2021-2022学年数学北师大版必修一学案：第四章 2 实际问题的函数建模

§2实际问题的函数建模

学

习1.会利用已知函数模型解决实际问题.（数学建模）

目2.能建立函数模型解决实际问题.（数学建模）

标

》基础认知•自主学习④

.函数模型有哪些?

e田1

Tf"，匕、

2.如何建立函数模型?

1.常用的函数模型

名称解+析式条件

一次函数模型y=kx+bk#0

ki

反比例函数模型y=_+bk#0

JX

一般式：y=ax2+bx+c顶点式：y二

二次函数模型aWO

(b)24ac-b2

V+2aJ+4a

指数函数模型y=b-ax+cb#0,a>0,且a#l

对数函数模型y=mlogaX+nm#0,a>0,且a#l

幕函数模型y=axn+ba^O

2.数据拟合

通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系

中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们所熟悉的哪一种函

数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式,

求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确

定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合.

思考/

解决应用问题的关键是什么？

提示：将实际问题转化为数学问题.

'基础小测"

1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能

的函数模型为（）

X-2-10123

i1

141664

y164

A.一次函数模型B.二次函数模型

C.对数函数模型D.指数函数模型

选D.经过验证函数y=4x满足题意.

2.（教材例题改编）用一根长为12m的铁丝弯成一个矩形的铁框架,

则铁框架的最大面积是_____m?.

（12-2x）x

设铁框架的一边为Xm,则其面积S=——2——=-x12+6x=-

fx>0,—

（x-3）2+9.由1得0<x<6.所以，当x=3时，S取最大值

[12-2x>0,

9.

答案：9

3.西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行

促销.在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x

万元之间的函数解+析式为L=y-a+||（x>0）.则当年广告费投

入万元时，该公司的年利润最大.

由题意得L号呜+1|碧=21.5,当且仅当|=|,

即x=4时等号成立.

此时L取得最大值215故当年广告费投入4万元时，该公司的年利

润最大.

冬室­4

》能力形成•合作探究《

类型一用已知函数模型解决实际问题（数据分析、数学运算）

题组训练'

1.某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量X（套）之间的关系为y

=6x+30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生

产文具盒()

A.2000套B.3000套C.4000套D.5000套

选D.因利润z=12x-(6x+30000),所以z=6x-30000,由z>0,解

得x>5000,故至少日生产文具盒5000套.

2.如图所示，这是某电信局规定的打长途电+话所需要付的电+话费

y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图像.根据图像填空：

⑴通话2分钟，需要付电+话费元.

⑵通话5分钟，需要付电+话费元.

(3)如果63，则电+话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为

⑴由图像可知，当t<3时，电+话费都是3.6元，所以通话2分钟，

需要付电+话费3.6元.

(2)由图像可知，当t=5时，y=6,需付电+话费6元.

(3)易知当t>3时，图像过点(3,3.6),(5,6),利用待定系数法求得y

=1.2t(t>3).

答案：⑴3.6(2)6(3)y=1.2t(t>3)

3.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为

4x,l<x<10,x£N+,

y=<2x+10,10<x<100,x£N+,

、1.5x,x>100,x£N+,

其中，x代表拟录用人数,y代表面试人数.若面试人数为60,则该

公司拟录用人数为.

令y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意；若2x+10=60,则

x=25,满足题意；若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.故拟录

用人数为25.

答案：25

解题策略

解函数关系已知的应用题的步骤

(1)确定函数关系式y=f(x冲的参数，求出具体的函数解+析式y=

f(x).

⑵讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问

题.

⑶给出实际问题的解，即根据在函数关系讨论中所获得的理论参数

值给出答案.

提醒：解实际问题时应特别注意自变量的取值范围受实际意义的限

制.

【补偿训练】

甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，

提供了两方面的信息，如图.

甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年

2万只.

乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个.

请你根据提供的信息说明：

⑴第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数.

(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小

了？说明理由.

(3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？

⑴由图可知，y甲=kx+b的图像经过(1,1)和(6,2),可求得k=0.2,

b=0.8.

所以y甲=o.2(x+4).

同理可得y乙=-x+与.

故第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26X1.2=

31.2(万只).

⑵规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产

甲鱼总数为20万只.

(3)设第x年养殖规模最大，即求y甲・y乙=0.2(x+4)-4-f-x+冬=-

0.8x2+3.6x+27.2的最大值.

函数图像的对称轴为x=-「61,

2x(-0.8)=24

因为xGN+,所以当x=2时，y甲-y乙=31.2,

即第二年规模最大，为31.2万只.

类型二拟合函数问题(数学建模)

角度1二次函数模型

【典例】A,B两城相距100km,在两城之间距A城xkm处的D地

建一核电站给A,B两城供电，为保证城市安全，核电站与城市距离

不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正

比，比例系数入=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城为10亿度/

月.

⑴把A,B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定

义域.

⑵核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小？

【思路导引】根据题意列出函数解+析式，利用数形结合或函数单调

性求函数最值.

⑴由题意设A城的月供电费用为yi,yi=Xx20x2,设B城的月供电

费用为y2,则y2=九xiox(ioo-x)2,所以A,B两城月供电总费用y

“x20x2+'x10x(100-x>.因为入=0.25,

所以y=5x2+1(100-x)2(10<x<90).

(2)由y=5x2+1(100-x)2=券x2-500x+25000

_15100、250000100

则当二时，最小.

=了+-3x3kmy

故当核电站建在距A城与km时，才能使供电总费用最小.

角度2拟合函数问题

【典例】已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在

AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q(单位：万元)与

速度v(单位：百公里/小时)(0SvS3)的部分数据如表所示：

32v

种函数模型供选择：Q=av+bv+cv,Q=0.5+a,Q=klogav+b.

⑴试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解+析式；

⑵该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并

求出最少航行费用.

【思路导引】⑴对题中所给的三个函数解+析式进行分析，对应其性

质，结合题中所给的条件，作出正确选择，之后利用待定系数法求得

解+析式，得出结果；

(2)根据题意，列出函数解+析式，之后应用配方法求得最值，得到结

果.

⑴若选择函数模型Q=0.5v+a,则该函数在［0,3］上单调递减，

这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型.

若选择函数模型Q=klogaV+b,须v>0,这与试验数据在V=0时有

意义矛盾，

所以不选择该函数模型.

从而只能选择函数模型Q=av3+bv2+cv,

a+b+c=0.7,

由试验数据得，8a+4b+2c=1.6,

、27a+9b+3c=3.3,

a+b+c=0.7,a=0.1,

即＜4a+2b+c=0.8,解得＜b=-0.2,故所求函数解+析式为Q=

、9a+3b+c=1.1,、c=0.8,

O.lv3-0.2v2+0.8v(0<v<3).

⑵设超级快艇在AB段的航行费用为y(万元),

3

则所需时间为1(小时),其中0<vS3,

结合⑴知，y=[(O.lv3-0.2v2+0.8v)

=O.s[(v-l)2+7],所以当V=1时，ymin=2.1.

答：当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最

少,且最少航彳了费用为2.1万兀.

解题策略

解决拟合函数模型问题的步骤

⑴根据原始数据、表格，绘制两个变量间的散点图.

⑵通过散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.

⑶根据所学函数知识，结合已知数据，求出拟合直线或拟合曲线的

函数关系.

（4）利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和检验，为决策和

管理提供依据.

跟踪训练、

1.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，

该地区的电网销售电价表如下：

高峰时间段用电价格表

高峰月用电量

局峰电价（单位：兀/十瓦时）

（单位：十瓦时）

50及以下的部分0.568

超过50至200的部分0.598

超过200的部分0.668

低谷时间段用电价格表

低谷月用电量（单位：干瓦时）低谷电价（单位：兀/十瓦时）

50及以下的部分0.288

超过50至200的部分0.318

超过200的部分0.388

若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电

量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为

________元.（用数字作答）

高峰时间段200千瓦时的电费为50x0.568+150x0.598=118.1（元）,

低谷时间段100千瓦时的电费为50X0.288+50X0.318=30.3（元）,所

以这个家庭该月应付电费为118.1+30.3=148.4（元）.

答案：148.4

2.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为

25元因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出,

为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施.

方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用

原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元；

方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水

需付14元的排污费.问：

⑴工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节

约资金的前提下应选择哪种方案？

通过计算加以说明.

⑵若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？

设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为yi,依方案二的利润

为y2,由题意知yi=（50-25）x-2x0.5x-30000=24x-30000,

y2=（50-25）x-14x0.5x=18x.

⑴当x=3000时，yi=42000,y2=54000,

因为yi<y2,所以应选择方案二处理污水.

（2）当x=6000时，yi=114000,y2=108000,

因为yi>y2,所以应选择方案一处理污水.

3.改革开放四十周年纪念币从2018年12月5日起可以开始预约.通

过市场调查彳导到该纪念币1枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单

位：天)的数据如下：

上市时间X天81032

市场价y元826082

2

(1)根据上表数据,从①y=ax+b；②y=ax+bx+c；③丫=alogbx中

选取一个恰当的函数刻画改革开放四十周年纪念币的市场价y与上

市时间x的变化关系并说明理由.

⑵利用你选取的函数，求改革开放四十周年纪念币市场价最低时的

上市天数及最低的价格.

【解题指南】⑴根据函数单调性选择模型；⑵求出函数解+析式，利

用二次函数的性质得出最小值.

⑴由表格可知随着上市时间的增加，市场价y先减少，后增大，而

函数y=ax+b和y=alogbx均为单调函数，显然不符合题意；故选择

函数模型y=ax2+bx+c.

(2)把(8,82),(10,60),(32,82)代入y=ax2+bx+c得

rr1

64a+8b+c=82,a=],

<100a+10b+c=60,解得：<b=-20,所以Y=2x2-20x+

J024a+32b+c=82,c=2]0

210=1(x-20)2+10,所以上市天数为20时市场价最低，最低价格

为10元.

为学情诊断•课堂测评《

1.一辆汽车在某段路上的行驶路程S关于时间t变化的图像如图,

那么图像所对应的函数模型为（）

A.分段函数B.二次函数

C.指数函数D,对数函数

选A.由图像知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模

型为分段函数.

2.某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的

2

销售利润（单位：万元）为yi=4.1x-O.lx,在B地的销售利润（单位：

万元）为y2=2x,其中x为销售量（单位：辆）,若该公司在两地共销售

16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是（