浙江省杭州市市青春中学高三数学文月考试题含解析

浙江省杭州市市青春中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A．4

B．

C．

D．参考答案：B2.执行如图所示的程序框图，则输出的b值等于A.

B.

C.

D.参考答案：C略3.若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=± D．y=±x参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式可得a，b的关系，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．【解答】解：椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则=，即有=，则双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，即有y=±x．故选：C．4.已知函数

,若数列满足，且是递减数列，则实数的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.不等式的解集为，则函数的图象大致为（

）

A

B C

D

参考答案：

答案：C6.的展开式的系数是

（

）

A.

B.

C.0

D.3参考答案：A7.已知函数f（x）的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计的值约为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】根据几何概型的概率计算公式得出阴影部分的面积，再根据定积分的几何意义得出答案．【解答】解：矩形部分的面积为S矩形=2×3=6，由题意可知：==，∴S阴影==．∴=S阴影=．故选B．8.定义区间（a，b），，的长度均为d=b﹣a．用表示不超过x的最大整数，记{x}=x﹣，其中x∈R．设f（x）={x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度，则当0≤x≤3时，有(

)A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4参考答案：A【考点】进行简单的合情推理．【专题】新定义．【分析】先化简f（x）=?{x}=?（x﹣）=x﹣2，再化简f（x）＜（x），再分类讨论：①当x∈时，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集的长度．【解答】解：f（x）=?{x}=?（x﹣）=x﹣2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）?x﹣2＜x﹣1即（﹣1）x＜2﹣1当x∈=0，上式可化为x＞1，∴x∈?；当x∈=1，上式可化为0＞0，∴x∈?；当x∈时，﹣1＞0，上式可化为x＜+1，∴x∈；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为，故d=1．故选：A．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，属于中档题9.已知过椭圆的焦点的两条互相垂直的直线的交点在椭圆内部，则此椭圆的离心率的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B10.已知函数f（x）=且f（a2）=，若当0＜x1＜x2＜1时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的取值范围为（） A．(，] B．(，1]C．[，)D．[，1)参考答案：B【考点】分段函数的应用． 【分析】先根据函数的解析式和f（a2）=，求出a的值，再画出f（x）的图象，结合图象和f（x1）=f（x2），求出x1的范围和f（x2）的范围，问题得以解决． 【解答】解：∵0＜a＜1， ∴a2＜a ∵f（a2）=， ∴12aa2+1= 解得a=， ∴f（x）=， 画出函数f（x）的图象，如图所示， ∵0＜x1＜x2＜1时，f（x1）=f（x2）， ∴当x=1时，f（1）=log1+2=2， ∴6x+1=2，解得x=， 当x=时，f（）=log+2=3， ∴6x+1=3，解得x=， ∴＜x1＜≤，2＜f（x2）≤3， ∴＜x1f（x2）≤1， 故选：B 【点评】本题考查了分段函数和函数图象应用以及不等式的性质，关键是求出a的值，画出函数的图象，属于中档题 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的倍，则该圆锥的体积为__________．参考答案：设圆锥的母线长为，∵，∴，∴，∴圆锥的高，∴圆锥的体积.12.已知正实数a，b满足a+3b=7，则+的最小值为

．参考答案：．【分析】构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：正实数a，b，即a＞0，b＞0；∵a+3b=7，∴a+1+3（b+2）=14则，那么：（+）（）=≥=当且仅当2（a+1）=（b+2）时，即取等号．∴+的最小值为：，故答案为：．13.．已知x,y∈Z,n∈N*，设f（n）是不等式组表示的平面区域内可行解的个数，则f（1）=_______；f（2）=_______；f（n）=_______．参考答案：1

3

画出可行域：当n=1时，可行域内的整点为（1,0）,∴f（1）=1,当n=2时，可行域内的整点为（1,0）、（2,0）、（1,1），∴f（2）=3,由此可归纳出f（n）=1+2+3+…+n=14.设函数f（x）对任意实数x满足f（x）=﹣f（x+2），且当0≤x≤2时，f（x）=x（x﹣2），则f（﹣2017）=．参考答案：1【考点】函数的周期性．【分析】据函数f（x）对任意实数x满足f（x）=﹣f（x+2），得出函数的周期性，再进行转化求解即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=﹣f（x+2），∴f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期函数，周期为4．∴f（﹣2017）=f（﹣504×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=1，故答案为1．15.已知为实数，为虚数单位，若为实数，则________．参考答案：-2

16.设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______________。参考答案：17.曲线与坐标轴所围成的图形的面积是_________________.参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈－2,2时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．参考答案：(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.∵f(x)≥0恒成立，∴∴∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，∴F(x)＝(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.∵g(x)在－2,2上是单调函数，∴≤－2，或≥2，解得k≤－2，或k≥6.所以k的取值范围为k≤－2，或k≥6.19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosB+b=2a，b=6，a=4．（1）求角C的大小；（2）若点D在AB边上，AD=CD，求CD的长．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式，求得sinB=2sinBcosC，求得cosC=，根据C的取值范围，即可求得角C的大小；（2）由余弦定理求得c=2，设CD=x，在△ABC和△ACD中，分别应用余弦定理求得cosA=，cosA=，联立即可求得CD的长．【解答】解：（1）由正弦定理可知：===2R，（R为外接圆半径），a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由2ccosB+b=2a，2sinCcosB+sinB=2sinA=2sin（B+C）=2sinBcosC+2cosBsinC，∴sinB=2sinBcosC，由B∈（0，π），则sinB≠0，则cosC=，由C∈（0，π），则C=，∴角C为；（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=28，则c=2，设CD=x，则在△ABC中，cosA===，在△ACD中，cosA==，∴=，解得：x=，∴CD的长．20.（本题满分12分）已知函数.（Ⅰ）若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；（Ⅱ）若，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方.参考答案：（Ⅰ）解由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

1分当a＝－1时，f′(x)＝x－

2分令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，

3分当x∈(0,1)时，f′(x)<0，

因此函数f(x)在(0,1)上是单调递减的，

4分当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上是单调递增的，

5分则x＝1是f(x)极小值点，所以f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)=

6分（Ⅱ）证明

设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，则F′(x)＝x＋－2x2＝，

8分当x>1时，F′(x)<0，

9分故f(x)在区间[1，＋∞)上是单调递减的，

10分又F(1)＝－<0，

11分∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立．即f(x)—g(x)<0恒成立即f(x)<g(x)恒成立.因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)图像的下方．12分21.已知圆E：经过椭圆C：的左右焦点F1、F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且三点共线，直线交椭圆C于M、N两点，且（）.（1）求椭圆C的方程；（2）当三角形的面积取得最大值时，求直线l的方程.参考答案：（1）；（2）．试题分析：（1）求椭圆标准方程，由圆与轴的交点，可求得，利用三点共线，由是圆的直径，从而，利用勾股定理可求得，从而由椭圆的定义可求得，于是得，椭圆方程即得；（2）是确定的，，说明，于是直线斜率已知，设出其方程为，代入椭圆方程，消去得的二次方程，从而有（分别是的横坐标），由直线与圆锥曲线相交的弦长公式可求得弦长，再由点到直线距离公式求出到直线的距离，可计算出的面积，最后利用基本不等式可求得面积的最大值，及此时的值，得直线方程．解析：（1）如图，圆经过椭圆的左、右焦点，，所以，解得,因为，，三点共线，所以为圆的直径，所以,因为，所以.所以,由，得．所以椭圆的方程为.（2）由（1）得，点的坐标为，因为,所以直线的斜率为，设直线的方程为,联立，得,设，由，得．因为

所以,又点到直线的距离为，.当且仅当，即时，等号成立,所以直线的方程为或.点睛：本题考查椭圆中的三角形面积的最值问题，解题时，一般设出直线方程，如直线方程为，设出交点坐标，由直线方程与椭圆方程联立，消元后可得，再由圆锥曲线中的弦长公式表示出弦长，再求点到直线的距离，这样可把三角形的面积用参数表示出来，最后可利用基本不等式求最值，并求出取最大值时参数的值，得直线方程.“设而不求”思想是解决