a，所以a与b共线.24/67④若a与b共线，则存在实数λ∈R，使a=λb,即e1＋e2=λ(e1－3e2)所以(1－λ)e1＋(1+3λ)e2=0.因为e1，e2是不共线向量，所以所以λ不存在,所以a与b不共线.答案：②③25/67【题型示范】类型一向量线性运算【典例1】(1)(·枣庄高一检测)化简结果是()A.2a－bB.2b－aC.b－aD.a－b26/67(2)已知▱ABCD中，点E是对角线AC上靠近A一个三等分点，设

=a,=b，则向量等于()A.2a+bB.－a－bC.b－2aD.-b－2a(3)若2(y－a)－(c+b－3y)+b=0，其中a,c,b为已知向量，则未知向量y＝__________.27/67【解题探究】1.题(1)中化简题目普通按照怎样次序进行?2.题(2)中与和有怎样关系？怎样用向量a表示？3.题(3)中已知向量有哪些？求向量y实质是什么？28/67【探究提醒】1.简单化简问题，把握运算次序为：运算律去括号→数乘向量→向量加减.2.依据向量加法三角形法则可知=-3a.3.已知向量有a,c,b，求向量y实质就是用已知向量a,c,b来表示出向量y.29/67【自主解答】(1)选B.原式=(a+4b－4a+2b)=(6b－3a)=2b－a.(2)选D.==a－b－3a=－b－2a.30/67(3)由2(y－

a)－

(c+b－3y)+b=0得2y－

a－

c－

b+y+b=0，即y－

a－

c+b=0，所以y=a－b+c.答案：

a－b+c31/67【延伸探究】题(2)中若点E是对角线AC上靠近C一个三等分点，其它条件不变，则向量等于()A.2a+bB.-a-bC.b-2aD.-b-2a【解析】选B.=a－b－a=－a－b.32/67【方法技巧】向量线性运算基本方法(1)类比喻法：向量数乘运算可类似于代数多项式运算.比如实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形伎俩在数与向量乘积中一样适用，不过在这里“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量系数.(2)方程方法：向量也能够经过列方程来解，把所求向量看成未知数，利用代数方程方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当利用运算律，简化运算.33/67【变式训练】(·绍兴高一检测)在△ABC中，EF∥BC交AC于点F，设=a,=b，用a,b表示向量为__________.【解题指南】由EF∥BC以及可得

利用向量减法可得34/67【解析】因为EF∥BC且所以=b，故=b－a.答案：

b－a35/67【赔偿训练】如图所表示，D是△ABC边AB上中点，则向量＝_________.(填写正确序号)【解析】答案：①36/67类型二向量共线定理应用【典例2】(1)已知向量a,b，且=a+2b，=－5a+6b，=7a－2b，则一定共线三点是()A.B,C,DB.A,B,C

C.A,B,D

D.A,C,D(2)(·无锡高一检测)已知A,B,P三点共线，O为直线外任意一点，若则x+y=________.37/67【解题探究】1.题(1)中已知两向量与向量有怎样关系？判断三点共线关键是什么？2.题(2)中由A,B,P三点共线，可得到向量有怎样关系？【探究提醒】1.向量只要说明有同一起点两向量共线即可.2.因为A,B,P三点共线，所以向量在同一条直线上，根据共线向量定理知，存在实数λ使38/67【自主解答】(1)选C.因为=2a+4b=2，所以向量共线，故A,B,D三点共线.(2)因为A,B,P三点共线，所以向量在同一条线上，由共线向量定理可知，必定存在实数λ使即所以故x=1-λ，y=λ，即x+y=1.答案：139/67【方法技巧】向量共线定理两个应用(1)向量共线判定对于向量a(a≠0)与b,假如有一个实数λ，使b=λa，那么由向量数乘定义知，向量a与b是共线.40/67(2)向量共线性质向量a(a≠0)与b共线，若向量b长度是a长度λ倍，即∣b∣=λ∣a∣.那么，当a与b同向时，有b=λa;当a与b反向时，有b=-λa;当b=0时，则λ=0.总之，都能够表示成b=λa(其中λ唯一确定).41/67【变式训练】(·蚌埠高一检测)设a,b是两个不共线向量，已知=2a+mb，=a+3b，若A，B，C三点共线，求m值.【解题指南】因为A，B，C三点共线，则两向量共线，依据向量共线定理可得，一定存在一个实数λ使得利用向量相等求m值.42/67【解析】因为A，B，C三点共线，所以共线，即=

所以2a+mb=λ(a+3b)，故λ=2,m=3λ，解得m=6.43/67【赔偿训练】(·唐山高一检测)对于△ABC内部一点O，存在实数λ使得成立，则△OBC与△ABC面积比是()A.1∶2B.1∶3

C.2∶3

D.与λ相关44/67【解析】选A.如图所表示，设D,E分别是AB,AC中点，以OA,OB为邻边作▱OAGB，以OA,OC为邻边作▱OAFC，则因为所以所以点D,O,E三点共线，所以点O在直线DE上.又因为D,E分别是AB,AC中点,所以△OBC与△ABC面积比是1∶2.45/67类型三用已知向量表示其它向量【典例3】(1)如图，ABCD是一个梯形，M,N分别是DC，AB中点，已知=e1，=e2，试用e1，e2表示以下向量.①=_________.②=_________.46/67(2)如图所表示，已知▱ABCD边BC,CD中点分别为K,L，且=e1，=e2，试用e1，e2表示47/67【解题探究】1.题(1)中向量与有什么关系？表示时能够用向量加法哪种运算法则？2.题(2)中利用已知条件能够找到哪些关于所求向量和已知向量等量关系？48/67【探究提醒】1.表示时能够用向量加法“多边形法则”，即2.=49/67【解析】(1)因为所以所以=e2+e1，==-e1-e2+e1=e1-e2答案：①e2+e1②e1-e250/67(2)方法一：设由解方程得x=e2－

e1,即=e2－

e1.由=e1－

x，得=－

e1＋

e2.51/67方法二：设则由得52/67用-2乘以(2)与(1)相加，得

x－2x=e1－2e2,解方程得x=e2－

e1，即=e2－

e1,解得y=(－2e1＋e2)，即=－

e1＋

e2.53/67【延伸探究】题(1)中，若=e1，=e2，试用e1，e2表示向量.【解析】因为所以又因为M，N分别是DC，AB中点，所以所以所以=-e2-e1.54/67【方法技巧】用已知向量表示其它向量两种方法(1)直接法55/67(2)方程法当直接表示比较困难时，能够首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量等量关系，然后解关于所求向量方程.56/67【变式训练】如图，已知=a

，

=b，对任意点M，M点关于A点对称点为S，S点关于B点对称点为N，用a,b表示向量.【解题指南】依据M点关于A点对称点为S，S点关于B点对称点为N，易得a=b=两式相减后，易得向量与向量a,b关系.57/67【解析】因为M点关于A点对称点为S,所以A为MS中点.又因为S点关于B点对称点为N,所以B为SN中点，所以a=b=两式相减得a－