2020年新高考数题型详解：专题3. 2 立体几何中的向量方法（第二课时）

专题3.2立体几何中的向量方法（第二课时）

思维导图

己知”为平面。的一条斜线段J在平面”内），〃为平面〃的法向是.

空则B到平面”的距离为d-^\AB\co5<u5,；>HI赤！学,“卜\ABn\

间I皿”1向

点面距

角空间中宜他距离「诵一般都可以转化为点面距I调

平面的法向量；

二.②或新线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离

①确定空间两条直线的方向向量；

②求两个向量夹角的余弦值；

为戌角

③t匕较余弦值与。的大小，确定向量夹角的危围；

步骤

a确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时即为两直线的夹角，

刍向量夹角为钝角时两直线的夹角为向量夹角的I卜角

◎逸定直线的方向向量和平面的法向量；

②求两个向量夹角的余支值；

线面角

③确定向量夹角的怠围；

步骤电确定线面角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时线面角与这个夹角互余；

刍向量夹角左例角时，线面角等于这个夹角减去9b

运确定两平面的法向量；

②求两法向量夹角的余花值；

二面角

@确定向量夹角的范围；

步獴④确定二面角与向量夹角的关系:二面角的怠围要通过现事图形来确定，

法向量一般不能体现出来

题型讲解

题型一线线角

【例11（2019嘿龙江哈尔滨市第六中学校高二期中（文））如图，在正方体A6C0—A4G2中，E,F,G,H

分别是BC,C£，G0,4A的中点.求证：

（2）求异面直线8尸与所成角的余弦值.

【答案】（1）见解析：（2）|

【解析】⑴取5。的中点。，连接E。，2。,

乂QG//OC,DtG=^DC,

.■.OE//D.G,OE=D、G

四边形OEGDI是平行四边形,

EG//DQ,又DQu平面BBQQ,EG<Z平面BaRD,

：.EG平面8BQQ；

(2)设正方体的校长为2,异面直线BE与所成角为氏

则BF=HB]=6，

.­.BFHBl=(BC+CF)(HAt+AtBl)=BCHA1+BCA,Bl+CFHAi+CFAlBl

=0+0+14-0=1,

\BF-HB\ii

••COS0=1;~jr=-7=产,

|明.明|V5xV55

所以异面直线BF与利所成角的余弦值为

5

【举一反三】

1.(2019•上海市南洋模范中学高三)如图,长方体A6CO—AgG2中，AB=BC=2,AAt=3.

(1)求四棱锥A-ABCD的体积;

(2)求异面直线4C与。A所成角的正切值.

【答案】(1)4；(2)豆1

3

【解析】(1)♦.,长方体力反力-46("中，45=80=2,44=3,

；•四棱锥Al-ABCD的体积:

J.ABC。=;S、mxA4,=gx43xA£)x=gx2x2x3=4.

(2)・・・〃〃〃CG,・・・N4①是异面直线4c与〃〃所成角(或所成角的补角)，

A。]J?2+222V2

・・・tanN4s=Q"二工,

CC[33

题型二线面角

【例2】（2018•上海市七宝中学高三月考）如图，已知正四棱锥P-ABCD的高为2,底面边长为0,M是

棱PC的中点

（1）求直线AM与平面Q43所成角的大小；

（2）求点M到平面Q45的距离.

【答案】（1）arcsin4-1?.；（2）之

393

【解析】（1）以ABCO的中心为原点建立如图所示的空间直角坐标系:

B

X

则0P=2,AB=BC=CD=DA=叵

所以A-一，一一,0P（0Q,2）,Mrvi

I22J猾一制,4'4

即AB（V2,0,0）AP[—,—,AAM30

[227

设平面P4S的•个法向量为根（x,y,z）

丘x=0

AB-m=0

则，即aV2,

AP-m=0—x+—y+2z=n0

22'

令y=2>/2,则〃2（0,2^2,—lj

设直线AM与平面所成角的大小为a

/、AM-m

则sina=cos（AM,in）=------r?—

\/AA/肋

述x20—1x1

4___________4V13

一国1F

,4713

所以直线闻/与平面BAB所成角的大小为a-arcsin------

39

（2）由（1）可知，|人知|=姮，直线AM与平面R45所成角的正弦值为sina=M^

1।239

V134V132

所以点M到平面的距离为4=%M|xsina___x——

2__39___3

【举一反三】

1.（2019•重庆高三（理））如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABC。是矩形，M是AB的中点，AC与DM

交于点。，SO_L平面ABCDAB=2x/6,AD=20SO=2.

(1)求证；平面5AC_L平面SDW

(2)求直线S3与平面&由所成角的正弦值.

【答案】(1)见解析；(2)亚

10

【解析】(1)以A为原点，A8为x轴，AO为丁轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系,

A(26,0,0),C(0,276,0),0(0,0,0),，木，0),

AC=(-24,2瓜,0),DM=(26,>/6,0),

mmULHJII

ACDM=0,..AC1.DM,

SOJ•平面ABC。，。知<=平面43。，.\50，。“，

QACISO=O,面&IC,

DMu平面SDM，」.平面S4C_L平面SDM

(2)以。为原点，OC,OD,0s分别为％儿z轴，建立空间直角坐标系，

ACYDM.DO=2OM=2-^2.OC=2OA=4,

•••SB=SA+2AM=(2,-2夜，-2),AD=(.2,242,0),AS=(2,0,2),

设平面SAD的法向量"=(X,y,Z),

,n-AD=2x+2y/2y=0「,「r-

则《，取》=应，得〃=(夜,-l,-夜)，

n-AS=2x+2z=0

设直线SB与平面弘〃所成角为夕

-n."cnqI"SB|_3>/W

则sin3—cos<n,SB>|=-------=-----,

\n[]SB\10

・・・直线S3与平面SA£>所成角的正弦值为重.

10

2(2019•浙江高三)已知棱台ABC-ABG，平面A4CC，平面A4G，NB/C=60°,=90°,

Ar

A4,=AC=CG=女，〃,6分别是8。和AG的中点。

(I)证明：DELBS1；

(ID求OE与平面所成角的余弦值。

【答案】(I)详见解析(II)—

13

【解析】I)如图，取AC中点/，连接EEDF.

因为A、=CG，所以EbJLA1G.

由平面平面ABC-平面44.GC平面44G=4G，

得所_L平面AqG，

所以EF_L5,C,，又。尸〃45〃A4,且NA,gC|=90°,所以OF_LB£.

因为MI=所以瓦£，平面EFD,所以OELBCi.

AC

(II)解法一：如图,取gG中点G,连接DG,EG,

则可知FD〃EG,所以平面EFD即是平面EGDF.

因为瓦G上平面承办，所以平面EGDF1平面BC351,

则NEDG为DE与平面8CG月所成角.

令A4t=AC=CG=竽=4,又由NgAG=60°,ZA4cl=90°,

可得A4=4,A8=2,则/。=1,EG=2,DE=DG=屈,

DE2+DG2-EG211

所以cos/EOG=

2DEDG

解法二：如图，以E为坐标原点，过点E且垂直于平面MG。的直线，和EC，EF所在直线分别为无轴、丁

轴、z轴，建立空间直角坐标系.

令朋=4,则A（0，—4,0）,4（26,—2,0）,G（0,4,0）,B心-1,2%,尸（0,0,26）,

所以FD=；A£=冬;,0,EF=（0,0,2G）,EO=EF+FD=［等,g,2G）,

设平面BCC禺的法向量加=(x,y,z),瓦＞与平面BCQB,所成角为0.

m•B]B=0,—\/3x+y+2\/3z=0,

而=（-73,1,2^）,4G=（—26,6,0），所以，即YL

m.B£=0,-2j3x+6y=0,

令x=~J3,则y=1,z=--，所以〃?=73,1,

3

故sin9=cos（ED,m

rr12xv3+1+l

4月

13

乂DE与平面BCC.B,所成的角为锐角，所以cos。=.

AFC

题型三二面角

【例3】（2019•四川高三月考（理））如图，在长方形ABCO中，AB=4,A£>=2,点E是。。的中点.将

AADE沿4E折起,使平面平面ABCE,连结DC、EB.

（1）求证：平面A£>E_L平面8DE;

（2）求平面A0E与平面3OC所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）叵

【解析】（1）证明：AD=£>E=2,ZADE=90°

连接BE,AE=BE=2C，AB=4,

AE2+BE2^AB2.•••AEA.BE

又平面ADE_L平面ABCE,平面ADE平面ABCE=AE,

BE1平面ADE

又BEu平面5DE,••.平面ADEJ_平面BDE

(2)作4E的中点O,连结。。，

•/DA=DE,：•DOA.AE,

又平面AQE_L平面ABCE,：.OO_L平面ABCE,

过£作直线£F//E>O,

以£4、EB、M分别为为了轴，丁轴，z轴建立空间直角坐标系

则20,0,0)M(2x/2,0,0),8(0,2&,0),。(0,0,72)

Afi=(-272,272,0),EB=(0,272,0)

EC=AB=(-72,72,0)，,C(-V2,72,0)

平面APE的法向量4//理，，“=(0,1,0)

又C3=("历0),。3=(-上,20,-扬

设平面BDC的法向量为%=(x,y,z),

n,CB=0y/2x+\j2y=0Jx+y=0

%,DB=0-J2x+2y/2y-->/2z=0—x+2y—z=0

..・平面BDC的法向量%=(1,一1,-3)

-1

COS(〃1,〃2)=VH

闻.同1X712+(-1)2+3211

二平面ADE与平面班)。所成锐二面角的余弦值为姮.

11

【举一反三】

1(2019•河南高三(理))如图,在矩形ABC。中，A3=2,8C=3,点£是边AO上一点，且AE=2ED,

点”是班的中点，将AABE沿着BE折起，使点A运动到点S处,且满足SC=SD.

（1）证明：5”，平面3。。£；

（2）求二面角C—SB-E的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）旦

3

【解析】（1）证明：取CO的中点M,连接//M,SM,由已知得AE=A5=2,所以SE=SB=2,又点4

是3E的中点，所以S”_L8E.

因为SC=SO,点M是线段8的中点，

所以SMLCZX

又因为所以柄_1。。，从而。。，平面5”加，

所以CD1.S”，又CD,3E不平行，

所以SH_L平面3CDE.

（2）（方法一）由（1）知，过H点作8的平行线GH交BC于点G,以点H为坐标原点，HG,HM,HS所

在直线分别为x轴、了轴、z轴建立如图所示的空间宜角坐标系〃一孙z,则点8（1,-1,0）,C（l,2,0）,

£（-1,1,0）,S（0,0词,

所以8C=(O,3,O),BE=(-2,2,0),BS=(-1,1,42).

设平面SBE的法向量为,y,ZI),

m-BE=0一二「也=。,令j得

由，，得《M

m•BS=0

同理设平面SBC的法向量为〃=（孙％，Z2），

.fn-5C=0%=0

由<，得<r

nBS-0[-x,+y2+V2z2=0

令z2=1,得〃=(也,0,1).

mn_V2_>/3

所以二面角。一53-£的余弦值为85〈加,〃〉=

|w||n|V2x733

（方法二）取BS的中点N,BC上的点尸，使3P=2PC,连接”N,PN,P〃，易知HP工BE.

巾（1）得S〃_LHP,所以〃P_L平面BSE,所以

乂HN，BS,所以3s_L平面PHN,

所以二面角C—SB—E的平面角为/PNH.

又计算得M7=l,PH=6,PN=6

所以cos/PNH=3=走.

63

2.（2019•重庆高三（理））在如图所示的几何体中,EA,平面ABCD,四边形ABCD为等腰梯形，AD=，8C,

2

且ADBC,AD=AE=1,NABC=60°,EF=1AC,且EFAC.

2

(I)证明：AB1CF；

(II)求二面角B-EF-D的余弦值.

【答案】(I)见解析：(II)巫

10

【解析】(I)由题知EA_L平面ABCD,BAU平面ABCD,，BA_LAE.

四边形ABCD为等腰梯形，AD=，BC,且AD8C,AD=1,所以BC=2,NABC=60°,

2

。1

过点A作AH_LBC于H,在RTAABH中，ZABH=60,BH=—,1.AB=1,

2

在AABC中，AC2=AB2+BC2-2AB»BCcos60°-3,AB2+AC2=BC2,AABIAC,

且ACAEA=A,平面ACFE.又；CFu平面ACFE,AAB1CF.

(11)以A为坐标原点,AB,AC,AE分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标、系,

EF=；AC,且EFAC,AD=AE=1,则B(l,0,0),E(0,0,1),F

,1,D

7H44

-冷田1到6=

n-BE--x,+z,=0

设〃=(%,%4)为平面BEF的一个法向量，则＜J3令％=1,得〃=(1,0,1),

n•BF=fy+4=0

]y/3

tn•DE=—%2----必+z,=0

设加=(%,%,Z2)为平面DEF的■个法向量，则"令&=2,得

m-DF=-x24-z2=0

m=(2,0,—1),

mn=画，二面角B-即-D的余弦值为巫.

cos<m,n>-

Im||n|1010

强化练习

1.（2019•上海市新中高级中学高二月考）在三棱柱ABC-44cl中，AABC是正三角形，A8=26,点A

在底面48。上的射影0恰好是BC中点,侧棱和底面成45°角.

（1）求证：1BC；

（2）求二面角C-AA的大小;

（3）求直线A3与平面所成角的大小•

【答案】（1）证明见解析；（2）二面角C—AA—8的大小为arccos（-g）.

（3）直线AB与平面所成角为arcsin/^

［解析】（1）连接A。，因为0为BC的中点，AA5C为正三角形，所以AO，3C,由点&在底面ABC上的

射影为。，所以A。_L平而ABC,所以A。，BC,A.0CA。=O,所以BC,平面AOA,，又A%u平面

AOA，所以BC，

(2)以。为原点，04,05,04,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图.

0(0,0,0),A(3,0,0),C(0,—6,0),5(0,瓜0),因为侧棱和底面成45°角，所以“A。=45°,则

4(0,0,3),A4,=(-3,O,3),AC=(—3,-V^O),AB=(—3,G,O),设平面SA的一个法向量为

n-AA.=0,[―3X]+3Z|=O,厂厂

〃=a，y,z)则二:即。/-八令％=1,则y=—G,ZI=1,"=(1,—6,1).设平面

n-AC=0,^-3Xj->J3yl=0

8AA1的一个法向量为加=(出，％,zj,则,机的°,I—3x)+3z)=0,

即〈-r令X2=1,则

m-AB=0,[-3X2+V3J2=O

%=6/2=1,m=(1,G/).所以cos〈"〃〉=」"=—1，由图可知二面角C-A4-B为锐角，所以

|zn||n|5

二面角C一AA1一B的大小为arccos(-().

⑶由(2)可知平面C4&的法向量为九=(1,-6,1),设直线AB与平面AAC所成角为仇所以

sin=|cos(/?,AB)|="钻=所以直线AB与平面"C所成角为arcsin'叵.

11\n\\AB\55

2.(2019•黑龙江高三(文))如图，在几何体ABCDE中CDAE,NE4C=9()。，平面E4CD,平面ABC,

CD=2,EA=1,AB=AC=2,BC=26F为的中点.

(1)证明：EF〃平面ABC；

(2)求直线A3与平面比出所成角的正弦值.

【答案】(1)解析见证明；(2)旦.

4

【解析】⑴取6C的中点M,连在ABCD中，MF//CD,MF=-CD,

2

又CD//AE,AE^-CD,：.AE//M/,AE=M/".•.四边形AMEE为平行四边形，

2

.­.EF//AM,又EEa平面ABC,AMu平面ABC,,EE〃平面ABC.

(2)平面E4C。，平面ABC,平面E4CQ平面A8C=AC,AEu平面E4CD

AE1AC,AEJ_平面ABC,又AEUMF、：.MF，平面ABC.

AC=BC=2,M为BC中点，,AMLBC.

以M为原点，以所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系，则

B（0,V3,0）,D（0,-V3,2）,E（l,0,l）,A（l,0,0）,

AB=（-1,后0）,BE=（1,-6,1）,30=（0,-2百,2）,

n-BE=0,x—y/3y+z=0,

设〃=(x,y,z)为平面皮坦的一个法向量,则=>

n・BD=0,l-2V3y4-2z=0,

取x=(),y=l,z=Q,，〃=倒,1,6),设直线AB与平面BOE所成角为"

sin0=|cos<AB,n>|=|""V3

\AB\\n\4

3.(2019•湖南高三(理))在等腰梯形ABC。中，AB//CD,NABC=60°,AB=2CD=4,点、E为AB

的中点.现将AfiEC沿线段EC翻折,得四棱锥P—AECD,且二面角P—EC—。为直二面角.

(1)求证：EC工PD；

(2)求二面角P—A£—C的余弦值.

【答案】(1)证明见解析(2)好

5

【解析】(1)如图连接OE,易知ADCE,APCE均为正三角形，取CE中点。,

连接PQ,OQ,则PQLCE,DQ±CE.

又DQPQ=Q,PQ,DQu平面DPQ,

.•.矿,平面。。。,

又QPDu平面P。。，所以EC_L如.

(2)因为二面角尸一EC—O为直二面甭，所以平面PEC_L平面AECD,

又因为平面PEC平面AECD=EC,旦PQ_LEC,所以PQJ_平面AEC.

又因为EC_LOQ,故以点0为坐标原点，QC,QO,QP所在直线分别为x轴、J、z轴建立如图所示的

空间宜.角坐标系。一盯z.

则A卜2,6,0）,£（-1,0,0）,P（0,0,V3）.

所以A£=（l,—G,0）,AP=（2,—6,6）.

=0

设平面PAC的法向量为m=(x,y,z).由＜得

m-AP^O出-回+任=0

取z=—1,所以加=(6,1,一1)

又因为直线尸Q_L平面AEC,所以PQ=（0,0,G）是平面AEC的一个法向量,

in-PQ—y/3

所以cos（，加PQ）5/5

|ml-|p（2|石xG5

又因为二面角P-AE-C为锐二面角，

所以二面角P—AE—C的余弦值叱.

5

4.（2019•上海华师大二附中高三）如图，三棱锥人四C中，空1平面四6人7=47=2,4/?=园〃是阳上一

点，且切，平面PAB.

（1）求证：四，平面也?；

（2）求二面角C-必-8的大小的余弦值.

【答案】（1）详见解析；（2）昱

3

【解析】（1）证明：；PCX.平面ABC,ABc平面ABC,

J.PCVAB.

'：a>J_平面PAB,4fc平面PAB,

：.CDLAB.又PCCCD=C,：.4员L平面PCB.

（2）取上的中点0,连接CO、DO.

'：PC=AC=2,：.COYPA,CO=y[2,

平面PAB,由三垂线定理的逆定理,得DOVPA.

.../a加为二面角C-⑸-6的平面角.

由（1）/艮L平面PCB,：.ABLBC,

又<AB=BC,AC=2,求得BC=&

PB;瓜切=冬8

5.(2018•上海格致中学高三月考)如图所示，在三棱锥产一A3。中，POJ_平面ABC,且垂足。在棱AC

上，AD=1,AB=BC=瓜8=3,PD=B

(1)证明：△P8C为直角三角形；

(2)求直线AP与平面P8C所成角。的正弦值.

【答案】(1)见解析；(2)逅

3

【解析】(1)由题意，取AC的中点F,以点F为坐标原点，以尸氏尸。所在的直线分别为x轴、y轴，建立

如图所示的空间直角坐标系

则B(V2,0,0),C(0,2,0),P(0,-l,6),

于是BP=(一&，-1,6),BC=(-V2,2,0),

因为BPBC=(-0,-1,6>(-0,2,())=2-2+()=O,

所以BPL3C，即所以APBC为直角三角形.

(2)由⑴可得A(0,—2,0),

于是AP=(0,1,®PB=(0,1,—百),PC=(0,3,-73),

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),

n-PB=0\\[2x+y-y/3z=0r

则〈，即〈厂，取y=l,则z=4

n-PC=0[3y-s/3z=0

所以平面PBC的法向量为〃=(72,1,73),

APxn_4_>/6

所以sin8=|cos^|=cos(AP,n)=

|叫小|2，乖）3

所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为显

3

力

6.（2019•上海市实验学校高三月考）如图，在正四棱锥P—ABC。中，PA=AB,E,f分别为PB,PD的

中点.

（1）求证：AC_L平面P3Z）；

（2）求异面直线4尸与EC所成角的余弦值.

2

【答案】（1）证明见解析；（2）

3

【解析】（1）设AC30=0,则。为底面正方形ABCD中心,连接产O.

因为P-A3CD为正四棱锥，所以P。，平面ABCD.

所以POLAC.

又且尸OBD=O,

所以ACJ_平面

(2)因为。4,OB,OP两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系。-呼z.

Z

因为PB=A6,所以RtAPOB三RtAAOB，所以。4=OP.

设OA=2.

所以A(2,0,0),5(0,2,0),C(-2,0,0),D(0,-2,0),P(0,0,2),E(0,l,l),F(0,-l,l)

则AF=(-2,-l,l),C£=(2,1,1),设异面直线AF与EC所成角为。，

AF-CF42

则cos。=Icos<AF,CE>\=I-----------1=1

\AF\\CE\V6V63

2

所以异面直线AF与EC所成角的余弦值§.

7.(2019•云南民族中学高三月考)如图所示，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。，PA=2,

ZABC=90°,AB=百,BC=\,AO=2百，ZACD=60°,E为。。的中点.

(1)求证：BC〃平面24七；

(2)求直线PO与平面PBC所成角的正弦值

【答案】（1）证明见解析；（2）叵

7

【解析】(1)在418。中，因为AB=G，BC=\,ZABC=90°,

所以4C=2,ZBC4=60°,

在AAC。中，因为AQ=2G，AC=2,ZACD=60°,

由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2ACCD-cosZACD,(2A/3)2=22+CD2-2X2XCDX1,

所以C£>=4,所以AC?+Arp=°2,则MCD是直角三角形，

又因为E为。。的中点，所以AE=，CQ=CE,

2

又因为NACD=60°,所以AACE是等边三角形，

所以NC4E=60°=NBC4,所以3CAE,

又因为AEu平面Q4£,BCU平面B4E，

所以〃平面B4£.

（2）由（1）可知NB4£=90°,以点A为原点，以AB.AE,AP分别为％轴，）轴，z轴建立如图的空间直

角坐标系，

则尸（0,0,2）,B（A/3,0,0）,C（A/3,1,0）,味疯3,0）,

则P3=（6,0,—2）,PC=（G,1,—2）,阳=卜百,3,—2）,

设“=（x,y,z）为平面PBC的一个法向量,

n-PB-0GX-2Z=0,设x=i,则y=o,z=^(

则《即V，所以〃=1,0,^-

n-PC=0,\y/3x+y-2z=0.2\/

n-PD-2拒V21

7，

•V16

所以直线PD与平面PBC所成角的正弦值为国.

7

8.(2019•广东实验中学高三月考(理))如图，矩形四曲中，助=2四=4,后为%的中点，现将△以£与4

腔折起，使得平面物£及平面吹都与平面/然垂直.

(1)求证：8c〃平面ADE；

(2)求二面角A-BE-C的余弦值.

【答案】(1)见解析；(2)-@

3

【解析】(1)过点8作BM1AE,垂足为M,过点「作CNJLED于N,连接MN,如图所示;

•平面劭反1平面ADE,平面_L平面ADE,

；.8匕平面ADE,CNLADE,

：.BM//CN-,

由题意知RtAABE^RtADCE,

:.B4CN,

...四边形6G"是平行四边形,

：.BC//MNx

乂8a平面ADE,MNu平面4阳

...%〃平面ADE-,

(2)由已知,AE,应•互相垂直，以£为原点,切为x轴,EA为y轴，建立空间直角坐标系E-xyz,如图所示;

则6(0,0,0),6(0,血，血)，C(£0,0)，

EB=(0,V2,&),EC=(6,0,亚),

设平面0%的法向量为〃=(x,y,z),

则〈n-EB-0，

n•EC-0

V2y+V2z=0

即rr,

J2x+，2z=0

令y=-l,则z=ltx=l,

，n—(T,T,1)；

设平面力"的法向量为m=(x,%z),

则〈，易求得加=(1,0,0),

m•EB=0

_m-n-Ixl+O+O

又cos<m,n>=-----------=------j=——=-------

\m\x\n\v3xl3

二面角力-万斤C的平面角的余弦值为-立.

3

9.(2019•浙江诸暨中学高二月考)如图：在四棱锥P-ABCD中，Q41.平面ABCD.PA=AB=BC=6

AD=C£>=1,ZADC=120.点M是AC与BO的交点，点N在线段PB上且PN==PB.

(2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值；

(3)求二面角A—PC—。的正切值.

【答案】(1)证明见解析；(2)-；(3)旦.

43

【解析】证明：(1)二•在四棱锥P—A3C0中，B4_L平面ABCZXPA=AB=BC=6

AD=CD=1,NADC=120.点M是AC与8D的交点，

AC-Vl+l-2xlxlxcosl20=上，

在正三角形ABC中，BM=,3--=-,

V42

在AAC。中，是AC中点，DM1AC,

，AD=CO,又NAOC=120,

DM=Jl--=-,

\42

2

DM_2_1

■'W=TT^=4'

22

:点、N在线段PB上且PN=工PB,

4

：.MN//PD,

加"0平面尸£＞。，PDu平面PDC,

：.肱V〃平面尸。C.

(2)ZBAD=ZBAC+ZCAD=90°,.-.ABIAD,

分别以A6,4),AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系,

£,=,o],A(0,0,0),P(0,0,&N[泻,0

/.8(6,0,0),C,0,,M

22J44

D(0,l,0),

A尸=(O,O,g),AC=券，；，°,

(22J

设平面PAC的法向量〃=(x,y,z),

n-AP=Gz=0

则《J33，取了=百，得"=(6,-l,0)，

n-AC==■龙+—y=0

22

33⑻

MN=°'一丁工

\7

设直线MN与平面PAC所成角为仇

3

\MN-n\41

则sin0=

\MN\-\n\~2[36~4

y16

故直线MN与平面PAC所成角的正弦值为-；

4

(3)由(2)可知，。8=(6,-1,0)为平面42。的法向量,

PC=（£=，-石），阳=（0,1，-我，

22

设平面PCD的法向量为n=（x,y,z）,

n-PC=0—x+—y-V3z=0

则《，叫22",

i[y_j3z=o

令z=—JL解得〃=（G,—3,一百），

设二面角A—PC—O的平面角为仇则cose=nDB=）=与-------£,

\n\\DB\V3+1-V3+9+3V5

…A6瓜

..tanu=—^r=—,

V33

故二面角A—PC-。的正切值为逅.

3

10.（2019•天津高三开学考试）如图，在三棱锥S—ABC中，平面SBC,平面A3C,

SB=SC=AB=AC=6，BC=2,若。为的中点.

（1）证明：SO_L平面A8C；

（2）求异面直线AB和SC所成角：

（3）设线段SO上有一点M,当AM与平面SAB所成角的正弦值为叵时，求的长.

15

【答案】（1）证明见解析：（2）£（3）」.

33

【解析】（1）­：SB=SC.BO=OC,

：.SOIBC,

•.•平面S3C_L平面ABC,

平面SBCI平面ABC=BC,

SOu平面SBC,

.•.SO_L平面SBC.

(2),:SB=SC=AB=AC=6,BC=2、

:.BS工CS,BA1C4,

如图,分别以08,OA,OC为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立.空间直角坐标系,

■:A(O,1,O),5(1,0,0),5(0,0,1),C(-l,0,0),

ULIiUli

:.A8=(L-1,0),SC=(-1,0,-1),

.Ulinuir

/ULWuu\\AB-SCJ]

cos(/IB,SC)=-wn~tttrr=-F=~尸=—,

\/\AB-SCV2-V22

TT

异面直线AB和SC所成角为2.

：A8=(l,—l,0),S8=(l,0,T),

a—b=0

c,即加=(1,1,1)，

。一c=0

设“(0,0,。，(/«0』)，

uuu

:.AM=(0,-1,Z),

设AM与平面S钻所成角为仇

iruuir

,iruuirm-AM

sinO=cosun,AM■tfuuur

m-AM

.V30_k-l|

“15一行"77'

6+6/=15（/—21+1）,

3产―10，+3=0,

（f-3）（3z-l）=O,

t=3（舍）"=L

3

二OM的长为

3

11.（2019•云南师大附中高三月考（理））如图甲，在直角梯形A3CD中，AB//CD,AB1BC,

CO=2A5=2BC=4,过A作AELCD,垂足为E,现将八位〉石沿AE折叠，使得OEJLEC.取AO的中

点。连接6尸，CF,EF,如图乙.

（1）求证：8CL平面DEC；

（2）求二面角C一3/一£的余弦值

【答案】（1）见解析；（2）史

5

【解析】（1）VDE1EC,DEJ_AE,£>E_L平面ABCE,又：BCu平面ABCE,OE_L3C,

XVBCA.EC,DEEC=E,：.3CL平面DEC.

甲

AB

（2）如图乙，以点E为坐标原点，分别以£4,EC，ED为x,>,z轴建立空间直角坐标系上一盯z,

£（0,0,0）,C（0,2,0）,25（2,2,0）,£＞（0,0,2）,A（2,0,0）,F（l,0,l）,

设平面EFB的法向量为%=（玉，x,Z］）,

由0=（1,0,1）,E5=（2,2,0）,所以有广_,

巧+为=0

.•.取玉=1,得平面互国的一个法向量为&=（1,一1,-1）,

设平面BCF的法向量为=（x2,y2,z2）,

由CT=（1,-2,1）,C6=（2,0,0）,所以有《一

+z?—U

..•取y2=1，得平面BCF的一个法向量为％=（0,1,2）,设二面角。一3尸一E的大小为。，

八.小||-1-2|V15

贝（）COSa-_j-jr=—j=—产———

阿.㈣5

12.（2019•安徽高三月考（理））如图所示，在四棱锥P—ABC。中，4）〃3C,8C,平面为反

23=24=/3=3。=24。=2,£为线段阳的中点

（1）证明：AE平面如C；

（2）求直线应与平面如C所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）YZ

4

【解析】证明：3）如图所示，取小的中点£连接班硒因为£为线段%的中点,

,/AD//BC,：.EF=AD

四边形好物为平行四边形

二AEP，又AE,平面PDC,DFu平面PDC,

：.AE平面PDC

（2）（方法一）AD//BC,8。_1_平面PAB,AD_L平面PAB,

由题意知△FAB为等边三角形，

以/为坐标原点，如图建系

4(0,0,0),0(0,0,1),B(0,2,0),P(G,l,0),C(0,2,2),Ey-,1,0

Z)C=(O,2,l),P£>=(-V3,-l,l),OE=孚,；,—1

I22

..fDC-/??=2y