安徽省六安市寿县炎刘中学高三数学理下学期期末试卷含解析

安徽省六安市寿县炎刘中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为的导函数，则的图像是（

）参考答案：A2.直线与圆相交于两点，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A3.定义在R上的偶函数，且在上单调递增，设，则a,b,c的大小关系是

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.设为等比数列的前项和，已知，，则公比 （

） A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：B略5.已知以为周期的函数，其中.若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（

）

A．

B．

C．

D.参考答案：B略6.已知直线ax+y﹣1=0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A． B．﹣1 C．1或﹣1 D．1参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r?sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a的值．【解答】解：由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r?sin45°=，再利用点到直线的距离公式可得=，∴a=±1，故选：C．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，直角三角形中的边角关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．7.设α、β为两个不同的平面，直线l?α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案：A【考点】直线与平面垂直的性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】计算题． 【分析】面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．根据题意由判断定理得l⊥β?α⊥β．若α⊥β，直线l?α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．由α⊥β，直线l?α得不到l⊥β，所以所以“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件． 【解答】解：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 因为直线l?α，且l⊥β 所以由判断定理得α⊥β． 所以直线l?α，且l⊥β?α⊥β 若α⊥β，直线l?α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内． 所以“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件． 故答案为充分不必要． 【点评】解决此类问题的关键是判断充要条件可以先判断命题的真假，最好用?来表示，再转换为是什么样的命题，最后转化是什么样的条件． 8.若函数f（x）=sin2x﹣（x∈R），则f（x）是（）A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为π的偶函数参考答案：D考点： 二倍角的余弦．专题： 计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析： 先利用倍角公式化简f（x），然后利用周期公式可求得周期，利用定义可判断奇偶性．解答： 解：f（x）=sin2x﹣=﹣=﹣cos2x，最小正周期T=，又f（﹣x）=﹣cos（﹣2x）=﹣cos2x=f（x），∴f（x）为偶函数，故选D．点评： 该题考查三角函数的周期性、奇偶性，属基础题，定义是解决相关问题的关键，三角恒等变换是解题基础．9.设向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝0，则a与b的夹角是A．30°

B．60°

C．90°

D．120°参考答案：D10.某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据（单位：百万元），根据下表求出y关于x的线性回归方程为，则表中a的值为（

）x24568y304057a69A.50 B.54 C.56.5 D.64参考答案：B【详解】根据规律知道回归直线一定过样本中心，故得到，得到的值为54.故答案为B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物.甲说：“礼物不在我这”；乙说：“礼物在我这”；丙说：“礼物不在乙处”.如果三人中只有一人说的是真的，请问

(填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物.参考答案：甲12.已知实数a，b满足等式，给出下列五个关系式中：①②③④⑤则所有可能成立的关系式的序号为___.___.参考答案：①②⑤在同一坐标系下做出函数的图象如图，由图象可知，①，②，⑤正确.13.已知，,,则

.参考答案：因为，所以，即，又。14.已知变量满足约束条件，则的最小值是

．参考答案：

15.已知实数满足条件则的最大值为．参考答案：答案：

16.已知函数f（x）=，则=．参考答案：π+6【考点】定积分．【专题】计算题；对应思想；导数的概念及应用．【分析】将被积函数利用可加性分段表示，再分别求出各段上的定积分．【解答】解：f（x）=，则==+（+2x）|=π+6；故答案为：π+6．【点评】本题考查了分段函数的定积分；利用定积分的可加性和定积分的运算公式解答；属于基础题．17.(12)在平行四边形ABCD中,AD=1,,E为CD的中点.若,则AB的长为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，.（Ⅰ）当时，求f(x)的最小值；（Ⅱ）若f(x)有两个零点，求参数a的取值范围参考答案：（Ⅰ）0；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）求函数的定义域，再求导，判别导函数的正负可得原函数的单调性，可求得最小值；（Ⅱ）对a进行分类讨论，分别利用其导函数的应用，判别其单调性，求其最值，可得参数a的范围.【详解】（Ⅰ）,定义域当时,,由于在恒成立故在单调递减,在单调递增.故（Ⅱ）当时,在单调递减,在单调递增,只有一个零点当时,,故在恒成立,故单调递减,在单调递增,故当时,没有零点.当时,令,得,在单调递减,在单调递增.,在有两个零点，在单调递减,在单调递增,在单调递减,在单调递增，,又此时有两个零点，综上有两个零点,则【点睛】本题考查了导函数的应用，掌握好分类讨论思想和导函数的应用是解题的关键，属于难题.19.（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥M﹣EFG的体积．参考答案：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD平面ABCD，CD⊥AD∴CD⊥平面PAD…（3分）又∵△PCD中，E、F分别是PD、PC的中点，∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD∵EF平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD；…（6分）（2）∵EF∥CD，EF平面EFG，CD平面EFG，∴CD∥平面EFG，因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，∴VM﹣EFG=VD﹣EFG，取AD的中点H连接GH、EH，则EF∥GH，∵EF⊥平面PAD，EH平面PAD，∴EF⊥EH于是S△EFH=EF×EH=2=S△EFG，∵平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD=EH，△EHD是正三角形∴点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高，即为，…（10分）因此，三棱锥M﹣EFG的体积VM﹣EFG=VD﹣EFG=×S△EFG×=．…（12分）20.已知函数.(1)讨论的单调性；(2)令，当，时，证明：.参考答案：（1）详见解析（2）详见解析【分析】（1）先求得函数的定义域，然后对函数求导，对分成两种情况，讨论函数的单调区间.（2）用分析法，将所要证明的不等式转化为①，利用构造函数的方法结合导数，证得，以及，由此证得①成立，进而证得题目所给不等式成立.【详解】(1)的定义域，当时，，则在上单调递减；

当时，令,可得；令可得；则在上单调递增，在上单调递减。

(2)当时，要证明成立，即证：令,令所以，在单调递增；在递减.又由已知,可知在上为减函数故，即

令,当单调递减；当单调递增。故,即.故原不等式成立.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析法与不等式的性质，综合性很强，属于难题.21.已知集合A={x|2x2﹣5x﹣3≤0}，函数f（x）=的定义域为集合B，且A∩B=?，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】1E：交集及其运算．【分析】先求出集合A={x|﹣}，B={x|[x﹣（2a+1）][x﹣（a﹣1）]＜0}，且B≠?，由B≠?，得a≠﹣2；由2a+1＜a﹣1，得a＜﹣2；由a﹣1＜2a+1，得﹣2＜a或a≥4．由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意可知集合A={x|2x2﹣5x﹣3≤0}={x|﹣}，∵函数f（x）=的定义域为集合B，∴B={x|[x﹣（2a+1）][x﹣（a﹣1）]＜0}，且B≠?，∵B≠?，∴2a+1≠a﹣1，∴a≠﹣2．①若2a+1＜a﹣1，即a＜﹣2时，a﹣1或2a+1≥3，解得a或a≥1，∴a＜﹣2．②若a﹣1＜2a+1，即a＞﹣2时，2a+1或a﹣1≥3，解得a或a≥4，∴﹣2＜a或a≥4．综上，实数a的取值范围是{a|a或a≥4且a≠﹣2}．22.如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．参考答案：【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（Ⅱ）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2017年对应的t值为10，代入可预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（Ⅰ）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，∵yi=9.32，tiyi=40.17，