高一数学第三次月考卷01（全解全析）（人教A版）

20232024学年高二数学下学期第三次月考卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：（必修第二册第6——9章）人教A版20195．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】依题意，，所以在复平面内对应的点位于第四象限，故选D2．已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，，40，50；乙组：24，，33，44，48，52．若这两组数据的第30百分位数对应相等，第50百分位数也对应相等，则（

）A．60 B．65 C．70 D．75【答案】C【解析】由题意可得解得：故，故选C.3．某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】B【解析】根据分层抽样的方法，样本按比例分配，讲师应抽取的人数为，故选B．4．已知平面向量，且，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由向量，因为，可得，解得，故选B.5．已知某地区中小学共有学生20000人，各学段学生所占比例如图甲所示，近视情况如图乙所示，则该地区初中生近视的人数为（

）A．3150 B．3600 C．5250 D．6000【答案】C【解析】依题意，该地区初中生有人，而该地区初中生的近视率为70%，所以该地区初中生近视的人数为人.故选C.6．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为（

）A．4a B．8a C．6a D．【答案】B【解析】由直观图可得原图形，所以，，，所以，原图形的周长为，故选B.7．记的内角的对边分别为，设向量若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，由正弦定理得.因为中，所以.又，所以，即，故选C.8．《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即（表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，表示平面图形的面积，表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）．如图，等腰梯形，已知，则其重心到的距离为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】设，重心到的距离为，易知等腰梯形绕旋转一周所得的几何体的体积，梯形的面积，重心绕旋转轴旋转一周的周长，则，解得.故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设是复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AC【解析】不妨设，若，即，显然，故A正确；若，则，则，该值不一定为0，故B错误；若，则，而，故C正确，，故不一定成立，即D错误；故选：AC10．在中，内角，，的对边分别为，，，下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若为锐角三角形，则C．若，则一定是等腰直角三角形D．若，，则一定是等边三角形【答案】ABD【解析】A选项，根据大角对大边，，根据正弦定理可得，其中为三角形外接圆半径，于是，正确；B选项，若为锐角三角形，则，所以，则，正确；C选项，因为，即，整理可得，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，错误；D选项，由于，，由余弦定理可得，可得，解得，所以，故是等边三角形，正确.故选：ABD11．如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（

）A．线段B．该圆台的表面积为C．该圆台的体积为D．沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5【答案】ABD【解析】显然四边形是等腰梯形，，其高即为圆台的高对于A，在等腰梯形中，，A正确；对于B，圆台的表面积，B正确；对于C，圆台的体积，C错误；对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中扇环且为中点，而圆台对应的圆锥半侧面展开为且，又，在△中，，斜边上的高为，即与弧相离，所以C到AD中点的最短距离为5cm，D正确.

故选：ABD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．写出一个同时满足①②的复数.①；②.【答案】(或)【解析】因为，不妨设，由得，所以，解得，，所以或，13．设实数x，，满足1，3，4，x，y，的平均数与50%分位数相等，则数据x，y，的方差为．【答案】/【解析】根据题意，数据的平均数为，数据的分位数为，∴，即，代入数据，即为，此组数据的平均数为，∴数据的方差为.14．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是．【答案】【解析】如图，取的中点,连接.则,因为圆的直径，长度为4，故得,要求的取值范围，即要求的取值范围.根据正六边形的性质，结合图形可知，当点与正六边形的顶点重合时，当点为正六边形的边的中点时(如图点)，故.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（本小题满分13分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.【解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，所以.（2）成绩落在内的频率为，落在内的频率为，显然第75百分位数，由，解得，所以第75百分位数为84.（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，所以；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为.16．（本小题满分15分）已知的内角所对的边分别为，且满足.(1)求角B的大小；(2)若，，点D在边上，且，求的长.【解】（1）因为,由余弦定理得，整理可得,所以，又，所以.（2）因为所以由正弦定理可得,由,可得A为锐角，可得，由余弦定理得故整理可得解得或(舍去),又点D在边AC上,且所以所以在中，由余弦定理可得.17．（本小题满分15分）如图，在中，，点满足．(1)若点是线段上一点，且，求实数的值；(2)若，求的余弦值．【解】（1）设，，因为，所以，，又，所以，所以，所以实数的值为；（2）因为，所以，由题意设，所以，在中，①，在中，②，由①②可得，所以，所以，又，，所以，所以的余弦值为.18．（本小题满分17分）近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.(1)求四棱锥的总曲率；(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数.【解】（1）四棱锥有个顶点,个三角形面,个凸四边形面,故其总曲率为（2）设多面体有个面,给组成多面体的多边形编号,分别为号.设第号多边形有条边.则多面体共有条棱.由题意，多面体共有个顶点.号多边形的内角之和为,故所有多边形的内角之和为故多面体的总曲率为所以满足题目要求的多面体的总曲率为.19．（本小题满分17分）如图，在五面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，.(1)求证：平面；(2)求证：平面⊥平面；(3)在线段上是否存在点，使得平面?说明理由．【解】（