湖南省衡阳市耒阳陶洲中学高三数学理知识点试题含解析

湖南省衡阳市耒阳陶洲中学高三数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题“”的否定是

()A． B．C． D．参考答案：C2.某校高三年级有男生220人，学籍编号为1，2，…，220；女生380人，学籍编号为221，222，…，600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10)，再从这10名学生中随机抽取3人进行座谈，则这3人中既有男生又有女生的概率是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】解：由题意，得到抽到的10人中，有男生4人，女生6人，再从这10位学生中随机抽取3人座谈，可求出基本事件总数，然后求出3人中既有男生又有女生包含的基本事件个数，进而可求出3人中既有男生又有女生的概率．【详解】解：由题意，得到抽到的10人中，有男生4人，女生6人，

再从这10位学生中随机抽取3人座谈，

基本事件总数，

3人中既有男生又有女生包含的基本事件个数，

3人中既有男生又有女生的概率．

故选：D．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．3.已知，则下列说法中错误的是（）A.函数的最小正周期为πB.函数在上单调递减C.函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到D.是函数图象的一个对称中心参考答案：C【分析】可化为，利用复合函数的讨论方法可求该函数的周期、对称中心、单调区间等，利用图像变换可考虑它与函数的图像变换关系.【详解】，所以，故A正确；当时，，因在为增函数，在上为减函数，故在上为减函数，故B正确；函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍得到，而函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍得到得是的图象，故C错误；令，当时，，故为图像的一个对称中心，故D正确；综上，选C.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．4.执行如图所示的程序框图，则输出（

）A．6

B．6.25

C.6.5

D．6.8参考答案：A5.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为(

)

（A）．y=cos2x，xR

（B）．y=log2|x|，xR且x≠0

（C）．y=，xR

（D）．，xR参考答案：B6.已知tanθ=，则tan（﹣θ）=（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣参考答案：C【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用两角和的正切公式，求得tan（﹣θ）的值．【解答】解：∵tanθ=，则tan（﹣θ）===，故选：C．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．7.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=10，设椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1+e2的取值范围是(

) A．（，+∞） B．（，+∞） C．（，+∞） D．（，+∞）参考答案：B考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．解答： 解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10，可得c＞，即有＜c＜5．由离心率公式可得e1+e2=+=+==，∵f（x）=在（，5）上是减函数，∴0=＜＜=，∴=＜＜+∞，故选：B．点评：本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．8.要得到函数的图象,可以将函数的图象（

）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位参考答案：B略9.已知等差数列{}的前项和为，且，，则为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A略10.已知||=1，||=2，，点C在∠AOB内，且∠AOC=45°，设=m+n（m，n∈R）则等于(

)A．1 B．2 C． D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和数量积运算及其夹角公式即可得出．【解答】解：如图所示，则A（1，0），B（0，2）．设C（x，y）．∵=m+n（m，n∈R），∴（x，y）=m（1，0）+n（0，2）=（m，2n）．∴x=m，y=2n．∵∠AOC=45°，∴==，解得．故选B．【点评】熟练掌握向量的坐标运算和数量积运算及其夹角公式是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f（x）=，函数g（x）=x++a（x＞0），若存在唯一的x0，使得h（x）=min{f（x），g（x）}的值为h（x0），则实数a的取值范围为．参考答案：（﹣∞，﹣2）【考点】分段函数的应用．【分析】作出函数f（x）的图象，可得最小值为0，最大值为2，由基本不等式可得g（x）的最小值为2+a，由题意可得2+a＜0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：作出函数f（x）=的图象，可得f（x）的最小值为0，最大值为2；g（x）=x++a（x＞0）≥2+a=2+a，当且仅当x=1取得最小值2+a．由存在唯一的x0，使得h（x）=min{f（x），g（x）}的值为h（x0），可得2+a＜0，解得a＜﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2）．【点评】本题考查分段函数的图象及应用，考查基本不等式的运用：求最值，注意数形结合思想方法的运用，属于中档题．12.双曲线的两条渐近线为x±2y=0，则它的离心率为

．参考答案：或【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的渐近线为y=±x，则当焦点在x轴上时，即=，e====，当焦点在y轴上时，即=，则=2，e====，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知：设双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c，则c2=a2+b2，e=，∵双曲线的渐近线为y=±x，∴当焦点在x轴上时，即=，由e====，当焦点在y轴上时，即=，则=2，e====，故答案为：或．【点评】本题考查了双曲线的几何性质，双曲线的渐近线方程的意义以及双曲线离心率的求法，考查分类讨论思想，属于中档题13.某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为

．参考答案：20略14.若，.则.参考答案：略15.若点在函数的图象上，则的值为

．参考答案：略16.如图,要测量河对岸两点间的距离，在河边一侧选定两点，测出的距离为，,,,.则两点之间的距离为

.参考答案：17.如图：梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，BD=BC=4，则梯形ABCD的面积等于____________。参考答案：___4+12____略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）设函数（其中无理数．(I)若函数在上不是单调函数，求实数a的取值范围；(II)证明：设函数的图象在处的切线为，证明：的图象上不存在位于直线上方的点。参考答案：（Ⅰ）．……１分要使在上不单调，在内必有零点且在零点左右异号，即在内有零点且在零点左右异号．

……………3分因为，所以方程有两个不等的实数根，由于，不妨设，所以，由图像可知：，即，解得．………………６分（Ⅱ）因为，又切点，所以切线的方程为，即（为常数）.

……８分令，……………10分因为，，，的关系如下表：+0↗极大值↘………12分因为，所以函数图象上不存在位于直线上方的点．

………………………14分19.（2014秋?临川区校级期中）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞3x+2的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）将f（x）＞3x+2化简，解绝对值不等式；（2）解不等式f（x）≤0用a表示，同一个不等式的解集相等，得到a．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+3x，＞3x+2，可化为|x﹣1|＞2．由此可得

x＞3或x＜﹣1．故不等式f（x）＞3x+2的解集为{x|x＞3或x＜﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得：|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组：或．即a≤x≤，或x≤﹣，因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤﹣}，由题设可得﹣=﹣1，故a=2【点评】本题考查了绝对值不等式的解法以及参数的求解．20.（本小题共14分）已知椭圆的短轴长为，离心率为，直线与椭圆交于两点，且线段的垂直平分线通过点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求△（为坐标原点）面积的最大值．参考答案：【知识点】椭圆【试题解析】解：（Ⅰ）由已知可得解得，

故椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）设，，

联立方程

消去得．

当，

即时，

，．

所以，．

当时，线段的垂直平分线显然过点

因为,所以

，当时，取到等号．

当时，因为线段的垂直平分线过点，

所以，

化简整理得．

由得．

又原点到直线的距离为．

所以

而且，

则．

所以当，即时，取得最大值．

综上，最大值为．21.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，，，，点H在线段EG上.（Ⅰ）证明：EF⊥CH；（Ⅱ）求平面BCC1B1与平面CEF所成锐二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）不妨设，则，，，.在和中，，，∴，∴，∴，∴，即；∵，，∴，∵为直三棱柱，∴平面，∴；∴平面，∵点在线段上，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，，∴，，，.设平面的法向量，则，即，取，则，，则平面的一个法向量；设平面的法向量，则，即，取，则，，则平面的一个法向量；∴，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

22.（2017?郴州三模）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理推导出BC∥面EFA，从而得到BC∥l，再由已知条件推导出BC⊥面PAC，由此证明l⊥面PAC．（2）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．【解答】（Ⅰ）证明：∵E，F分别是PB，PC的中点，∴BC∥EF，又EF?平面EFA，BC不包含于平面EFA，∴BC∥面EFA，又BC?面ABC，面EFA∩面ABC=l，∴BC∥l，又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC，面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC，∴l